分布设置
μ =
σ =
矩与百分位数
计算结果
0.00
均值
1.00
方差
—
P5（第5百分位）
—
P95（第95百分位）
PDF（概率密度函数）与 CDF（累积分布函数）
蒙特卡洛直方图 vs 理论PDF
选择分布类型并调整参数，实时绘制PDF/PMF和CDF曲线。计算百分位数、均值和方差，用于可靠性工程和统计分析。
正态分布（高斯分布）：描述连续变量（如尺寸、强度、寿命）围绕均值随机波动的经典模型。
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$其中，$\mu$是均值（分布的中心），$\sigma$是标准差（衡量数据的分散程度）。$f(x)$是概率密度函数（PDF），表示$x$附近取值的可能性大小。
泊松分布：描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率分布。
$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$其中，$\lambda$是单位时间内事件发生的平均速率，$k$是我们观察到的实际发生次数（0, 1, 2...）。$P(X=k)$是概率质量函数（PMF），给出恰好发生$k$次事件的概率。
可靠性工程与风险评估：在CAE中，材料的疲劳强度、零件的寿命并非固定值，而是服从正态分布。通过分布计算，可以预测产品的失效概率，从而设计出满足99.9%可靠性的部件，避免过度设计或设计不足。
生产质量与过程控制：生产线上零件的关键尺寸（如孔径）通常服从正态分布。通过监控分布参数（μ, σ），可以判断生产过程是否稳定，并计算产品Pass率，为六西格玛管理提供数据基础。
罕见故障事件预测：对于航天器或核电站在特定任务周期内的微小部件故障，可以使用泊松分布进行建模。通过历史数据估计平均故障率λ，从而规划备件库存和制定维护策略。
仿真数据验证与置信度分析：将CAE仿真结果（如应力值）与少量物理测试结果进行对比时，使用卡方分布进行“拟合优度检验”，可以定量评估仿真模型的可信度，为模型修正提供统计依据。
首先，要明确“PDF的高度并非概率本身”。例如，均值为0、标准差为0.5的正态分布PDF在x=0处取值约为0.8。这表示“0是最可能出现的值”，但并不意味着“X=0的概率为0.8”。因为连续分布中单点的概率始终为0。若想了解概率，必须指定区间并计算PDF下方的面积。你可以在工具中选择“正态分布”，通过PDF视图目测x=0到0.5之间的区域。该面积即对应随机变量落入该区间的概率。
其次，注意分布参数设置中量纲的统一。二项分布的试验次数n与成功概率p、泊松分布的平均发生次数λ，都需要根据实际数据仔细考量单位。例如，用泊松分布对“每小时平均到达3名顾客”建模时，若分析的时间窗口为30分钟，则需设定λ=1.5。在工具中将λ从3改为1.5，可观察到分布峰值向左移动。此类设置错误会严重扭曲预测结果，需格外留意。
最后，蒙特卡洛采样中“N值并非越大越好”这一实际陷阱。虽然N=10000比N=2000能生成更接近理论PDF的直方图，但需权衡计算成本与精度。尤其在评估罕见“尾部风险”时，与其单纯增加N，不如采用重要性采样等高级方法。在工具中选择“t分布（自由度3）”，用N=1000多次点击“采样”按钮，可观察到直方图两端（尾部）形状每次运行都有较大波动。这正是稀有事件模拟困难的原因之一。
轴承寿命评估：设疲劳强度服从正态分布，μ=8000小时，σ=1200小时。输入这两个参数后，计算器显示：P(X≤6400)=0.0668（即6.68%的轴承在6400小时前失效），95%分位数=9974小时。对比指数分布（λ=1/8000=0.000125），MTTF均值为8000小时，但可靠度函数R(t)=e^(-0.000125t)下降更陡峭，说明正态分布更适合此场景。