参数设置
材料预设
边界条件
初始条件预设
控制方程
二维非稳态热传导方程（傅里叶定律）：
$$\frac{\partial T}{\partial t}= \alpha\!\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$
稳定条件（库朗数）: $r = \alpha\Delta t/\Delta x^2 \leq 0.25$
CAE工程应用：本工具的显式FDM与Ansys瞬态热分析模块采用相同数学原理。适用于电路板冷却、建筑节能、焊接热历程等工程问题。
0°C
100°C
点击画布可添加热源（按住拖动连续添加）
数值方法：显式有限差分
中心差分离散化格式：
$$T_{i,j}^{n+1}= T_{i,j}^n + r\!\left(T_{i+1,j}^n + T_{i-1,j}^n + T_{i,j+1}^n + T_{i,j-1}^n - 4T_{i,j}^n\right)$$
60×60网格，每帧计算多个时间步（由速度倍率决定）。边界条件支持Dirichlet（温度固定）和Neumann（绝热，∂T/∂n=0）。
什么是二维瞬态热传导
🧑🎓
这个模拟器里，温度像水波纹一样扩散开，好神奇！这背后的“二维瞬态热传导”到底是什么？
🎓
简单来说，就是热量在一个平面上，随着时间推移，从热的地方传到冷的地方的动态过程。比如你刚把一块烧红的铁板放在金属工作台上，热量就会从接触点向整个台面扩散。在我们的模拟器里，你点击或拖动鼠标添加的热源，就相当于那块“红铁板”，你可以实时看到热量（用颜色表示）如何传播开来。
🧑🎓
诶，真的吗？那为什么不同材料扩散的速度不一样？我注意到模拟器里可以选“材料预设”。
🎓
问得好！这关键就在于一个叫“热扩散率”的参数，它决定了材料导热的本领。铝的热扩散率比钢大得多，所以铝传热更快。你试着在模拟器里把材料从“钢”切换到“铝”，保持其他条件不变，你会发现热量“跑”得更快了。这就是为什么电脑CPU散热片多用铝做的原因。
🧑🎓
原来如此！那如果我疯狂调快“模拟速度”滑块，动画会不会出错或者“爆炸”啊？
🎓
哈哈，你问到点子上了！在实际的数值计算中，确实有“爆炸”的可能，这叫做数值发散。为了保证稳定，计算必须满足一个叫“库朗条件”的限制。在我们的模拟器里，当你把模拟速度调得过高，导致时间步长太大时，画面可能会开始剧烈抖动或出现不合理的色块，这就是在模拟数值不稳定。你可以试试看，这是一个理解CAE仿真底层限制的绝佳机会。
物理模型与关键公式
模拟器求解的核心是二维非稳态热传导方程，它描述了温度T随时间t和空间(x, y)的变化关系：
$$\frac{\partial T}{\partial t}= \alpha\!\left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\right)$$
其中，$T$是温度(°C)，$t$是时间(s)，$\alpha$是热扩散率(m²/s)，它由材料的导热系数、密度和比热容决定。$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}$ 是温度的拉普拉斯算子，衡量空间上的温度不均匀程度。
模拟器使用“显式有限差分法”将上面的偏微分方程离散化，得到可以直接在网格上计算的递推公式：
$$T_{i,j}^{n+1}= T_{i,j}^n + r\!\left(T_{i+1,j}^n + T_{i-1,j}^n + T_{i,j+1}^n + T_{i,j-1}^n - 4T_{i,j}^n\right)$$
这里，$T_{i,j}^n$ 表示第n个时间步、网格点(i, j)的温度。$r = \alpha \Delta t / (\Delta x)^2$ 被称为库朗数。为了保证计算稳定，必须满足 $r \le 0.25$。这就是为什么“模拟速度”（影响$\Delta t$）不能无限调快的原因。
现实世界中的应用
电子设备散热设计：比如智能手机或电脑主板上的芯片（CPU/GPU）是热源，工程师使用此类模拟来设计散热片、热管和风扇的布局，防止元件过热降频或损坏。
建筑节能与暖通空调（HVAC）：模拟太阳辐射、室内热源（如人体、电器）对建筑墙体温度场的影响，用于优化保温材料厚度、窗户设计以及空调系统的送风策略，实现节能。
材料加工与焊接：在激光焊接或热处理过程中，极高的热量在极短时间内输入工件。模拟热传导可以预测材料的熔化区、热影响区大小，从而控制工艺参数，保证接头质量。
地热资源评估：分析地下岩层的瞬态热传导过程，帮助评估地热田的热储量以及热量提取的可持续性，为地热电站的选址和设计提供依据。
常见误解与注意事项
首先，请勿混淆“仿真速度”与“物理时间流逝速度”。即使通过滑块加快动画播放速度，热量实际传递的速率并不会改变。这仅仅是可视化所需的播放速率。物理时间的流逝由“时间步长Δt”和“计算步数”决定。例如，若设定Δt=0.1秒并计算1000步，则相当于观察100秒后的状态。
其次，“热扩散率α”与“热导率λ”是不同的物理量。α表征“热量扩散的难易程度”，λ表征“热量传递的难易程度”。二者关系式为 $\alpha = \lambda / (\rho c)$，其中涉及密度ρ与比热c。隔热材料虽然λ较小，但有时其ρ或c也较小，因此α可能意外地较大。在分析材料的“热特性”时，请养成将这三个物性参数（λ, ρ, c）作为整体考量的习惯。
最后，本工具的“发散”现象并非真实爆炸。当库朗数r超过0.25时计算会崩溃，但这是数值解法（显式解法）的固有局限。在实际工程中，细化网格往往需要极端缩小Δt，导致计算量剧增。正因如此，业界才开发了隐式解法、不完全隐式解法等其他稳定算法。
相关工程领域
此二维非稳态热传导计算是“扩散”这一普遍物理现象的典型案例。许多领域都可用相同形式的方程（扩散方程）描述。例如物质扩散：半导体制造中的杂质扩散（掺杂）、金属表面渗碳处理等问题，只需将温度T替换为浓度C即可用完全相同的方程进行仿真。
此外，地下水流分析的基础也与此相似。通过将热扩散率替换为渗透系数，可求解地层中水头（水压）随时间的变化。更进一步，金融工程中的期权定价模型（布莱克-舒尔斯方程）经变量变换后亦呈现与热传导方程相同的形式。热量扩散的数学模式与风险在资产价格中扩散的规律具有同构性。
在直接应用层面，电池热管理（BMS）至关重要。锂离子电池发热时，局部过热可能引发热失控。对电芯内部温度分布进行二维/三维预测，是电动汽车安全设计的核心环节。在本仿真工具中设置多个热源的操作，可视为电池包内多电芯布局仿真的基础体验。
进阶学习建议
第一步建议深入探究“边界条件类型及其物理意义”。除本工具已包含的狄利克雷条件（固定温度）与诺伊曼条件（指定热流）外，工程实践中最常用的是“对流换热边界条件（第三类边界条件）”。该条件通过传热系数h与流体温度T_f描述固体表面与流体（空气或水）间的热交换，表达式为 $\lambda \frac{\partial T}{\partial n} = h (T_f - T)$。散热鳍片的设计离不开对此条件的理解。
在数学背景方面，系统学习偏微分方程数值解法将大有裨益。本工具采用的“显式解法”易于理解但限制较多。下一步若学习“隐式解法”与“克兰克-尼科尔森法”，便能理解它们为何更稳定高效。相关核心关键词为“线性方程组”与“矩阵求解器”。
实践性学习建议：尝试用本工具设计虚拟实验。例如定量研究“热源置于角落与中心时，温度达到均匀所需时间差异多大？”“逐渐增加绝热边界时，内部平衡温度如何上升？”，并将结果整理成简明图表。CAE分析的核心在于对仿真结果的物理解读及其向设计决策的转化。本工具正是迈出第一步的理想平台。