分布设置
μ = 0.0
σ = 1.0
矩与百分位数
0.00
均值
1.00
方差
—
P5（第5百分位）
—
P95（第95百分位）
选择分布类型并调整参数，实时绘制PDF/PMF和CDF曲线。计算百分位数、均值和方差，用于可靠性工程和统计分析。
正态分布（高斯分布）：描述连续变量（如尺寸、强度、寿命）围绕均值随机波动的经典模型。
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$$其中，$\mu$是均值（分布的中心），$\sigma$是标准差（衡量数据的分散程度）。$f(x)$是概率密度函数（PDF），表示$x$附近取值的可能性大小。
泊松分布：描述在固定时间或空间内，稀有事件发生次数的概率分布。
$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$其中，$\lambda$是单位时间内事件发生的平均速率，$k$是我们观察到的实际发生次数（0, 1, 2...）。$P(X=k)$是概率质量函数（PMF），给出恰好发生$k$次事件的概率。
可靠性工程与风险评估：在CAE中，材料的疲劳强度、零件的寿命并非固定值，而是服从正态分布。通过分布计算，可以预测产品的失效概率，从而设计出满足99.9%可靠性的部件，避免过度设计或设计不足。
生产质量与过程控制：生产线上零件的关键尺寸（如孔径）通常服从正态分布。通过监控分布参数（μ, σ），可以判断生产过程是否稳定，并计算产品合格率，为六西格玛管理提供数据基础。
罕见故障事件预测：对于航天器或核电站在特定任务周期内的微小部件故障，可以使用泊松分布进行建模。通过历史数据估计平均故障率λ，从而规划备件库存和制定维护策略。
仿真数据验证与置信度分析：将CAE仿真结果（如应力值）与少量物理测试结果进行对比时，使用卡方分布进行“拟合优度检验”，可以定量评估仿真模型的可信度，为模型修正提供统计依据。
首先，要明确“PDF的高度并非概率本身”。例如，均值为0、标准差为0.5的正态分布PDF在x=0处取值约为0.8。这表示“0是最可能出现的值”，但并不意味着“X=0的概率为0.8”。因为连续分布中单点的概率始终为0。若想了解概率，必须指定区间并计算PDF下方的面积。你可以在工具中选择“正态分布”，通过PDF视图目测x=0到0.5之间的区域。该面积即对应随机变量落入该区间的概率。
其次，注意分布参数设置中量纲的统一。二项分布的试验次数n与成功概率p、泊松分布的平均发生次数λ，都需要根据实际数据仔细考量单位。例如，用泊松分布对“每小时平均到达3名顾客”建模时，若分析的时间窗口为30分钟，则需设定λ=1.5。在工具中将λ从3改为1.5，可观察到分布峰值向左移动。此类设置错误会严重扭曲预测结果，需格外留意。
最后，蒙特卡洛采样中“N值并非越大越好”这一实际陷阱。虽然N=10000比N=2000能生成更接近理论PDF的直方图，但需权衡计算成本与精度。尤其在评估罕见“尾部风险”时，与其单纯增加N，不如采用重要性采样等高级方法。在工具中选择“t分布（自由度3）”，用N=1000多次点击“采样”按钮，可观察到直方图两端（尾部）形状每次运行都有较大波动。这正是稀有事件模拟困难的原因之一。
本模拟器涉及的概率分布构成可靠性工程的核心。例如，机械部件寿命常采用“威布尔分布”建模，工具中的“指数分布”是其特例。通过调整形状参数，可呈现浴盆曲线的早期故障期、随机故障期与耗损故障期。利用CDF计算“运行1000小时后的存活概率（可靠度）”，可直接服务于维护计划制定。
通信工程与流量理论中，“泊松分布”扮演关键角色，用于模拟数据包到达间隔或呼叫中心的来电数量。例如，观察不同λ（平均到达率）对应的CDF，可直接读取“每秒到达数据包超过5个的概率”。这成为网络缓冲区设计与拥塞控制算法的基础数据。
此外在材料工程与质量管理中，“正态分布”无处不在。金属强度或产品尺寸误差因众多微小因素叠加，常服从正态分布（中心极限定理）。工具中增大标准差σ会导致曲线横向扩展，这表示波动增大、质量稳定性下降。工序能力指数Cp与Cpk正是基于该分布宽度与规格界限的位置关系计算得出。
下一步应学习“组合多个随机变量”。现实问题往往无法用工具中的单一分布描述。例如，产品总成本可能由“材料费（正态分布）+人工费（均匀分布）+故障损失（泊松分布）”复合构成。此时可通过对各分布采样值求和，生成总成本的新分布（亦为概率分布），称为“概率分布合成”或“蒙特卡洛模拟”。在NovaSolver工具中熟悉各分布特性后，可尝试用Excel或Python实践这种合成。
若想深化数理背景，理解所有分布的内在联系是捷径。例如，二项分布试验次数n增大时趋近正态分布（棣莫弗-拉普拉斯定理），泊松分布可作为二项分布的极限出现。在工具中叠加“二项分布(n=5, p=0.5)”与“正态分布(μ=2.5, σ=√1.25)”，可见形状相似；将n增至50、100后更接近。掌握“分布极限定理”后，原本看似独立的9种分布将形成统一体系。
最终可开启“贝叶斯统计”之门。其核心思想是分布参数（如正态分布的均值μ）本身服从概率分布。此前在工具中固定调整参数值，现在则需估计参数的“分布”特性。这是基于少量数据量化不确定性的强大框架，已广泛应用于先进机器学习模型。建议从正态分布的均值μ服从另一正态分布（共轭先验分布）等基础案例开始拓展学习。