軌道パラメータ
再生速度
0.1x
1x
10x
50x
表示設定
軌道トレイル
速度ベクトル
等面積表示
近日点・遠日点
プリセット
地球
火星
水星
円軌道
彗星(高e)
計算結果
公転周期 T
—
T²/a³（=1.0で正確）
—
現在の距離 r
—
現在の速度 v
—
真近点離角 θ
—
近日点距離 r_peri
—
遠日点距離 r_aph
—
0.000 年
第1法則: 楕円軌道 $r = \dfrac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$
第2法則: 面積速度一定 $\dfrac{dA}{dt}= \dfrac{L}{2m}=\text{const}$
ビス・ビバ: $v = \sqrt{GM\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a}\right)}$
第3法則: $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$、AU/yr単位で $T^2 = a^3$
$GM_\odot = 4\pi^2\ \text{AU}^3/\text{yr}^2$
ケプラー軌道とは
🙋
「惑星の軌道は楕円」って教科書で見ますけど、どうやってシミュレーターで確かめられるんですか？
🎓
大まかに言うと、太陽を中心にした「長半径」と「離心率」で軌道の形が決まるんだ。このシミュレーターの上のスライダーで「離心率」を0から0.9くらいに動かしてみて。e=0なら真円、eが大きくなるほど細長い楕円になるのが一目瞭然だよ。
🙋
え、そうなんですか！離心率を大きくすると、惑星の動く速さも大きく変わるんですね。太陽に近いところでは非常に速くて、遠いところではすごくゆっくり。
🎓
その通り！これがケプラーの第2法則「面積速度一定」の直感的な表現だ。シミュレーターの「等面積表示」をオンにすると、等時間ごとに描かれる扇形の面積が常に同じなのがわかる。実務では、探査機が近日点でスイングバイする際の速度計算にこの原理が使われてるんだ。
🙋
プリセットで「彗星(高e)」ってありますね。これ、離心率が大きい…非常に細長い軌道なんですか？
🎓
そうだね。彗星プリセットを選んで再生すると、太陽の近くを猛スピードで通り過ぎて、遠日点ではほとんど動いてないように見えるはず。速度ベクトルの矢印も近日点で一番長くなる。このシミュレーターでは「長半径」も変えられるから、例えば地球（a=1, e≈0）と火星（a≈1.5）を比べると、第3法則「周期の2乗は長半径の3乗に比例」が成り立って、火星の方がゆっくり公転するのが確認できるよ。
よくある質問
離心率や長半径を変更したとき、軌道の形はどのように変わりますか？
離心率eを0に近づけると円軌道、1に近づけると細長い楕円軌道になります。長半径aを大きくすると軌道全体が拡大し、公転周期も長くなります（ケプラーの第3法則）。スライダーを動かしながらリアルタイムで変化を確認できます。
面積速度が一定であることは、画面上でどのように確認できますか？
惑星が近日点（太陽に近い）付近では速く、遠日点では遅く動きます。シミュレーター上で一定時間ごとに惑星と太陽を結ぶ線分が掃く扇形の面積が等しくなる様子をアニメーションで視覚的に確認できます。
このシミュレーターは実際の惑星の軌道計算に使えますか？
本ツールは教育用で、ケプラーの法則を直感的に理解するためのものです。実際の惑星運動には摂動や相対論効果などが影響するため、精密な軌道計算には専用の天体力学ソフトウェアが必要です。
数値計算の精度や、シミュレーションが破綻する条件はありますか？
離心率が1に近い極端な楕円軌道や、長半径を極端に小さくした場合、数値誤差が大きくなることがあります。また、e≧1では双曲線軌道となり、本シミュレーターのモデル範囲外です。スライダーは安全な範囲に制限されています。
実世界での応用
宇宙探査機の軌道設計： 火星や小惑星への探査機は、地球の重力を利用したスイングバイを行います。この軌道計算の基礎がケプラー軌道力学です。近日点での高速移動を利用して加速し、燃料を節約します。
人工衛星の配置： 通信衛星や気象衛星は、多くの場合、地球を焦点とする楕円軌道または円軌道に投入されます。特に地球観測衛星は、特定の地域を定期的に観測できるよう、軌道長半径と離心率が精密に設計されます。
彗星・小惑星の運動予測： ハレー彗星のような長周期彗星や、地球に接近する可能性のある小惑星（NEO）の将来の位置を予測するために、その軌道要素（長半径、離心率など）を測定し、ケプラーの法則に基づいて計算します。
CAEにおける軌道解析： 自動車の衝突試験や構造物の動的解析で用いる数値積分法（Verlet法、Newmark-β法等）は、この惑星運動のシミュレーションで使われる手法と同系統です。宇宙機の構造CAEでは、軌道力学と連成させた解析が行われます。
よくある誤解と注意点
まず、「シミュレーターの軌道は永遠に安定」という思い込み に注意だ。現実の太陽系では、他の惑星の重力（摂動）が働くため、軌道は完全な楕円からわずかにずれていく。このツールは「二体問題」だけを扱っているから、地球と太陽だけの理想的な世界だと思って使おう。例えば、木星の巨大な重力は小惑星帯の軌道に大きな影響を与えているんだ。
次に、パラメータ設定の落とし穴 。離心率eを1以上に設定すると、軌道は楕円ではなく放物線や双曲線になってしまい、惑星は太陽に戻ってこない。あくまで惑星の「閉じた軌道」を学ぶツールだと理解しておこう。また、長半径aを大きくしすぎると、アニメーションで惑星が画面から一瞬で消えてしまうことがある。初期値の1（天文単位）を基準に、まずは火星の1.5倍くらいまでで遊ぶのがコツだよ。
最後に、「等面積表示」の本当の意味 。扇形の面積が同じなのは、時間間隔が一定だからだ。でも、この「面積速度一定」は、太陽からの引力（中心力）だけが働いている時にだけ成り立つ法則だ。実務で衛星を設計する時、大気抵抗や太陽光圧が加わると、この法則は成り立たなくなる。シミュレーターの理想環境と現実の違いを意識することが、次のステップへの第一歩だ。