対話型シミュレーター
Crank-Nicolson 法シミュレーター
Crank-Nicolson 法について、r、拡散長、増幅率を同時に確認し、時間刻みと空間刻みの影響を見ます。
温度分布のリアルタイム拡散（Crank-Nicolson 時間発展）
step 0
Crank-Nicolson（陰解法・無条件安定）
陽解法 FTCS（同じ刻み）
解析解 e^{-α(π/L)²t}sin
三重対角系を各ステップで解いて u(x,t) を発展させます。r≤0.5 では陽解法と一致し、r>0.5 では陽解法（赤）が振動・発散する一方、Crank-Nicolson（青）は滑らかなまま定常状態へ向かいます。
物理モデルと主要式
$$u_i^{n+1}-\frac{r}{2}\Delta u^{n+1}=u_i^n+\frac{r}{2}\Delta u^n,\quad r=\alpha\Delta t/\Delta x^2$$
この簡易モデルは主要な関係だけを扱います。境界条件、損失、非線形性、規格上の補正は必要に応じて別途確認します。
読み取り方
主グラフで支配的な変化を見て、数値カードだけでは見落としやすい折れ点や飽和を確認します。
感度図では、余裕が急に小さくなる入力の組み合わせを探します。
初期設計では結果の絶対値より、どの入力が余裕を支配するかを重視します。
会話で学ぶCrank-Nicolson 法
🙋Crank-Nicolson 法では、まずどこを見ればいいですか？拡散率 αを動かすと図も数値も同時に変わるので、少し迷います。
🎓最初は無次元数 rを見ます。ただし数字だけで判断せず、増幅率と波数で前提の形や状態を確認し、r と拡散長の内訳で分布や変化の出方を合わせて読みます。主グラフで支配的な変化を見て、数値カードだけでは見落としやすい折れ点や飽和を確認します。
🙋拡散率 αを大きくすると無次元数 rが変わりそうなのは分かります。では、時間刻み Δtはどのくらい効いていると考えればいいですか？
🎓時間刻み Δtを少しずつ動かして拡散長の動きを見ると、支配している項が見えてきます。この簡易モデルは主要な関係だけを扱います。境界条件、損失、非線形性、規格上の補正は必要に応じて別途確認します。 1点の計算で終わらせず、実際にばらつきそうな範囲を往復させるのが大事です。
🙋dt と dx の r マップは何を見るための図ですか？普通のグラフだけでも判断できそうに見えます。
🎓dt と dx の r マップは、危険側に入る境界や、余裕が急に崩れる組み合わせを探すための図です。感度図では、余裕が急に小さくなる入力の組み合わせを探します。 例えば設計案の一次比較とレビュー前の論点整理では、単一点の値より「少し条件がずれたらどうなるか」が効きます。
🙋では、無次元数 rが基準内なら、この条件をそのまま採用してよいですか？
🎓ここでは初期検討として扱います。詳細解析に入る前の支配因子と危険側条件の絞り込みや教育・説明用に式、数値、可視化を同じ条件で確認には役立ちますが、最終判断では規格値、実測値、詳細解析、メーカー条件で確認してください。初期設計では結果の絶対値より、どの入力が余裕を支配するかを重視します。
実務での使い方
設計案の一次比較とレビュー前の論点整理。
詳細解析に入る前の支配因子と危険側条件の絞り込み。
教育・説明用に式、数値、可視化を同じ条件で確認。
よくある質問
無次元数 rと拡散長を先に見ます。次に増幅率と波数で前提の状態を確認し、r と拡散長の内訳で分布や変化の偏りを読みます。主グラフで支配的な変化を見て、数値カードだけでは見落としやすい折れ点や飽和を確認します。
拡散率 αを単独で動かしたあと、時間刻み Δtも同じ幅で動かして無次元数 rの変化量を比べます。dt と dx の r マップを見ると、どの組み合わせで余裕や性能が急に変わるかを把握できます。
設計案の一次比較とレビュー前の論点整理に使います。単一点の数値ではなく、入力範囲を少し広げて無次元数 rの余裕が保てるかを確認すると、詳細解析へ進む前の論点整理に役立ちます。
この簡易モデルは主要な関係だけを扱います。境界条件、損失、非線形性、規格上の補正は必要に応じて別途確認します。最終判断では規格値、実測値、詳細解析、メーカー条件を確認してください。
使い方ガイド
- 拡散係数α（例：鋼の熱拡散率 α=1.2×10⁻⁵ m²/s）をalphaValに入力
- 時間刻みΔt（例：0.01秒）とdtValに、空間刻みΔx（例：0.1 m）をdxValに設定
- 時間ステップ数（例：100ステップ）をstepsValで指定し、無次元数r=αΔt/Δx²の値を確認
- シミュレーション実行後、拡散長√(4αt)と高波数減衰係数を出力から検証
具体的な計算例
厚さ0.2 mの鋼板の非定常熱伝導を解析する場合、α=1.2×10⁻⁵ m²/s、Δx=0.02 m、Δt=0.5秒で計算するとr=αΔt/Δx²=0.015となります。100ステップ実行時の解析時間は50秒、拡散長は√(2αΔt·steps)≈0.035 mです。Crank-Nicolson法では高波数減衰が約0.94となり、高周波ノイズを効果的に抑制します。
実務での注意点
- r≤0.5の範囲でCrank-Nicolson法は無条件安定だが、r>0.5でも陰解法のため発散しない代わり拡散が過度に促進されるため、Δtを小さくして調整
- コンクリート（α≈7.0×10⁻⁷ m²/s）など拡散係数が小さい材料では、同じΔxでもΔtを大きく設定でき計算効率が向上
- Δx>√(4αΔt)の領域では空間離散化誤差が支配的になるため、拡散長の2倍程度の空間解像度を確保