四辺支持薄板の座屈係数kと臨界荷重をリアルタイム計算。アスペクト比・板厚・境界条件を変えて座屈モード形状をインタラクティブに可視化。
SSSS: kmin=4、SSCC: kmin≈5.4、CCCC: kmin≈10.1
板が面内圧縮力を受けて座屈する時の臨界応力を計算する式です。板の剛性（曲げ剛性）と幾何形状、境界条件が関係します。
$$\sigma_{cr}= \frac{k \pi^2 E}{12(1-\nu^2)}\left(\frac{t}{b}\right)^2$$$\sigma_{cr}$: 臨界座屈応力 [MPa]、 $k$: 座屈係数 (無次元)、 $E$: 縦弾性係数 [GPa]、 $\nu$: ポアソン比、 $t$: 板厚 [mm]、 $b$: 板の短辺長さ（または荷重方向の幅）[mm]
座屈係数kは、板の境界条件とアスペクト比（a/b）、座屈モード数mによって決まります。シミュレーターでアスペクト比を変えるとkが変動するのはこの式によります。
$$k = \left(\frac{mb}{a}+ \frac{a}{mb}\right)^2$$$k$: 座屈係数、 $a$: 板幅（長辺）[mm]、 $b$: 板高（短辺）[mm]、 $m$: 板幅方向の座屈半波数（整数）。この式は四辺単純支持（SSSS）の場合で、他の境界条件では異なる値（最小値）に収束します。
航空機・宇宙機の構造設計：機体の外板（スキン）やリブ、縦通材（ストリンガー）で囲まれたパネルは、与圧や空力荷重により面内圧縮力を受けます。軽量化のために板厚は極限まで薄く設計されるため、座屈解析は安全確保の必須項目です。
船舶の甲板・隔壁設計：船体構造では広い甲板や区画を仕切る隔壁が、波浪による曲げや積載荷重で圧縮力を受けます。特に大型タンカーの甲板は、座屈による大きな変形を防ぐために適切な補強材（スチフナー）の配置が検討されます。
橋梁の鋼製床板・ウェブ：道路橋の鋼桁を構成するウェブ（腹板）は、せん断力や曲げ圧縮力により座屈が発生する危険があります。座屈強度を上げるために、縦横に補剛材（スティフナ）を溶接して区画を小さくする設計が行われます。
建設機械・車両のフレーム：ブルドーザーやトラックのラダーフレームを構成する鋼板部材も、過大な荷重による座屈が破損モードの一つです。有限要素法（FEA）を用いた座屈モードの形状予測は、耐久性向上に役立てられています。
まず、「座屈が起きる＝材料が壊れる」と思いがちですが、そうとは限りません。薄板の座屈は、降伏応力に達する前に、大きな変形（波打ち）が発生する現象です。座屈後も荷重を支えられる「座屈後強度」を持つ構造も多く、航空機の外板などはあえて座屈を許容して軽量化を図る設計もあります。このシミュレーターで計算しているのは、あくまで座屈が始まる「臨界荷重」です。
次に、座屈係数kの値は「境界条件だけで決まる」と誤解しないでください。確かにSSSSの最小値は4ですが、アスペクト比（a/b）が1.5や2.5の時はkは4より大きくなりますよね？ 設計では、この最小値だけでなく、実際のパネル形状に応じたkを正しく選ぶことが肝心です。例えば、a/b=1.5のSSSSパネルでは、kは約4.34になります。
最後に、この計算は「完全な平板」と「理想的な境界条件」が前提である点に注意が必要です。実物には初期たわみや残留応力があり、端の固定も「完全な固定」や「完全なピン」は稀です。例えば「CCCC」と設計図に書いても、溶接やリベット止めの実際の拘束度はそれより低くなりがち。そのため、安全率を考慮したり、より詳細なFEM解析で検証したりするステップが実務では不可欠です。
この板座屈の考え方は、シェル構造の設計全般に応用されます。例えば、ロケットの円筒形胴体や圧力容器は「曲面板」の座屈として扱われ、より複雑な理論（曲面板座屈）で解析されます。ここで学んだ境界条件の影響（SとC）は、シェル構造の端部リングや隔壁の設計に直結します。
また、複合材料（CFRPなど）の積層板設計でも基礎知識として重要です。複合材は繊維の方向によって剛性が異なり、座屈モードが独特の形状を示すことがあります。その解析では、このツールで扱った等方性材料（鋼やアルミ）の曲げ剛性Dに代わって、「面内剛性行列」と「曲げ剛性行列」という概念が登場します。
さらに一歩進むと、最適化設計（トポロジー最適化・形状最適化）との関連も深いです。例えば、「与えられた重量制限の中で、座屈荷重を最大にするには補強リブをどこに配置すべきか？」といった問題を解く際に、座屈係数kの感度（どのパラメータが強度に効くか）の理解が役立ちます。このシミュレーターでアスペクト比を変えてkが「波打つ」のを観察した経験は、最適化アルゴリズムが解を探すプロセスを直感的に理解する助けになります。
まず次のステップは、「エネルギー法（レイリー・リッツ法）」の理解をおすすめします。このシミュレーターの核心である座屈係数kは、実は「外力の仕事とひずみエネルギーのつり合い」から導かれています。例えば、仮想の座屈変形形状（たわみ関数w(x,y)）を設定し、その時のひずみエネルギーの増分と外力の仕事を計算することで、臨界荷重を求めることができます。これが理解できると、教科書に載っていない独自の境界条件への対応の道筋が見えてきます。
数学的には、偏微分方程式と固有値問題の良い具体例です。板の座屈支配方程式は $$ D \nabla^4 w + N_x \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = 0 $$ という形をしており、これに境界条件を適用して解くと、臨界荷重Nxが固有値、座屈モード形状wが固有関数として得られます。この「モードが複数ある（m=1,2,3...）」という現象そのものが、数学の固有値問題そのものなのです。
実務に近い学習としては、「座屈モードの重ね合わせ」や「弾塑性座屈」を調べてみましょう。実際の構造物は、複数の座屈モードが同時に、または連鎖して発生することがあります。また、ここでは完全に弾性範囲の話をしましたが、材料が降伏すると座屈荷重は大きく低下します。特に航空宇宙分野では、これらの発展的な話題が設計審査で頻繁に議論されます。このツールで基本を体感した後は、ぜひ三次元FEMソフトを用いた非線形座屈解析に挑戦してみてください。