用旋转相量（复指数）叠加合成方波、锯齿波和三角波。实时观察随着谐波数增加信号逐步逼近目标波形的过程，体验吉布斯现象。
方波：
$$x(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$只含奇次谐波。不连续点处约9%的吉布斯过冲。
对于周期为 $T$ 的方波信号，其傅里叶级数展开只包含奇数次谐波的正弦分量，振幅与谐波次数成反比衰减：
$$x(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\ldots}^{\infty}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$其中，$\omega = 2\pi/T$ 是基波角频率，$n$ 是谐波次数。$4/\pi$ 是缩放系数，确保合成波形的振幅为1。这个公式直观地解释了为什么方波听起来比正弦波更“厚重”——因为它包含了许多高频成分。
更一般地，任何周期信号 $f(t)$ 都可以分解为直流分量、余弦项和正弦项的无限和，这是傅里叶级数的复数形式（指数形式）的基础：
$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega t}$$其中，$c_n$ 是复傅里叶系数，包含了第 $n$ 次谐波的振幅和相位信息。$e^{jn\omega t}$ 正是模拟器中旋转相量所对应的复指数函数，其实部对应余弦，Imaginary Part对应正弦。
音频合成与音乐：电子琴和合成器利用傅里叶级数的原理来生成方波、锯齿波和三角波等经典音色。通过调整谐波的成分（就像你在模拟器里做的那样），可以创造出从柔和到尖锐的各种声音。
电力系统谐波分析：电网中的非线性负载（如变频器、整流器）会产生畸变电流，其波形可分解为基波和各次谐波。工程师通过傅里叶分析来评估谐波污染程度，并设计滤波器来消除有害的高次谐波，保证电网质量。
数字信号处理与图像压缩：JPEG图像压缩的核心——离散余弦变换（DCT），其思想就源于傅里叶分析。它将图像块分解为不同频率的余弦波组合，丢弃对人眼不敏感的高频成分，从而实现高效压缩。
机械故障诊断：通过采集旋转机械（如发动机、轴承）的振动信号并进行傅里叶变换，可以得到其频谱。频谱中特定频率成分的异常增大，往往对应着齿轮损坏、轴不平衡等具体故障，是实现预测性维护的关键技术。
开始使用此工具时，有几个容易误解的地方需要注意。首先，人们常认为“只要谐波数N趋于无穷就能得到完美波形”，但对于像方波这样具有陡峭不连续点的波形，吉布斯现象会导致约9%的过冲残留。这在数学上是无法消除的，即使将N设为100或1000也不会改变。在实际工程中，需要将这种“无法完全重现”的特性纳入设计考量。
其次，注意区分“基波频率”与“波形周期”的关系。例如，若基频 $f_1$ 为50Hz，其周期 $T_1$ 即为 $1/50 = 0.02$秒。但合成方波的周期同样为0.02秒——基波完成一个周期的时间，合成波形也恰好完成一个周期。尝试拖动工具中的“基频”滑块，可以观察到相量旋转速度与波形重复速度的联动变化。
最后，实践中存在一个陷阱：“截断误差”。由于用有限项N截断了无穷级数，误差不可避免。例如N=9的方波，相当于忽略了理论公式 $$x_{\text{square}}(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,...}^{\infty}\frac{\sin(n\omega t)}{n}$$ 中n=17及之后的项。这种误差在平滑的三角波中较小且收敛快，但在方波中容易以振荡（振铃）形式残留。实际信号处理中，需要权衡精度需求与计算成本来确定N值。
合成基频f₁=50Hz的方波，取前7阶谐波。第1阐：A₁=4/π≈1.273V；第3阐：A₃=4/3π≈0.424V；第5阐：A₅=4/5π≈0.255V；第7阐：A₇=4/7π≈0.182V。合成信号在t=0.01s时的瞬时值为各阶分量sin(2πnft+φₙ)的叠加，观察到在波形跳变处出现约9%的过冲（吉布斯现象），增加至25阶谐波后过冲降至约5%。