正規分布計算機・可視化

正規分布（ガウス分布）は、平均 $\mu$ を中心とした左右対称の釣鐘型分布で、自然・社会現象に広く現れます。確率密度関数は次式です。

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

$\mu$ は平均（分布の中心）、$\sigma$ は標準偏差（ばらつきの大きさ）です。$\sigma$ が小さいほど鋭く尖り、大きいほど平たく広がります。中心極限定理により、多数の独立な要因の和は正規分布に近づくため、測定誤差や品質管理で基本となります。

正規分布では、平均からの距離（$\sigma$ の倍数）に応じて含まれる確率が決まります（経験則）。

任意の正規分布は、標準化 $z = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$ により平均0・標準偏差1の標準正規分布に変換できます。$z$ 値を使えば、異なる分布の値を共通の尺度で比較したり、確率を標準正規分布表から読み取ったりできます。品質管理の「$3\sigma$」「シックスシグマ」もこの考え方に基づきます。

品質管理（6σ管理）：製造工程で部品の寸法や特性が正規分布に従うと仮定し、管理限界（通常±3σや±6σ）を設定します。シミュレーターでσを変えながら、管理限界外に出る不良品の確率（裾の面積）をリアルタイムで確認でき、工程能力指数Cpkの理解に直結します。

統計的仮説検定（p値計算）：実験結果が「偶然の範囲」をどれだけ超えているかを評価する際、観測値のZスコアを計算し、標準正規分布の両裾の面積（p値）を求めます。このシミュレーターで範囲を指定して確率を求める操作が、そのままp値の計算プロセスに対応しています。

信頼性工学：機械部品の疲労寿命や電子部品の故障時間が正規分布に近似できる場合があります。平均寿命（μ）と寿命のばらつき（σ）から、特定の時間までに故障する確率（CDF）を推定し、メンテナンス計画に活用します。

教育・評価（偏差値）：テストの得点分布が正規分布に近い場合、個人の得点をZスコア（(個人の得点 - 平均点)/標準偏差）に変換し、さらに偏差値 = 50 + 10×Z として算出します。このツールでZスコアと百分位数（上位何%）の関係を視覚的に学べます。

このツールを使い始める際、特にCAEの世界から来た人は気をつけてほしいことがいくつかあるんだ。まず、「データが正規分布に従う」という前提は常に疑えということ。シミュレーション結果の応力集中値や流量の最大値は、むしろ対数正規分布に近いことも多い。ツールで綺麗なベル型を描けるからといって、何でもかんでも正規分布でフィットしようとすると、稀に起こる重大な不具合の確率を見誤るぞ。

次に、パラメータ設定で「標準偏差σ」と「分散σ²」を混同しないこと。ツールに入力するのは「標準偏差」だ。例えば、公差が±0.1mmと指定されていても、それが標準偏差なのか範囲なのかを確認しよう。多くの場合、公差は±3σを意味する（99.7%の部品がその範囲内）。だから、公差0.1mmをそのままσ=0.1と入力すると、実際よりはるかに広い分布を想定してしまう。正しくは、σ = 0.1 / 3 ≒ 0.033 と見積もるのが一般的だ。

最後に、「外れ値」の扱い。実データを分析するとき、平均や標準偏差は外れ値に非常に敏感だ。ツール上でμとσを決める前に、ヒストグラムなどでデータの全体像を必ず確認しよう。1つだけ極端に大きい値があると、平均が引きずられ、標準偏差が膨らんで、実際のバラツキを過大評価してしまう。そうすると、例えば「不良率0.1%」と計算しても、実際とはかけ離れた数字になる可能性がある。