境界内を弾性反射で跳ね続ける球を実時間でアニメーション。円・楕円・スタジアム・正方形・サイナイのテーブルを切り替え、初期角を僅かに変えた2球の発散から「可積分系」と「カオス」の違い、初期条件への鋭敏な依存性（バタフライ効果）を体感できる。
テーブルをクリック／タップすると、その点から球を発射します
力学ビリヤードでは、質点はテーブル内部を一定の速さで直進し、境界に当たると鏡面反射します。衝突点の外向き単位法線を n̂ とすると、速度 v は次式で更新されます。
これは入射角＝反射角の関係であり、|v′| = |v| なので速さ（および運動エネルギー）は完全に保存されます。摩擦も重力もないため、運動はテーブルの形だけで決まります。
円のテーブルでは、各反射が中心から一定距離のカウスティック（包絡円）に接し続け、軌道は環状領域に閉じ込められます。楕円では、2焦点を結ぶ線分を横切る軌道は楕円のカウスティックを、横切らない軌道は双曲線のカウスティックを描き、保存量が存在します。これらは「可積分」であり、初期条件の小さな差はせいぜい線形にしか拡大しません。
ブニモビッチ・スタジアム（半円2つを直線でつないだ形）とサイナイ・ビリヤード（中央に円柱障害物を置いた正方形）は、平均すると軌道を発散させる境界をもつため カオス的 です。初期角のわずかな差 Δθ は反射のたびにおよそ指数的に増幅され（リアプノフ指数が正）、数十回の反射で2つの軌道はまったく別物になります。これが初期条件への鋭敏な依存性、いわゆるバタフライ効果です。
量子カオス：力学ビリヤードはカオスの代表的なモデルで、その量子版（量子ビリヤード）はメソスコピック電子デバイスやマイクロ波共振空洞のスペクトル統計の研究に使われます。スタジアムやサイナイの古典的カオスは、エネルギー準位の統計分布（ランダム行列理論）に直結します。
光学・音響キャビティ：変形マイクロ共振器やレーザーキャビティの光線追跡は、まさに楕円・スタジアム型テーブルのビリヤード軌道です。カウスティックの集光やカオス的散逸が出力指向性を左右します。
統計力学の基礎：サイナイは「硬球気体のエルゴード性」を厳密に証明する出発点となったモデルで、力学系がどのように熱平衡へ向かうかを理解する礎になっています。
カオス工学・暗号：初期条件への鋭敏な依存性は、擬似乱数生成やカオス的ミキシングの設計原理として応用されます。可積分とカオスの境界を可視化することは、これらの直観を養うのに役立ちます。
「弾性反射だから単純で、軌道もすぐ予測できるはず」と思いがちですが、実際にはスタジアムやサイナイのようなカオス系では、初期条件のわずかな差が反射のたびに指数関数的に拡大し、長時間後の軌道は事実上予測不能になります（決定論的であってもカオス的、という点が重要です）。また「カオス＝ランダム」ではありません。運動方程式は完全に決定論的で、同じ初期条件からは必ず同じ軌道が再現されます。さらに、本シミュレーターは数値計算であるため、極端に多い反射回数では浮動小数点の丸め誤差が蓄積し、十分長い時間スケールでは理論軌道からずれ得ます。これはカオスの本質（鋭敏性）そのものの帰結でもあり、シミュレーション結果を「ある初期条件の一つの実現」として解釈することが大切です。
In a unit circle, launching two balls from the center with a 0.0001 rad angle difference keeps their separation around 1e-3 after 40 reflections. In a Bunimovich stadium with the same offset, the separation grows past ~1.0 within 40 reflections — about a thousandfold larger — a direct sign of a positive Lyapunov exponent.