パラメータ設定
材料プリセット
境界条件
初期条件プリセット
支配方程式
フーリエの熱伝導方程式（2次元非定常）：
$$\frac{\partial T}{\partial t}= \alpha\!\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$
安定条件（クーラン数）: $r = \alpha\Delta t/\Delta x^2 \leq 0.25$
CAE実務との接点：本ツールの陽解法FDMはAnsys Mechanicalの熱解析（Transient Thermal）と同じ数学的基盤。電子基板冷却・建築断熱・溶接熱履歴計算に直結。
0°C
100°C
クリック: 熱源を追加 (クリック＆ドラッグで連続追加)
数値手法：陽解法有限差分
離散化式（中心差分）：
$$T_{i,j}^{n+1}= T_{i,j}^n + r\!\left(T_{i+1,j}^n + T_{i-1,j}^n + T_{i,j+1}^n + T_{i,j-1}^n - 4T_{i,j}^n\right)$$
60×60グリッド、各フレームに複数ステップ計算（速度倍率に応じて）。境界はディリクレ（温度固定）またはノイマン（断熱）を選択可能。
2次元非定常熱伝導シミュレーターとは
🧑🎓
このシミュレーターで「非定常」ってどういう意味ですか？時間が止まってるわけじゃないですよね？
🎓
その通り！「非定常」は温度が時間とともに変化する状態だよ。例えば、冷蔵庫に温かい料理を入れた直後、中はどんどん冷えていくよね。あの「どんどん」の部分を計算しているんだ。上の「シミュレーション速度」スライダーを動かすと、この時間の進み具合を速くしたり遅くしたりできる。触ってみて！
🧑🎓
なるほど！画面をクリックして熱源を置くと、じわーっと広がっていきますね。この「広がりやすさ」を決めてる「熱拡散率α」って何ですか？
🎓
ざっくり言うと、熱の「伝わりやすさ」と「蓄えにくさ」を合わせた材料固有の値だ。アルミニウムは鉄より熱が速く広がるよね？だからアルミのα（約8.4×10⁻⁵ m²/s）は鉄（約1.2×10⁻⁵）より大きい。このツールの「材料プリセット」を変えると、αの値が切り替わって、熱の広がり方が全然違って見えるよ。
🧑🎓
画面の端っこがいつまでも冷たいままなのはなぜですか？「境界条件」って関係ありますか？
🎓
鋭いね！それは「ディリクレ境界条件」で温度が固定されているからだ。実務では、冷却水が流れるパイプの表面温度を20℃に固定する、みたいな設定に相当する。逆に、断熱材で覆われた面は「ノイマン条件（∂T/∂n=0）」を使う。このシミュレーターでは、初期状態で四辺が低温固定、内部は断熱になっているんだ。
物理モデルと主要な数式
熱の流れを記述する基本となる「フーリエの2次元非定常熱伝導方程式」です。温度Tの時間変化（左辺）が、空間的な広がり（右辺）に比例することを表しています。
$$\frac{\partial T}{\partial t}= \alpha\!\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$
$T$: 温度 [°C], $t$: 時間 [s], $\alpha$: 熱拡散率 [m²/s], $x, y$: 位置座標 [m]
このシミュレーターで実際に計算に使われている「陽解法」の差分式です。現在の温度と周囲4点の温度から、次の時間ステップの温度を直接計算します。
$$T_{i,j}^{n+1}= T_{i,j}^n + r\!\left(T_{i+1,j}^n + T_{i-1,j}^n + T_{i,j+1}^n + T_{i,j-1}^n - 4T_{i,j}^n\right)$$
$T_{i,j}^{n}$: 時刻$n$、格子点$(i,j)$の温度, $r = \alpha \Delta t / (\Delta x)^2$: クーラン数（無次元数）。この$r$が0.25を超えると計算が発散する（「安定条件」）ため、$\alpha$や時間刻み$\Delta t$の設定が重要です。
実世界での応用
電子機器の冷却設計：スマートフォンやサーバーのCPUは発熱体です。基板上で熱がどう広がり、放熱フィンやヒートシンクがどこに必要かを、このような2次元熱伝導解析で事前にシミュレーションします。クリックで熱源を追加する操作は、実際の基板レイアウト設計に直結します。
建築・断熱設計：壁の内部結露を防ぐため、断熱材の配置や厚さを決めるのに熱伝導解析が使われます。冬場、室内側の壁表面温度が露点温度を下回らないように、ツールで「境界条件」を変えながら最適な設計を探ります。
溶接・加工プロセス：金属を溶接すると、局所的に高温になり、その後冷却されます。この「熱履歴」によって材料の組織や強度が変わるため、溶接部の品質を保証するために非定常熱伝導解析は必須です。
地中熱利用システム：地中に埋めたパイプで熱交換するシステムの設計では、地盤中の長期的な温度分布の変化（非定常現象）をシミュレーションします。ツールの「カラースケール」を調整して、温度の微妙な分布を見る作業に似ています。
よくある誤解と注意点
まず、「シミュレーション速度」と「物理的な時間の進み方」を混同しないでください。スライダーでアニメーションを速くしても、熱が実際に伝わる速さが変わるわけではありません。あくまで可視化のための再生速度です。物理的な時間の進みは「時間刻みΔt」と「計算ステップ数」で決まります。例えば、Δt=0.1秒で1000ステップ計算すれば、100秒後の状態を見ていることになります。
次に、「熱拡散率α」と「熱伝導率λ」は別物です。αは「熱の広がりやすさ」、λは「熱の伝えやすさ」です。関係式は $\alpha = \lambda / (\rho c)$ で、密度ρと比熱cが関わります。断熱材はλが小さいですが、同時にρやcも小さいことがあり、αは意外と大きい場合もあります。材料の「熱的な性格」を考える時は、この3つの物性値（λ, ρ, c）をセットで考える癖をつけましょう。
最後に、このツールの「発散」は現実の爆発ではないこと。クーラン数rが0.25を超えると計算が破綻しますが、これは数値解法（陽解法）の制限です。実務では、メッシュを細かくするとΔtも極端に小さくする必要があり、計算時間が膨大になります。だからこそ、陰解法や不完全陰解法など、別の安定なアルゴリズムが開発されているんです。
関連する工学分野
この2次元非定常熱伝導の計算は、「拡散」という普遍的な物理現象の一例です。同じ形の方程式（拡散方程式）で記述される分野はたくさんあります。例えば、物質拡散。半導体製造での不純物の拡散（ドーピング）や、金属表面への浸炭処理は、温度Tを濃度Cに置き換えれば全く同じ式でシミュレーションできます。
また、地下水流動解析の基礎もこれに似ています。地中の水頭（水圧）の時間変化を、熱拡散率の代わりに透水係数を使って解きます。さらに、金融工学のオプション価格評価モデル（ブラック・ショールズ方程式）も、変数変換すると熱伝導方程式と同じ形になります。熱が広がる様子が、リスクが資産価格に広がる様子と数学的に相似なんです。
直接的な応用では、電池の熱管理（BMS）が重要です。リチウムイオン電池は発熱し、局部過熱が暴走（サーマルランウェイ）を引き起こします。セル内部の温度分布を2次元/3次元で予測することは、EVの安全性設計の核心です。このシミュレーターで熱源を複数配置する操作は、電池パック内の複数セルの配置シミュレーションの基礎体験と言えます。
発展的な学習のために
まず次の一歩は、「境界条件の種類とその物理的意味」を深堀りすることです。このツールにあるディリクレ条件（温度固定）とノイマン条件（熱流束指定）に加え、実務では「熱伝達境界条件（第三種境界条件）」が最もよく使われます。これは、固体表面と流体（空気や水）間の熱の出入りを、熱伝達率hと流体温度T_fで表す条件で、$\lambda \frac{\partial T}{\partial n} = h (T_f - T)$ という式で表されます。放熱フィンの設計はこの条件なしでは語れません。
数学的背景としては、偏微分方程式の数値解法の体系的理解が役立ちます。このツールが使っている「陽解法」は理解しやすいですが、制約が大きい。次のステップで「陰解法」や「クランク・ニコルソン法」を学ぶと、なぜそれらが安定で効率的なのかがわかります。キーワードは「連立一次方程式」と「マトリックスソルバー」です。
実践的な学習では、このツールで仮想実験をデザインしてみてください。例えば、「角部に熱源を置いた時と中心に置いた時、温度が一様になるまでの時間はどれくらい違うか？」「断熱境界を増やしていくと、内部の平衡温度はどう上昇するか？」を定量的に調べ、その結果を簡単なグラフにまとめてみましょう。CAEで最も重要なのは、シミュレーション結果の物理的解釈と、設計判断への落とし込み方です。このツールは、その第一歩を踏み出すのに最適な場です。