参数设置
绘图设置
动画
谐波记录仪
预设
a:b = 3:2
φ = 0.00π
复杂曲线
示波器（XY 模式）— 两个振动描绘出图形
相位预设：
x 振动（上边）
y 振动（左边）
追踪点 (x,y)
已知图形的验证
- 1:1, δ=0° → 对角线（在预设“1:1 45°”中将 δ 设为 0）
- 1:1, δ=90° → 圆／椭圆
- 1:2, δ=0° → 8 字形（2 个瓣）
- 2:3 → 蝴蝶形（x 方向 3 瓣、y 方向 2 瓣）
- f_x : f_y ＝（与左右边相切的次数）:（与上下边相切的次数）。无理数比（例 1:√2）时图形不会闭合。滑块以 0.01 为步长，设为非整数值（例 3.07）时，比、波瓣数和周期显示为“—”。
参数方程和衰减公式
$x(t) = A \sin(a\,t + \delta)$
$y(t) = B \sin(b\,t)$
频率比 $a:b$ 为有理数时为闭合曲线。相位 $\delta$ 决定其方向。
带衰减时：
$x = A\,e^{-d_x t}\sin(a\,t+\delta)$
什么是李萨如图形？
🙋
李萨如图形到底是什么？在模拟器上看起来是一个点在动，为什么会画出这么漂亮的图案？
🎓
基本上，它是两个相互垂直的独立振动合成后，其端点描出的轨迹。想象一下一边让摆沿南北方向摆动，一边同时在东西方向推它。任意时刻点的位置，就是把两个运动各自给出的 X 坐标和 Y 坐标组合起来。在模拟器中把两个频率（f_x 和 f_y）都设为 1，应该会画出简单的椭圆或圆。
🙋
真的吗！？那图案的形状是由两个频率决定的啊。如果设成 1 和 2 这样不同的值会怎样？
🎓
没错！频率比是关键。1:2 的比意味着 Y 方向走 2 个周期时 X 方向只走 1 个周期，这样就出现经典的“8 字”图案。实际设 f_x=1、f_y=2，然后一点点移动“相位差 φ”滑块，可以观察到 8 字旋转变形的样子！
🙋
真不可思议。“阻尼”滑块是做什么的？把值调大，曲线就向内卷成漩涡。
🎓
观察得好！阻尼模拟了摩擦这类现实世界中的能量损失，使各振动的振幅随时间按指数衰减。因此不是完全闭合的椭圆无限重复，而是振幅一边变小一边向中心画螺旋。例如在汽车悬架试验中，工程师会加入阻尼确认振动的收敛方式。打开谐振记录仪（harmonograph）并设阻尼 d_x=50、d_y=20，就会出现不对称的螺旋。
物理模型与主要公式
模拟器内部是两个独立的阻尼谐振子。轨迹点的水平（X）和垂直（Y）位置由正弦波与指数衰减项组合的下列公式表示。
$$x(t) = A_x e^{-d_x t}\sin(f_x t + \varphi)$$
$$y(t) = A_y e^{-d_y t}\sin(f_y t)$$
变量含义：
$A_x, A_y$：初始振幅（摆动的大小）。
$f_x, f_y$：相对频率（1.00～8.00。没有单位，只有比决定图形）。
$d_x, d_y$：阻尼系数（仅谐振记录仪模式。滑块值 0～50 对应内部系数 0～0.005）。
$\varphi$：相位差（X 与 Y 振动的时间偏移）。
$t$：沿曲线前进的参数（无量纲。无阻尼时绘制到闭合为止的 1 个周期，谐振记录仪模式绘制 $t=0$～$40\pi$）。
得到的图形是以 $x(t)$ 为横轴绘制 $y(t)$ 的参数曲线。只有当频率比 $f_x : f_y$ 为有理数（例：3:2）且阻尼为零时，图形才闭合并周期性重复。相位差 $\varphi$ 控制图案的“旋转”和方向。
$$ \frac{f_x}{f_y}= \frac{m}{n}\quad \text{（稳定闭合曲线的条件）} $$
这里 $m$ 和 $n$ 是整数。1:1（$m=n$）的比产生椭圆，2:3 的比产生更复杂的环状图形。有阻尼时，图形不闭合，向内画螺旋。
现实世界中的应用
模拟示波器的校准：在数字示波器普及之前，技术人员利用李萨如图形测量未知频率。把已知频率输入一个通道，未知信号输入另一个通道，从出现的图形形状读出频率比。若画出稳定的圆，就说明两者频率完全一致。
机械振动分析：在旋转机械中，在轴承附近布置相互垂直的两个方向的位移传感器，在 X-Y 显示上画出轴心的轨迹（轴心轨迹）。轨迹形状是区分不平衡（椭圆）、不对中（接近 8 字形）等异常的线索。
激光灯光秀：激光显示中奇妙的图案，多是通过精密振动相互垂直布置的反射镜产生的。调节反射镜的频率和相位（与本模拟器的滑块同理），可以生成从简单漩涡到蝴蝶般复杂图形的各种图案。
电信号的相位比较：在交流电路分析中，比较电压与电流的相位差极为重要。在 X-Y 图上显示两者会画出李萨如椭圆，从椭圆的倾斜和形状可以直接读出相位差，有助于诊断功率因数相关问题。
常见误解与注意事项
首先，不要以为频率比只限于简单的整数比。1:2 或 3:4 这样的比确实会产生漂亮的闭合图形，但在 1:√2 这样的无理数比下，图形永远不会闭合，会随时间逐渐填满整个绘图区域。这称为“准周期运动”，在分析现实世界的非谐振动时很重要。其次，“相位差”的解释也需要注意。有些文献把相位加在 y 方向振动上（$y = B\sin(b\,t + \delta)$），而本工具采用把 φ 加在 x 方向振动上的形式（x 比 y 超前 φ）。不注意这种定义差异去读文献会引起混乱，实务中请务必确认使用的是哪种定义。
设置参数的诀窍是关注“绘制点数”与频率大小的平衡。本工具把图形闭合前的 1 个周期按“绘制点数”分割来绘制。像 5:4 或 7:8 这样频率较大的比，1 个周期内包含的振动次数更多，点数少时曲线看起来有棱角，这时请增加绘制点数。谐振记录仪模式绘制 $t=0$～$40\pi$，即使阻尼最大（内部系数 0.005），终点振幅也约为 0.53 倍，因此图形不会缩成中心的一个点而看不见。最后，振幅 Ax 和 Ay 不仅影响图形的“表观大小”，还影响其“形状”。特别是当阻尼系数 dx 和 dy 不对称时，振幅的差异会极大地影响螺旋向内收缩的方式。请组合起来调节试试。