パラメータ
3.500
プリセット
ズーム
r スイープ
分岐点（理論値）
r₁≈3.000（1→2）
r₂≈3.449（2→4）
r₃≈3.544（4→8）
r∞≈3.5699（倍周期分岐の集積点）
(r₂−r₁)/(r₃−r₂) → δ≈4.669
分岐図（選択初期値の過渡除去後の x vs r）
ドラッグでズーム
r カーソル
分岐点
周期窓を含む領域 r>3.57
時系列 xₙ（この r で）
周期4：4つの値を繰り返す
理論・主要公式
$$x_{n+1} = r\,x_n(1 - x_n) \quad (r \in [0,4])$$
ロジスティック写像。r：増殖率パラメータ、xₙ：n世代の個体密度（0〜1の無次元量）。
$$\lambda = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\ln\!\left|r(1-2x_n)\right|$$
有限回のリャプノフ指数推定。正の値は近傍の拡大を示しますが、表示軌道の非周期性の証明ではありません。周期候補と初期値も確認してください。
$$\delta = \lim_{n\to\infty}\frac{r_n - r_{n-1}}{r_{n+1} - r_n} \approx 4.669$$
ファイゲンバウム定数は倍周期分岐点の間隔比の極限です。注釈は理論値の近似で、このツールが定数を測定するわけではありません。固定点・周期2の指数は下の実例で検算できます。
同じ式から、固定点・周期・不規則な軌道を確かめる
このツールはロジスティック写像 \(x_{n+1}=r x_n(1-x_n)\) の教育用数値実験です。成長率は0〜4、初期値は0〜1。分岐図の各列は、選択した同じ初期値から計算した軌道です。多数の初期値の合成や、現実の生態系・車両振動を直接計算するモデルではありません。
🙋r=4ならいつもカオスなのに、初期値0.5では時系列が0になりました。壊れていますか？
🎓この場合は特別な軌道です。0.5→1→0→0と正確に進みます。0に着いた後の微分は4なので、過渡を除いた指数はln(4)≈1.386。正の指数でも、表示中の軌道自体は固定点です。「不安定な軌道」と一般的なカオス的アトラクタを区別しましょう。
🙋初期値を0.123456789にすると何が違いますか？
🎓r=4でも不規則な列になり、この検算条件では有限回の指数がln(2)≈0.693に近づきます。初期値の影響を、コブウェブ・時系列・分岐図で同じ条件から比較できます。ただし有限桁の演算であり、すべての初期値や無限時間の挙動を証明するものではありません。
入力して再現できる検算例
固定点の検算：r=2.5、x₀=0.5では固定点x*=1−1/r=0.6に収束します。微分は2−r=−0.5なので、指数はln(0.5)≈−0.693です。
超安定な固定点：r=2、x₀=0.5では最初からx=0.5が固定点で、微分は0。ln(0)による指数−∞は定義上の結果です。計算失敗を示すNaNではありません。
周期2の検算：r=3.2、x₀=0.5では2値を繰り返します。周期上の微分積は−r²+2r+4=0.16、指数はln(0.16)/2≈−0.916です。r=3.5の周期4、r=3.83の周期3とも比べてください。
同じr=4、異なる初期値：初期値0.5では0への例外軌道、0.123456789ではこの計算条件で不規則な軌道が得られます。指数だけで「この軌道は周期でない」と決めないことが大切です。
計算方法・判定の限界
分岐図・時系列・指数では最初の4,096回を過渡として除きます。指数はその後4,096回の \(\ln|r(1-2x_n)|\) の平均。微分が厳密に0の場合は−∞と表示し、小さい微分の項を捨てません。コブウェブは選択した初期値から反復を描きます。
周期は過渡除去後512値の差を絶対許容幅10⁻⁹で比較し、1〜64の最小候補を表示します。見つからなければ「周期未検出」または「未判定」です。長い過渡、高周期、分岐境界、浮動小数点の丸めをカオスと断定しません。正の有限回指数も、無限時間の数学的証明や実システムの安全判定ではありません。
初期表示の横軸は2.4〜4で分岐の領域に注目します。低いrを入力すると0〜4へ広げ、ズームリセットも全域に戻します。色の帯は周期窓を含む領域の目安で、すべてのrがカオスという意味ではありません。分岐点の注釈は近似値であり、ファイゲンバウム定数を数値的に測定する機能ではありません。
式とr=4の厳密な変換・解は Wolfram MathWorldのロジスティック写像 と r=4の解析 を参照してください。固定点・周期2の微分から検算し、表示中のコードはこのページのソースで確認できます。
よくある質問
正のリャプノフ指数なら表示中の軌道も必ず非周期ですか？
必ずではありません。r=4、x₀=0.5は0.5→1→0の例外軌道で、過渡除去後の指数はln(4)でも軌道は固定点です。指数と周期候補、初期値を併せて確認してください。
−∞の表示は計算エラーですか？
微分が0の場合のln(0)を表す定義上の値です。r=2、x₀=0.5の超安定固定点で再現できます。小さい微分を無視して0にする計算とは異なります。
初期値を変えても分岐図は同じですか？
このツールは各rを選択した同じ初期値から計算します。通常の安定軌道では同じ枝へ収束する場合がありますが、0や1、r=4の0.5などの例外では変わります。初期値に無関係とは保証しません。
周期未検出ならカオスですか？
それだけでは判定できません。有限回・有限精度で1〜64の周期候補を探すため、長い過渡や高周期、境界付近では見つからない場合があります。正の指数の推定と数学的なカオスの証明も区別します。
