正規・ポアソン・二項など9種の分布のPDFとCDFをリアルタイム表示。パラメータスライダーで形状変化を確認し、モンテカルロサンプリングで理論と実験の一致を体験できます。
$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
正規分布 PDF：\(\mu\) 平均、\(\sigma\) 標準偏差。68-95-99.7則が成立
$$f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad f(x;a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$$
指数分布（左）とベータ分布（右）：信頼区間・ベイズ統計に利用
確率分布の根幹をなす確率密度関数(PDF)は、連続確率変数$X$がある値$x$の近傍に存在する相対的な可能性を表します。確率そのものではなく、積分することで確率が得られます。
$$ f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x) $$ここで、$f_X(x)$は確率密度関数、$F_X(x)$は後述の累積分布関数(CDF)です。$f_X(x) \ge 0$であり、全区間での積分は1になります：$\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x) dx = 1$。
累積分布関数(CDF)は、確率変数$X$が特定の値$x$以下を取る確率を直接与えます。全ての確率分布の基本となる関数です。
$$ F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt $$$F_X(x)$は$x$について単調非減少で、$0$から$1$の値を取ります。このツールでCDFのグラフが常に右肩上がりで0から1に収束するのは、この性質によるものです。
品質管理・信頼性工学：製品の寿命や故障間隔は指数分布やガンマ分布（実務ではワイブル分布もよく使われます）でモデル化されます。CDFを用いて「保証期間内に故障する確率」を計算し、保証方針を決定します。
金融工学・リスク管理：株価リターンの分布は正規分布では説明できない「裾の重さ」を持つため、t分布や一般化双曲型分布が用いられます。VaR（バリュー・アット・リスク）はCDFの裾の部分からリスク額を算定します。
保険数理：発生頻度が低いが発生すると巨額の損害をもたらす事故（地震、津波）の発生回数はポアソン分布、一回あたりの損害額は対数正規分布やパレート分布でモデル化され、保険料の算出に使われます。
機械学習・ベイズ統計：未知のパラメータの事前分布として、確率は[0,1]の範囲なのでベータ分布が、正の値なのでガンマ分布が頻繁に用いられます。マルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)は、ここで体験するモンテカルロサンプリングの発展形です。
まず、「PDFの高さは確率そのものではない」という点を押さえよう。例えば、平均0、標準偏差0.5の正規分布のPDFは、x=0で約0.8という高い値を持つ。これは「0が一番出やすい」という意味だが、「X=0となる確率が0.8」というわけではない。連続分布では一点の確率は0だからね。確率を知りたければ、区間を指定してPDFの下の面積を考える必要がある。ツールで「正規分布」を選び、σ を 0.5 にして区間確率に a=0、b=0.5 を入れてみて。P(0≤X≤0.5)≈0.341 と表示される。この値が、確率変数がその区間に入る確率、つまり PDF の下の面積なんだ。
次に、分布のパラメータ設定で尺度を混同しないこと。二項分布の試行回数nと成功確率p、ポアソン分布の平均発生回数λは、現実のデータに合わせて単位をきちんと考える必要がある。例えば、「1時間当たり平均3回到着する客」をポアソン分布でモデル化する場合、分析したい時間枠が30分ならλ=1.5に設定しなければならない。ツールでλを3から1.5に変えると、分布の山の位置が左に移動するのが確認できるよ。この設定ミスは、予測結果を大きく歪めるので要注意だ。
最後に、モンテカルロサンプリングの「N」の値は大きければ良いわけではないという実務的な落とし穴。確かにN=2000よりN=10000の方が理論的なPDFに近いヒストグラムになるが、計算コストと精度のトレードオフを考えよう。特に、まれにしか起きない「テールリスク」を評価したい場合、単純にNを増やすよりも、重点サンプリングなどの高度な手法が必要になる。ツールで「t分布」を選んで自由度を 3 にし、「N=2000 サンプル生成」ボタンを何度も押して確認してみて。ヒストグラムの両端（裾）の形が実行毎に大きくばらつくはずだ。これが、稀な事象のシミュレーションが難しい理由の一端なんだ。
ポアソン分布を選び λ=5 とすると（プリセット「Poisson λ=5」）、平均 5・分散 5・歪度 0.447・超過尖度 0.200 が表示されます。1時間に平均 5 件の問い合わせが来る窓口で、1時間の件数が 3〜7 件に収まる確率は、区間に a=3、b=7 を入れて P(3≤X≤7)=0.7420 と読めます。正規分布で製品重量（平均 500 g、標準偏差 2 g）を扱うときは標準化 z=(x−500)/2 を使います。496 g 以下は z≤−2 なので、μ=0・σ=1 のまま a=−6、b=−2 を入れると P≈0.0227、つまり不良率約 2.3%（正確には 2.28%）が得られます（490 g 以下は z≤−5 で約 3×10⁻⁷ と無視できる大きさです）。