振动参数
绘图设置
动画模式
谐振仪模式
预设图案
数学公式
$x(t) = A_x \sin(\omega_x t + \varphi)$
$y(t) = A_y \sin(\omega_y t)$
谐振仪（含衰减）：
$x = A_x e^{-d_x t}\sin(\omega_x t+\varphi)$
fx:fy = 3:2
φ = 0.00π
蝴蝶形
什么是利萨如图形
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简单来说，就是两个垂直方向的振动“打架”画出来的图案。比如，你想象一个点在水平方向左右摇摆，同时又在垂直方向上下摇摆，它最终走出来的轨迹，就是利萨如图形。在实际工程中，这就像示波器屏幕上两个信号叠加出来的花样。你试着拖动上面模拟器的“频率 f_x”和“频率 f_y”滑块，把比例调成1:2，马上就能看到一个漂亮的“8”字形！
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诶，真的吗？那旁边的“相位差 φ”是干嘛用的？调了好像图形会变形？
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问得好！相位差就是两个振动“起步”的时间差。比如在汽车发动机的振动测试中，不同部件的振动相位不同，合成的图形就千差万别。你试试在频率比1:1时，把相位差从0慢慢拖到90度，看看图形怎么从一条斜线变成一个正圆的？这就是相位差的魔力。
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原来如此！那“衰减 d_x”和“衰减 d_y”又是什么？开了之后图形怎么像蜗牛壳一样往里卷了？
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哈哈，这个比喻很形象！衰减模拟的是现实世界里的阻力，比如老式沙摆实验，摆锤因为空气阻力会越摆幅度越小。在模拟器里打开衰减，相当于给振动加了“刹车”，振幅会随时间指数减小，轨迹就从外向内螺旋收敛，画出那种复古又优美的图案。工程现场常见的是分析有阻尼的振动系统。你改变衰减参数后，会看到图形从稳定图案变成动态收缩的过程，特别直观。
物理模型与关键公式
利萨如图形的核心是两个相互垂直的简谐振动（或阻尼振动）的合成。其运动由以下参数方程描述：
$$x(t) = A_x e^{-d_x t}\sin(\omega_x t + \varphi)$$
$$y(t) = A_y e^{-d_y t}\sin(\omega_y t)$$
其中，$x(t)$和$y(t)$是点在t时刻的坐标。$A_x$, $A_y$是初始振幅。$\omega_x = 2\pi f_x$, $\omega_y = 2\pi f_y$是角频率。$\varphi$是x方向振动相对于y方向振动的相位差。$d_x$, $d_y$是衰减系数，决定了振幅随时间衰减的快慢。
图形的形状主要由频率比$f_x : f_y$和相位差$\varphi$决定。当频率比为简单整数比（如1:1, 1:2, 2:3）且无衰减时，图形是稳定、闭合的曲线。
$$\frac{f_x}{f_y}= \frac{m}{n}\quad (m, n \in \mathbb{N})$$
这里$m$和$n$是互质的整数。频率比决定了图形的“骨架”结构，而相位差$\varphi$则控制了这个骨架的“旋转”和“胖瘦”，例如从直线变为椭圆。
现实世界中的应用
电子工程与示波器测量：这是最经典的应用。将两个未知频率的电信号分别输入示波器的X和Y通道，屏幕上显示的利萨如图形可以直观地判断两信号的频率比和相位差。比如，通过观察图形是稳定的椭圆还是旋转的“蝴蝶”，工程师能快速诊断电路中的信号同步问题。
机械振动分析：在汽车、飞机或大型机械的测试中，传感器会测量不同方向的振动。将两个垂直方向的振动数据合成利萨如图形，可以帮助工程师识别异常的振动模式、共振频率以及部件之间的相位关系，从而进行故障诊断和优化设计。
艺术与科学可视化：利萨如图形因其数学上的优美和无限的变化，常被用于生成艺术图案和音乐可视化。通过将音频信号的频率映射到X和Y轴，可以实时生成随音乐变化的动态几何图形，是连接科学与艺术的桥梁。
物理学教学与历史实验重现：在物理课堂上，利萨如图形是讲解振动合成、相位和频率概念的绝佳工具。通过模拟器，可以轻松重现19世纪利萨如用沙摆或火焰示波器所做的经典实验，让学生直观理解前人的科学发现。
常见误解与注意事项
首先，请勿认为“频率比只能是简单整数比”。虽然1:2或3:4等比例能形成美观的闭合图形，但若采用1:√2这类无理数比例，图形将永不闭合并随时间推移逐渐填满整个绘制区域。这种现象称为“准周期运动”，在实际的非谐波振动分析中具有重要意义。其次需注意“相位差”的理解。相位差φ常被解释为y方向振动相对于x方向的“超前程度”，但本工具的数学模型采用“φ叠加于x方向振动”的形式。若阅读文献时忽略这种定义差异可能导致混淆，因此在实践中需确认具体采用何种定义。
参数设置技巧方面，应注重“绘制点数”与“模拟时长”的平衡。即使绘制点数设为最大值，若模拟时间过短仍无法形成完整图形。反之，在衰减模式下长时间模拟会导致图形收敛于中心点而无法观测。例如对于5:4这类较复杂的频率比，图形闭合所需时间（两振动周期的最小公倍数）较长，因此需要设置更长的模拟时间。最后需注意，振幅Ax、Ay不仅影响图形的“视觉尺寸”，更会改变其“形状”。特别是当衰减系数dx、dy设为不对称时，振幅差异会对螺旋收敛形态产生显著影响，建议结合两者进行协同调整。
相关工程领域
本工具背后的“正交振动合成”概念，其应用已超越CAE领域并渗透至诸多工程学科的核心。在机械工程与振动工程领域，涡轮叶片等复杂结构的模态分析便与此相关。通过有限元分析获得的各种模态振型，本质上是相互正交的振动形态。利萨如图形的思想有助于理解两种模态同时被激发时的复合振动轨迹。
在控制工程领域，该原理与极限环及吸引子的可视化一脉相承。非线性系统中可能出现无衰减的持续振动（极限环），其在相平面上呈现为闭合轨迹，这正是利萨如图形的体现。在机器人学领域，例如绘制圆形轨迹的SCARA机器人末端执行器运动，正是通过X轴与Y轴驱动部件在特定相位差下进行同周期运动实现的，其轨迹规划原理与本工具完全一致。
此外在电气电子工程领域，除传统示波器测量应用外，该原理更是理解数字调制方式（QPSK、QAM等）信号星座图的基础。通过同相信号与正交信号这两组正交载波传递信息时，由相位与振幅组合决定的信号点分布，可视为在某种利萨如图形空间中的映射。
进阶学习指引
下一步建议探索“参数激励”与“耦合振动”概念。利萨如图形基于“两个独立振子”的假设，而现实中振动系统常存在能量交换（耦合），或系统参数（如摆长）随时间变化（参数激励），从而呈现更丰富甚至混沌的动态行为。这些现象正是非线性动力学的入门课题。
若希望深化数学背景，推荐探究傅里叶级数与利萨如图形的关联。周期函数可表示为正弦余弦函数的和（傅里叶级数），而利萨如图形可理解为将其中两个分量（例如基波与三次谐波）分别赋予x轴与y轴的可视化呈现。更进一步可学习相空间（状态空间）概念：在以振子位置与速度为坐标轴构成的空间中，系统时间演化呈现为轨迹曲线，衰减振动表现为趋向原点的螺旋线，持续振动则形成闭合曲线。这为利萨如图形提供了更普适的理论框架。
实践学习方面，强烈建议尝试自行编程实现本模拟器的数学模型（推荐使用Python的Matplotlib库）