参数
3.500
预设
缩放
r 扫描
分岔点（理论值）
r₁≈3.000（1→2）
r₂≈3.449（2→4）
r₃≈3.544（4→8）
r∞≈3.5699（倍周期分岔累积点）
(r₂−r₁)/(r₃−r₂) → δ≈4.669
分岔图（所选初始值去除暂态后的 x 与 r）
拖动以缩放
r 游标
分岔点
包含周期窗口的区域 r>3.57
理论与主要公式
$$x_{n+1} = r\,x_n(1 - x_n) \quad (r \in [0,4])$$
逻辑斯谛映射。r：增长率参数，xₙ：第 n 代的种群密度（0～1 的无量纲数）。
$$\lambda = \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\ln\!\left|r(1-2x_n)\right|$$
有限次迭代的李雅普诺夫指数估计。正值表示局部扩张，不能证明显示的轨道是非周期的。请同时查看周期候选与初始值。
$$\delta = \lim_{n\to\infty}\frac{r_n - r_{n-1}}{r_{n+1} - r_n} \approx 4.669$$
费根鲍姆常数是倍周期分岔点间隔比的极限。图中标注是理论值的近似，并非本工具测量的结果。可用下方示例检算不动点与周期2的指数。
用同一个递推式观察不动点、周期与不规则轨道
本工具是逻辑斯谛映射 \(x_{n+1}=r x_n(1-x_n)\) 的教学数值实验。增长率范围0～4，初始值范围0～1。分岔图每一列都从所选的同一个初始值开始计算，并非多个初始值的合成，也不直接模拟真实生态系统或车辆振动。
🙋学生：r=4时不是应该混沌吗？初始值0.5的时间序列却变成了0，是程序坏了吗？
🎓教授：这是特殊轨道，精确地按0.5→1→0→0演化。到达0后导数为4，去除暂态后的指数为ln(4)≈1.386。即使指数为正，显示的轨道仍是不动点。应区分不稳定轨道与典型的混沌吸引子。
🙋学生：把初始值改为0.123456789会怎样？
🎓教授：在本次检算条件下，r=4产生不规则序列，有限次指数接近ln(2)≈0.693。可在相同条件下比较蛛网图、时间序列与分岔图。不过有限精度计算不能证明所有初始值或无限时间的行为。
可输入复现的检算示例
不动点检算：r=2.5、x₀=0.5时收敛到x*=1−1/r=0.6。导数为2−r=−0.5，指数为ln(0.5)≈−0.693。
超稳定不动点：r=2、x₀=0.5从一开始就是不动点，导数为0。ln(0)对应的指数−∞是定义上的结果，不是计算失败的NaN。
周期2检算：r=3.2、x₀=0.5重复两个值。周期上的导数乘积为−r²+2r+4=0.16，指数为ln(0.16)/2≈−0.916。也可比较r=3.5的周期4和r=3.83的周期3。
相同r=4，不同初始值：0.5产生到达0的特殊轨道，0.123456789在本计算条件下产生不规则轨道。不能仅凭指数断定显示的轨道不是周期轨道。
计算方法与判定限制
分岔图、时间序列与指数都去除最初4,096次暂态迭代。指数为随后4,096次 \(\ln|r(1-2x_n)|\) 的平均。导数严格为0时显示−∞，不会丢弃小导数项。蛛网图从所选初始值开始绘制。
周期检测比较去除暂态后的512个值，绝对容差10⁻⁹，寻找1～64的最小周期候选。找不到时显示未检测到周期或未判定。长暂态、高周期、分岔边界和浮点舍入不能自动归类为混沌。有限次正指数也不是无限时间的数学证明或真实系统的安全评估。
初始横轴范围2.4～4，便于观察分岔。输入较低r时扩展到0～4，重置缩放也恢复全范围。色带区域包含周期窗口，并非其中所有r都混沌。分岔标注是理论值的近似，不是本工具对费根鲍姆常数的数值测量。
递推式及r=4的精确变换与解可参考 Wolfram MathWorld的逻辑斯谛映射 与 r=4分析。可独立用不动点、周期2的导数检算，并在本页源代码中查看实现。
常见问题
李雅普诺夫指数为正，显示的轨道就一定非周期吗？
不一定。r=4、x₀=0.5沿0.5→1→0演化，去除暂态后的指数是ln(4)，但轨道是不动点。请同时查看指数、周期候选和初始值。
−∞表示计算错误吗？
这是导数为0时ln(0)对应的定义值，可用r=2、x₀=0.5的超稳定不动点复现。它不同于忽略小导数而错误地显示0。
分岔图与初始值无关吗？
每个r都从所选的同一初始值计算。通常的稳定轨道可能收敛到相同分支，但0、1或r=4时的0.5等特殊初始值会改变结果，不能保证与初始值无关。
未检测到周期就是混沌吗？
不是。有限精度计算只寻找1～64的周期候选，长暂态、高周期和边界情况可能检测不到。正指数估计也要与混沌的数学证明区分。