振動パラメータ
描画設定
アニメーション
ハーモノグラフ
プリセット
数式
$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \varphi)$
$y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$
ハーモノグラフ（減衰あり）：
$x = A_x e^{-d_x t}\sin(\omega_x t+\varphi)$
fx:fy = 3:2
φ = 0.00π
蝶型
リサジュー図形とは
🧑🎓
リサジュー図形って何ですか？ ただのぐにゃぐにゃした線に見えますけど。
🎓
ざっくり言うと、2つの振動を組み合わせた軌跡だよ。例えば、x方向に「ブーン」、y方向に「ビーン」と振動させると、その先端が描く軌跡がリサジュー図形になるんだ。上のシミュレーターで、周波数比「f_x : f_y」を1:1にして、位相差「φ」を0°から90°までスライダーで動かしてみて。直線が円に変わっていくのがわかるよ。
🧑🎓
え、そうなんですか！ 周波数比を1:2にしたら∞の字（8の字）になりました。これも全部計算で決まる図形なんですか？
🎓
その通り！ 2つの単純な三角関数（サイン波）の組み合わせで、この複雑な模様が全て決まるんだ。実務では、電気信号の周波数や位相を測定する「リサジュー図形法」に使われることが多いね。シミュレーターの「描画点数」を増やすと、滑らかで精密な図形になるから試してみて。
🧑🎓
「減衰 d_x」と「減衰 d_y」のスライダーは何に使うんですか？ 図形が渦巻きみたいになりました。
🎓
これは「ハーモノグラフ」モードだね。現実の振り子は空気抵抗でだんだん振れが小さくなるよね？ その減衰を再現しているんだ。パラメータを少しずつ変えると、外側から内側へらせんを描きながら消えていく、とても芸術的なパターンが作れるよ。保存機能で気に入った模様をPNGで残せるから、いろいろ試してみよう。
物理モデルと主要な数式
リサジュー図形は、互いに直交するx方向とy方向の単振動（調和振動）を合成した、質点の軌跡として定義されます。それぞれの振動は、振幅、角周波数、位相によって記述されます。
$$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \varphi)$$
$$y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$$
$A_x, A_y$: x, y方向の振幅（振れ幅）
$\omega_x, \omega_y$: x, y方向の角周波数（$\omega = 2\pi f$）
$\varphi$: x方向の振動に対するy方向の振動の位相差
$t$: 時間パラメータ
減衰振動を考慮した「ハーモノグラフ」モードでは、時間とともに振幅が指数関数的に減衰する項を加えます。これにより、現実の摩擦や抵抗を伴う振動をモデル化できます。
$$x(t) = A_x e^{-d_x t}\sin(\omega_x t + \varphi)$$
$$y(t) = A_y e^{-d_y t} \sin(\omega_y t)$$
$d_x, d_y$: x, y方向の減衰係数。値が大きいほど振幅が速く減衰します。
物理的には、振り子の運動が空気抵抗などによってエネルギーを失い、振れ幅が小さくなる様子を表しています。減衰係数が異なると、非対称ならせんパターンが生まれます。
実世界での応用
電子工学・計測：オシロスコープを用いた「リサジュー図形法」は、2つの交流信号の周波数比や位相差を視覚的・定量的に測定する古典的かつ有効な手法です。未知の信号周波数を既知の信号と比較して求めます。
振動解析：機械システムにおいて、互いに直交する方向の振動成分の関係を分析するのに利用できます。特定の周波数比で現れる特徴的な図形から、システムの共振モードや不均衡を推察することがあります。
芸術・デザイン：その数学的に生成される美しい対称性とパターンから、視覚芸術や織物の模様、ロゴデザインのインスピレーションとして古くから用いられてきました。減衰項を加えることでさらに有機的な曲線が得られます。
教育演示：物理学の「振動の合成」や数学の「パラメータ曲線」を理解するための直感的な教材として最適です。パラメータをリアルタイムで変更しながら図形が連続的に変化する様子は、概念の理解を深めます。
よくある誤解と注意点
まず、「周波数比は単純な整数比だけ」と思い込まないでください。確かに1:2や3:4などは美しい閉じた図形になりますが、1:√2のような無理数比にすると、図形は決して閉じずに時間とともに描画領域を埋め尽くしていきます。これは「準周期運動」と呼ばれ、実世界の非調和的な振動解析で重要です。次に、「位相差」の解釈。位相差φはy方向の振動に対するx方向の「先行度」と説明されることが多いですが、本ツールの数式モデルでは「x方向の振動にφが加わっている」形です。この定義の違いを意識せず文献を読むと混乱するので注意。実務では、どちらの定義を採用しているか確認が必要です。
パラメータ設定のコツとしては、「描画点数」と「シミュレーション時間」のバランスを意識しましょう。描画点数を最大にしても、シミュレーション時間が短すぎれば図形は未完結です。逆に、減衰モードで長時間シミュレートすると、中心で点に収束して何も見えなくなります。例えば、周波数比5:4のような少し複雑な比では、図形が閉じるまでの時間（2つの振動の公倍数）が長いので、シミュレーション時間を多めに取る必要があります。最後に、振幅Ax, Ayは図形の「見かけの大きさ」だけでなく「形状」にも影響します。特に減衰係数dx, dyを非対称にすると、振幅の違いがらせんの引き込み方に劇的な影響を与えるので、両者を組み合わせて調整してみてください。
関連する工学分野
このツールの背後にある「直交する振動の合成」という概念は、CAEを超えて様々な工学分野の根幹にあります。まず「機械工学・振動工学」では、タービンブレードなどの複雑な構造物のモード解析が該当します。有限要素法（FEM）解析で得られる各次モード形状は、互いに直交する振動形態です。リサジュー図形的な考え方は、2つのモードが同時に励起された時の複合的な振動軌跡を想像する助けになります。
「制御工学」では、リミットサイクルや吸引子の可視化に通じます。非線形システムでは、減衰のない持続振動（リミットサイクル）が生じることがあり、位相面に閉じた軌道として描かれます。これはリサジュー図形そのものです。さらに「ロボティクス」では、例えば円軌道を描くSCARAロボットのアーム先端の動きは、X軸とY軸の駆動部が特定の位相差で同周期運動することによって実現されており、その軌道計画は本ツールの原理そのものです。
また、「電気電子工学」では既存テキストにあるオシロスコープ測定以外に、デジタル変調方式（QPSK, QAMなど）の信号コンステレーション図を理解する基礎となります。I信号（In-phase）とQ信号（Quadrature）という2つの直交する搬送波で情報を運ぶ方式で、位相と振幅の組み合わせで決まる信号点の分布は、一種のリサジュー図形的な空間にプロットされます。
発展的な学習のために
まず次のステップは、「パラメトリック励振」や「連成振動」を調べてみましょう。リサジュー図形は「独立した2つの振動子」を想定していますが、現実では振動系同士がエネルギーをやり取りし（連成）、またはある系のパラメータ（如：振り子の紐の長さ）が時間変化することで（パラメトリック）、より豊富で時にはカオス的な振る舞いを示します。これらは非線形動力学の入り口です。
数学的背景を深めたいなら、「フーリエ級数」と「リサジュー図形」の関係を探求するのがおすすめです。周期関数はサインとコサインの和（フーリエ級数）で表せますが、リサジュー図形はその2つの成分（例えば基本波と第3高調波）をxとyに割り当てて可視化していると解釈できます。さらに進んで、「位相空間（状態空間）」の概念を学びましょう。振動子の位置と速度を軸とするこの空間では、時間発展が軌跡として描かれ、減衰振動は原点へのらせん、持続振動は閉曲線となります。これはリサジュー図形をより一般化した視点です。
実践的な学びとして、このシミュレーターの数式を自分でプログラミング（PythonのMatplotlibなど）してみることを強く推奨します。パラメータを連続的に変化させてアニメーションを作成したり、3つ目の振動zを加えて3Dリサジュー図形（リサジュー曲面）を描画したりすることで、理解は飛躍的に深まります。ツールは「使う」だけでなく、「中身を再構築する」ことが最高の学習です。