モンテカルロ法 完全ガイド — 不確かさ伝播・信頼性・MCMC の使い分け
モンテカルロ法は CAE における不確かさ定量化（UQ）、構造信頼性、設計最適化の基盤です。基本モンテカルロ、ラテン超方格、重要性サンプリング、MCMC、準モンテカルロ、多重スケールの 6 種類を、収束性・計算コスト・適用対象で整理。N=10⁶ サンプルでの寿命評価実例とともに、各手法の使い分けを示します。
モンテカルロ法 6 種類 比較表
| 手法 | 収束次数 | 適用範囲 | 該当ページ |
|---|---|---|---|
| 基本モンテカルロ (Crude MC) | $O(N^{-1/2})$ | 汎用、教育、簡易評価 | 基本モンテカルロ |
| ラテン超方格 (LHS) | $O(N^{-1})$ 級 | 設計感度、応答曲面 | ラテン超方格 |
| 重要性サンプリング (IS) | 分散縮小（場合により 100 倍） | 稀な事象（破壊確率 < 10⁻⁴） | 重要性サンプリング |
| MCMC (Markov Chain MC) | 事後分布のサンプリング | ベイズ推定、パラメータ較正 | ベイズキャリブレーション |
| 準モンテカルロ (QMC, Sobol) | $O(N^{-1} (\log N)^d)$ | 高次元積分、グローバル感度 | Sobol 感度解析 |
| 多重スケール MLMC | 解像度の階層化 | 高コスト FEM/CFD の効率化 | マルチレベル MC |
選定フローチャート
- 稀な事象（破壊確率 < 10⁻⁴）を評価する？
- はい → 重要性サンプリング。基本 MC では 10⁸ サンプル必要、IS なら 10⁴ で済む
- パラメータの事後分布を推定したい？
- はい → MCMC（Metropolis-Hastings, HMC）。実験データから材料定数を逆推定する場面
- 感度解析（どの入力が出力に効くか）？
- はい → Sobol（準モンテカルロ）。グローバル感度指数 S_i / S_T
- 個別 FEM/CFD 計算が 1 時間以上？
- はい → LHS（少サンプルで均等カバー）+ サロゲートモデル（Kriging, PCE）
- 多重解像度のメッシュが利用可能？
- はい → MLMC。粗→細メッシュの差分を利用して計算量を 1/10〜1/100 に
- 上記いずれも該当しない／教育目的
- → 基本モンテカルロ。10⁴〜10⁶ サンプルで十分
基本原理と収束評価
1. 基本モンテカルロの平均推定
$$ \bar{X} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \quad ,\quad \text{標準誤差} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} $$
サンプル数 N を 100 倍にすると誤差は 1/10。精度を桁で上げるのに計算量が爆発する。
2. 構造信頼性指数 β
$$ \beta = -\Phi^{-1}(P_f) $$
$P_f$ は破壊確率、$\Phi^{-1}$ は標準正規分布の逆関数。
- β = 3.0: P_f = 1.35×10⁻³（建築一般）
- β = 4.0: P_f = 3.17×10⁻⁵（航空構造）
- β = 5.0: P_f = 2.87×10⁻⁷（原子力）
3. 重要性サンプリングの分散縮小
$$ \mathbb{E}[g(X)] = \int g(x) f(x) dx = \int g(x) \frac{f(x)}{h(x)} h(x) dx $$
$h(x)$ は重要性関数（破壊領域に密度を集中）。理想的な $h^*$ で分散ゼロ達成、実用的には FORM/SORM の MPP を中心に Gaussian を移動。
4. Sobol 感度指数
$$ S_i = \frac{V_i}{V} , \quad S_{Ti} = 1 - \frac{V_{\sim i}}{V} $$
$S_i$ は変数 i の主効果、$S_{Ti}$ は全効果（相互作用含む）。0.1 以下は無視可能、0.3 以上は支配的入力。
収束評価の実例（疲労寿命の不確かさ）
問題設定: 自動車サスペンションアーム、応力振幅 σ_a = N(180, 20²) MPa、疲労限度 σ_w = N(225, 25²) MPa、破壊サイクル数を Basquin 式で計算。
| サンプル数 N | 平均寿命 | 5% 下側寿命 | 標準誤差 |
|---|---|---|---|
| 100 | 25 万 km | 9.8 万 km | 3.2 万 km |
| 1,000 | 21 万 km | 11.0 万 km | 1.1 万 km |
| 10,000 | 22 万 km | 12.0 万 km | 0.35 万 km |
| 100,000 | 22 万 km | 12.4 万 km | 0.11 万 km |
| 1,000,000 | 22 万 km | 12.5 万 km | 0.035 万 km |
N=10⁴ で実用上十分な精度。N=10⁶ にしても 5% 下側はほぼ動かない（収束済）。
主要手法の計算コスト比較
| 手法 | 所要サンプル数（P_f=10⁻⁴ で誤差 10%） | 前処理 |
|---|---|---|
| 基本 MC | 10⁶ | なし |
| LHS | 10⁴〜10⁵ | 層化サンプリング |
| 重要性 IS | 10³〜10⁴ | FORM で MPP 推定 |
| サロゲート + MC | 50〜200（サロゲート学習） | Kriging/PCE 構築 |
| MLMC | 階層化により 1/10〜1/100 | 多重メッシュ準備 |
関連シミュレーター・記事
- モンテカルロで π を計算 — 教育用ビジュアル
- 正規分布シミュレーター — 確率密度関数の可視化
- 基本モンテカルロ詳解
- ラテン超方格サンプリング
- ベイズキャリブレーション（MCMC）
- Sobol グローバル感度解析
- Kriging サロゲートモデル
- 多項式カオス展開（PCE）
よくある失敗パターン
- サンプル数不足: N=100 では平均値も 30% 程度ずれる。最低 10³、信頼性評価なら 10⁴ 以上
- 稀な事象に基本 MC: P_f=10⁻⁶ を 10⁴ サンプルで評価しても 1 回も発生しない。IS or サロゲート必須
- 入力分布の独立性仮定: 実際は相関ありの場合に Copula で再現必要
- 収束判定の主観: 標準誤差を計算して定量判定。「グラフが落ち着いた」だけで止めない
- サロゲート過信: 学習データ範囲外の予測は精度保証なし。検証用テストポイントを残す
規格・標準
- JCGM 100:2008 (GUM): 測定の不確かさ表現ガイド
- JCGM 101:2008 (Supplement 1): モンテカルロ法による不確かさ伝播
- ISO 16336: ロバスト設計（タグチメソッド + MC）
- ASME V&V 10 / V&V 20: 数値検証・妥当性確認とモンテカルロ
- NASA-STD-7009: モデル検証の文書化基準