实时显示正态、泊松、二项等 9 种分布的 PDF 和 CDF。用参数滑块观察形状变化，并通过蒙特卡洛采样体验理论与实验的一致。
$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
正态分布 PDF：\(\mu\) 均值、\(\sigma\) 标准差。满足 68-95-99.7 法则
$$f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad f(x;a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$$
指数分布（左）与贝塔分布（右）：用于置信区间和贝叶斯统计
概率密度函数（PDF）是概率分布的核心，表示连续随机变量 $X$ 取值在 $x$ 附近的相对可能性。它本身不是概率，积分后才得到概率。
$$ f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x) $$其中 $f_X(x)$ 为概率密度函数，$F_X(x)$ 为下文的累积分布函数（CDF）。$f_X(x) \ge 0$，且在全区间上的积分为 1：$\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x) dx = 1$。
累积分布函数（CDF）直接给出随机变量 $X$ 不超过某个值 $x$ 的概率，是所有概率分布的基础函数。
$$ F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt $$$F_X(x)$ 关于 $x$ 单调不减，取值在 $0$ 到 $1$ 之间。本工具中 CDF 曲线总是向右上升并从 0 收敛到 1，正是这一性质的体现。
质量管理与可靠性工程：产品寿命和故障间隔用指数分布或伽马分布建模（实务中也常用威布尔分布）。利用 CDF 计算“保修期内失效的概率”，据此制定保修策略。
金融工程与风险管理：股票收益率的分布具有正态分布无法解释的“厚尾”，因此采用 t分布或广义双曲分布。VaR（风险价值）由 CDF 的尾部计算风险金额。
保险精算：发生频率低但一旦发生损失巨大的事故（地震、海啸）的发生次数用泊松分布建模，单次损失金额用对数正态分布或帕累托分布建模，用于计算保费。
机器学习与贝叶斯统计：作为未知参数的先验分布，概率在 [0,1] 范围内时常用贝塔分布，取正值时常用伽马分布。马尔可夫链蒙特卡洛法（MCMC）是这里体验的蒙特卡洛采样的进阶形式。
首先要牢记“PDF 的高度并非概率本身”。例如均值为 0、标准差为 0.5 的正态分布，其 PDF 在 x=0 处约为 0.8 这一较高的值。这表示“0 是最容易出现的值”，而不是“X=0 的概率为 0.8”，因为连续分布中单点的概率为 0。要得到概率，必须指定区间并考虑 PDF 下方的面积。在工具中选择“正态分布”，把 σ 设为 0.5，在区间概率中输入 a=0、b=0.5，会显示 P(0≤X≤0.5)≈0.341。这个值就是随机变量落入该区间的概率，即 PDF 下方的面积。
其次，设置分布参数时不要混淆尺度。二项分布的试验次数 n 与成功概率 p、泊松分布的平均发生次数 λ，都必须按实际数据认真考虑单位。例如用泊松分布对“每小时平均到达 3 名顾客”建模时，若分析的时间窗口为 30 分钟，则必须设 λ=1.5。在工具中把 λ 从 3 改为 1.5，可以看到分布的峰值向左移动。这种设置错误会严重扭曲预测结果，务必注意。
最后是一个实务上的陷阱：蒙特卡洛采样的“N”并非越大越好。N=10000 的直方图确实比 N=2000 更接近理论 PDF，但要权衡计算成本与精度。尤其在评估罕见的“尾部风险”时，与其单纯增加 N，不如采用重要性采样等高级方法。在工具中选择“t分布”并把自由度设为 3，反复按“生成 N=2000 个样本”按钮：直方图两端（尾部）的形状每次运行都有很大波动。这正是罕见事件难以模拟的原因之一。
选择泊松分布并设 λ=5（预设“Poisson λ=5”），显示均值 5、方差 5、偏度 0.447、超额峰度 0.200。对于每小时平均接到 5 次咨询的窗口，1 小时内咨询次数落在 3～7 次的概率，可在区间中输入 a=3、b=7 读出 P(3≤X≤7)=0.7420。用正态分布处理产品重量（均值 500 g、标准差 2 g）时，采用标准化 z=(x−500)/2。496 g 以下对应 z≤−2，因此保持 μ=0、σ=1 并输入 a=−6、b=−2，得到 P≈0.0227，即不良率约 2.3%（精确值 2.28%）。490 g 以下对应 z≤−5，约为 3×10⁻⁷，可以忽略。