矩形波・鋸波・三角波を回転する円（フェーザー）の重ね合わせで合成。高調波の追加につれて信号が近似される様子をリアルタイムアニメーション。ギブス現象も体験。
矩形波：
$$x(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{N}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$奇数次高調波のみ。
N→∞ で完全な矩形波に収束。
音声合成・電子音楽：三角波、矩形波、鋸波はシンセサイザーの基本波形です。フーリエ級数の原理を用いて、これらの倍音（高調波）成分を制御することで、豊かな音色を作り出しています。
振動・騒音解析：エンジンやモーターの回転から生じる周期的な振動や騒音を測定し、フーリエ級数（フーリエ変換）で周波数成分に分解します。どの周波数の振動が問題かを特定し、対策を講じるために使われます。
交流回路・電力工学：実際の交流電源の波形は完全な正弦波ではなく歪みを含みます。この歪み波形をフーリエ級数で分解し、高調波成分が機器に与える影響を評価・対策します（高調波抑制）。
画像処理（2次元拡張）：フーリエ級数の考え方は2次元に拡張され、JPEGなどの画像圧縮技術の基礎となっています。画像の濃淡パターンを異なる周波数と方向の波の重ね合わせとして表現します。
このツールを使い始めるとき、いくつか勘違いしやすいポイントがあるから気をつけてね。まず、「高調波数Nを無限にすれば完全な波形になる」と思いがちだけど、矩形波のように急峻な不連続点を持つ波形では、ギブス現象で約9%のオーバーシュートが残るんだ。これは数学的に消えないもので、N=100にしても1000にしても変わらない。実務では、この「完全には再現できない」という特性を頭に入れて設計する必要があるよ。
次に、「基本波の周波数」と「波形の周期」の関係を混同しないで。例えば、基本周波数 $f_1$ が 50Hz なら、その周期 $T_1$ は $1/50 = 0.02$秒だよね。でも、合成される矩形波の周期も同じ0.02秒になる。基本波1周期分の時間で、合成波形も1周期を完了するんだ。ツールで「基本周波数」スライダーを動かすと、フェーザーの回転速度と波形の繰り返し速度が連動して変わることを確認してみよう。
最後に、実践的な落とし穴として「打ち切り誤差」がある。無限級数を有限のNで打ち切るから、どうしても誤差が生じる。例えば、N=9の矩形波は、理論式 $$x_{\text{square}}(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{\infty}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$ のn=17以降を無視している状態だ。この誤差は、滑らかな三角波では小さく早く収束するけど、矩形波では振動（リンギング）として残りやすい。実務の信号処理では、必要な精度と計算コストのトレードオフを考えてNを決めるんだ。
矩形波（振幅1V、基本周波数10Hz）を近似する場合、1次のみでは実効値0.707V、9次まで加算すると0.998Vに収束します。鋸波の場合、N=20次で近似誤差は2.1%まで低下し、各高調波の振幅は1/Nに比例して減少します。三角波では奇数次高調波のみが存在（5次：0.04V、7次：0.020V）し、12次までで99.5%の波形再現精度が得られます。