什么是恢复系数？

恢复系数e（coefficient of restitution）定义为碰撞后与碰撞前沿碰撞法线方向相对速度之比。e=1为完全弹性碰撞（动能守恒），e=0为完全非弹性碰撞（碰后合为一体）。钢球e≈0.85–0.92，橡胶球e≈0.7，黏土e≈0。e<1时，每次碰撞都会有动能转化为热能、声能和变形能而耗散。

球-球碰撞的速度更新如何计算？

对于等质量两球，沿碰撞法线方向n̂的冲量给出速度更新式：v₁_new = v₁ − (1+e)/2·[(v₁−v₂)·n̂]·n̂，v₂_new = v₂ + (1+e)/2·[(v₁−v₂)·n̂]·n̂。e=1时速度分量完全交换，e=0时法线方向相对速度归零。实现时先进行重叠修正，再更新速度。

这个模拟器与工程CAE有何关联？

本模拟器的接触模型正是离散元法（DEM）的基础。DEM在工业中广泛用于模拟颗粒物料：砂土流动、粉末压实、破碎机设计、制药压片充填和输送带设计。工业DEM软件在此基础上增加了赫兹接触刚度、滚动摩擦和粘附力，但核心碰撞算法与此处展示的完全相同。

零重力（太空）模式与正常重力模式有何区别？

零重力下球做直线运动，能量只在碰撞时因e<1而耗散（摩擦为零时）。这模拟了微重力环境中的粒子动力学，与卫星碎片碰撞分析相关。启用重力后，球做抛体运动并反复从地板弹起，总机械能随碰撞次数增加而逐渐耗散，直到静止——对应固体力学中冲击荷载分析的场景。

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接触力学模拟器

弹性碰撞台球
模拟器

Q: 球-球碰撞的速度更新如何计算？

对于等质量两球，沿碰撞法线方向n̂的冲量给出速度更新式：v₁_new = v₁ − (1+e)/2·[(v₁−v₂)·n̂]·n̂，v₂_new = v₂ + (1+e)/2·[(v₁−v₂)·n̂]·n̂。e=1时速度分量完全交换，e=0时法线方向相对速度归零。实现时先进行重叠修正，再更新速度。

Q: 这个模拟器与工程CAE有何关联？

本模拟器的接触模型正是离散元法（DEM）的基础。DEM在工业中广泛用于模拟颗粒物料：砂土流动、粉末压实、破碎机设计、制药压片充填和输送带设计。工业DEM软件在此基础上增加了赫兹接触刚度、滚动摩擦和粘附力，但核心碰撞算法与此处展示的完全相同。

Q: 零重力（太空）模式与正常重力模式有何区别？

零重力下球做直线运动，能量只在碰撞时因e<1而耗散（摩擦为零时）。这模拟了微重力环境中的粒子动力学，与卫星碎片碰撞分析相关。启用重力后，球做抛体运动并反复从地板弹起，总机械能随碰撞次数增加而逐渐耗散，直到静止——对应固体力学中冲击荷载分析的场景。

调节恢复系数、重力和摩擦力，拖拽发球观察碰撞。动量守恒还是能量耗散？这正是DEM（离散元法）模拟颗粒材料的物理基础。支持触控操作。

拖拽发球恢复系数 0–1 重力开关 DEM基础

在画布上拖拽瞄准，松开发射 / 支持触控

预设模式

参数调节

恢复系数 e0.98

重力 g (m/s²)0.0

摩擦系数0.00

球的半径20

显示选项

统计信息

动能

碰撞次数

球数

帧率

操作

理论：弹性碰撞与恢复系数

球-球碰撞速度更新公式

对于等质量两球，沿碰撞法线方向n̂（两球圆心连线的单位向量）施加冲量，速度更新为：

v₁_new = v₁ − (1+e)/2 · [(v₁−v₂)·n̂] · n̂
v₂_new = v₂ + (1+e)/2 · [(v₁−v₂)·n̂] · n̂

e=1（完全弹性碰撞）时动能完全守恒，速度法向分量完全交换。e=0（完全非弹性碰撞）时法向相对速度归零，两球以相同的法向速度运动。

墙壁反射

与墙壁碰撞时，法向速度分量取反并乘以e。启用摩擦时，切向速度也会按比例衰减。

通向离散元法（DEM）

本模拟器的接触模型是DEM的基础。工业DEM软件在此基础上加入赫兹接触刚度、滚动摩擦和粘附力，可模拟粉末压实、破碎机设计、颗粒流动和制药压片——核心碰撞算法与此完全相同。

💬 恢复系数真的这么简单吗？

🧑‍🎓

教授，把恢复系数设成1，球就会永远弹跳下去，动能完全不损失？

🎓

在模拟器里是这样。但现实中e永远小于1——即便是抛光钢球也只有e≈0.85–0.92，因为碰撞接触点会产生微变形、声波和热量。e=1只是一种有用的理想化，物理上不存在。

🧑‍🎓

那"粘性碰撞"模式e=0.1，球碰撞后是不是会粘在一起？

🎓

不会真正粘合，但法向分离速度只有碰撞前的10%，所以几乎不会弹开，看起来像是一起运动。这是DEM中"湿颗粒"粘附模型的出发点——加上粘附力项，就能模拟颗粒团聚，比如制药造粒过程中的粉末粘结。

🧑‍🎓

拖拽时显示的虚线弹道预览，是在做实际的物理计算吗？

🎓

是的。程序把拖拽量换算成初速度，然后对运动方程进行短时间的数值积分来预测弹道。这和游戏引擎里的"弹道幽灵显示"技术完全一样——《愤怒的小鸟》就用了这个原理——在工程上也真的有用，比如预测抛体落点。

什么是弹性碰撞台球模拟

🧑‍🎓

这个模拟器里，台球撞来撞去，那个“恢复系数”到底是什么呀？

🎓

简单来说，恢复系数（e）就是衡量碰撞有多“弹”的一个数。你可以把它想象成球的“弹性活力”。比如，e=1就是完全弹性的理想情况，像两个超级弹力球对撞，动能一点不损失；e=0就是完全没弹性，像两块黏土撞上就粘在一起了。你试着把滑块从1拖到0，看看球撞墙后的反弹高度变化，是不是一下子就明白了？

🧑‍🎓

诶，真的吗？那为什么我调了重力，感觉球滚得慢了，但碰撞好像没太大变化？

🎓

好问题！重力主要影响球在“滚动”阶段的运动，比如你把它调大，球加速下落就更快。但碰撞那一瞬间的“弹跳”效果，主要由恢复系数和碰撞角度决定。在实际工程中，比如设计一个缓冲包装，我们既要考虑物体掉落的高度（重力影响速度），也要考虑包装材料的弹性（恢复系数）。你试试把重力调大，然后把恢复系数设成0.5，再让球从高处落下，观察它第一次反弹和第二次反弹的高度差，就能看到能量是怎么一步步耗散掉的。

🧑‍🎓

原来是这样！那摩擦力滑块呢？我调大了摩擦力，球好像滚不远了，但它和另一个球对撞的结果会变吗？

🎓

你的观察很准！摩擦力影响的是球在桌面上“滚动”时的能量损失，比如球会慢慢停下来。但它不影响两个球“正面对心碰撞”那一瞬间的结果。不过，如果碰撞是斜着的，摩擦力就会通过影响球碰撞前的滚动速度，间接改变碰撞结果。你可以在模拟器里做个实验：先把摩擦力调到最大，轻轻推一个球去斜碰另一个静止的球，观察它们的分离角度；然后再把摩擦力调到0，用同样的力度和角度推球，看看结果有什么不同？这就是工程现场分析汽车斜向碰撞时需要考虑的因素之一。

物理模型与关键公式

本模拟器基于离散元法（DEM）的核心思想，计算两个等质量球体碰撞后的速度。关键在于沿碰撞法线方向的速度分量交换。

$$ \begin{aligned}\mathbf{v}_1^{\text{new}}&= \mathbf{v}_1 - \frac{1+e}{2}[(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2) \cdot \hat{\mathbf{n}}] \hat{\mathbf{n}}\\ \mathbf{v}_2^{\text{new}}&= \mathbf{v}_2 + \frac{1+e}{2}[(\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2) \cdot \hat{\mathbf{n}}] \hat{\mathbf{n}}\end{aligned}$$

这里，$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$是碰撞前速度，$\hat{\mathbf{n}}$是从球1指向球2的单位法向量，$e$是恢复系数。当$e=1$时，公式简化为两球沿碰撞线方向的速度分量完全交换。

恢复系数$e$的严格定义，基于碰撞前后相对速度的变化。

$$ e = -\frac{v_{1n}^{\text{after}}- v_{2n}^{\text{after}}}{v_{1n}^{\text{before}}- v_{2n}^{\text{before}}}$$

$v_{n}^{\text{before/after}}$表示碰撞前后沿法线方向的速度分量。$e=1$动能守恒；$e<1$时，损失的动能转化为热能、声能和变形能。

现实世界中的应用

汽车安全与碰撞测试：在CAE仿真中，工程师使用类似的接触模型模拟车辆碰撞。恢复系数帮助量化保险杠、安全气囊等部件的能量吸收特性，而摩擦力则影响车辆碰撞后的滑行轨迹和二次碰撞风险。

制药与食品工业的颗粒处理：离散元法（DEM）广泛用于模拟药丸、谷物等颗粒在混合、输送和包装过程中的行为。调节虚拟颗粒的恢复系数和摩擦力，可以优化设备设计，防止颗粒破碎或混合不均。

体育器材设计与运动科学：分析网球、高尔夫球与球拍或地面的碰撞，恢复系数是关键参数。通过调整材料（如橡胶的e值约0.7）来改变球的弹跳性能，以满足不同比赛的需求。

地质与建筑工程：模拟山体滑坡或碎石堆的稳定性时，将岩石块简化为离散颗粒，通过设置不同的恢复系数和摩擦系数，可以预测崩塌范围和冲击力，为防护结构设计提供依据。