確率分布シミュレーター

確率分布の根幹をなす確率密度関数(PDF)は、連続確率変数$X$がある値$x$の近傍に存在する相対的な可能性を表します。確率そのものではなく、積分することで確率が得られます。

ここで、$f_X(x)$は確率密度関数、$F_X(x)$は後述の累積分布関数(CDF)です。$f_X(x) \ge 0$であり、全区間での積分は1になります：$\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x) dx = 1$。

累積分布関数(CDF)は、確率変数$X$が特定の値$x$以下を取る確率を直接与えます。全ての確率分布の基本となる関数です。

$F_X(x)$は$x$について単調非減少で、$0$から$1$の値を取ります。このツールでCDFのグラフが常に右肩上がりで0から1に収束するのは、この性質によるものです。

品質管理・信頼性工学：製品の寿命や故障間隔は指数分布やワイブル分布（ガンマ分布の一種）でモデル化されます。CDFを用いて「保証期間内に故障する確率」を計算し、保証方針を決定します。

金融工学・リスク管理：株価リターンの分布は正規分布では説明できない「裾の重さ」を持つため、t分布や一般化双曲型分布が用いられます。VaR（バリュー・アット・リスク）はCDFの裾の部分からリスク額を算定します。

保険数理：発生頻度が低いが発生すると巨額の損害をもたらす事故（地震、津波）の発生回数はポアソン分布、一回あたりの損害額は対数正規分布やパレート分布でモデル化され、保険料の算出に使われます。

機械学習・ベイズ統計：未知のパラメータの事前分布として、確率は[0,1]の範囲なのでベータ分布が、正の値なのでガンマ分布が頻繁に用いられます。マルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)は、ここで体験するモンテカルロサンプリングの発展形です。

まず、「PDFの高さは確率そのものではない」という点を押さえよう。例えば、平均0、標準偏差0.5の正規分布のPDFは、x=0で約0.8という高い値を持つ。これは「0が一番出やすい」という意味だが、「X=0となる確率が0.8」というわけではない。連続分布では一点の確率は0だからね。確率を知りたければ、区間を指定してPDFの下の面積を考える必要がある。ツールで「正規分布」を選び、PDF表示でx=0から0.5までの範囲を目視で確認してみて。この面積が、確率変数がその区間に入る確率に相当するんだ。

次に、分布のパラメータ設定で尺度を混同しないこと。二項分布の試行回数nと成功確率p、ポアソン分布の平均発生回数λは、現実のデータに合わせて単位をきちんと考える必要がある。例えば、「1時間当たり平均3回到着する客」をポアソン分布でモデル化する場合、分析したい時間枠が30分ならλ=1.5に設定しなければならない。ツールでλを3から1.5に変えると、分布の山の位置が左に移動するのが確認できるよ。この設定ミスは、予測結果を大きく歪めるので要注意だ。

最後に、モンテカルロサンプリングの「N」の値は大きければ良いわけではないという実務的な落とし穴。確かにN=2000よりN=10000の方が理論的なPDFに近いヒストグラムになるが、計算コストと精度のトレードオフを考えよう。特に、まれにしか起きない「テールリスク」を評価したい場合、単純にNを増やすよりも、重点サンプリングなどの高度な手法が必要になる。ツールで「t分布（自由度3）」を選び、N=1000で何度も「サンプリング」ボタンを押して確認してみて。ヒストグラムの両端（裾）の形が実行毎に大きくばらつくはずだ。これが、稀な事象のシミュレーションが難しい理由の一端なんだ。