自由度選択
質量 [kg]
ばね定数 [N/m]
固有振動数
モード表示
固有値問題
$$(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M})\mathbf{X}= \mathbf{0}$$
$$\det(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M}) = 0$$
$$f_n = \frac{\omega_n}{2\pi}\text{ [Hz]}$$
実務メモ: CAEでの固有値解析（モーダル解析）は橋梁・建築・機械の共振回避設計の基本。FEMでは数百〜数万自由度を解きます。
振動解析・固有値解析とは
🧑🎓
このシミュレーターで「固有振動数」って計算してるけど、それが分かると何がいいんですか？
🎓
ざっくり言うと、その構造物が「揺れやすい周波数」が分かるんだ。例えば自動車のエンジンが特定の回転数でガタガタ振動するのは、その回転数が車体の固有振動数に近づいて「共振」するからだよ。上のスライダーでm1の質量を大きくしてみて。どうなる？
🧑🎓
え、全部の周波数が下がりました！重くすると揺れにくくなるってことですか？
🎓
その通り！質量が大きいと動きにくくなるから、固有振動数は低くなる。逆に、右のk1のばね定数を強く（大きく）してみて。今度は周波数が上がるだろ？実務では、重い機械を軽量化すると振動問題が起きやすくなったりするんだ。
🧑🎓
「振動モード」ってグラフで出てくる変な形は何ですか？第1モードと第2モードで全然違いますね。
🎓
あれは、その周波数で自由に揺らした時に、各質点がどういう「形」で動くかを表しているんだ。第1モードはみんな同じ方向に揺れる。第2モードは真ん中の質点がほとんど動かず、端の2つが逆方向に動く。実際の橋やビルでも、低い周波数では全体が同じ方向に、高い周波数では複雑にねじれるモードが出てくるよ。シミュレーターのアニメーションを再生して、動きを確認してみて。
物理モデルと主要な数式
多自由度振動系の運動方程式は、質量行列 $\mathbf{M}$ と剛性行列 $\mathbf{K}$ を用いて表されます。外力がなく自由振動する場合、解が振動数 $\omega$ とモード形 $\mathbf{X}$ の形で求まります。これが固有値問題です。
$$(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M})\mathbf{X}= \mathbf{0}$$
$\mathbf{K}$: 剛性行列（ばね定数から構成）、$\mathbf{M}$: 質量行列（質量から構成）、$\omega$: 固有角振動数 [rad/s]、$\mathbf{X}$: 固有ベクトル（振動モード形）。
自明な解（$\mathbf{X}=0$）以外の解が存在するためには、係数行列の行列式がゼロである必要があります。この条件から固有値 $\omega^2$ が求められます。
$$\det(\mathbf{K}- \omega^2 \mathbf{M}) = 0$$
この方程式を解くと、自由度の数（例えば3）だけの固有値 $\omega_n^2$ が得られます。各 $\omega_n$ に対応する固有ベクトル $\mathbf{X}_n$ が振動モードです。実用上の周波数 $f_n$ [Hz] は $f_n = \omega_n / (2\pi)$ で計算します。
実世界での応用
自動車・航空機の設計：エンジンやプロペラの回転数が車体・機体の固有振動数と一致すると、共振による大振幅振動や騒音、疲労破壊が発生します。設計段階でCAE（モーダル解析）を用いて固有値を把握し、危険な周波数域を避けるように質量や剛性を調整します。
建築・橋梁の耐震設計：地震動は広い周波数帯域の振動を含みます。建物の固有振動数が地震動の主要な周波数と一致すると共振し、倒壊の危険が高まります。固有値解析により建物の揺れやすいモードを把握し、制振装置の設置や構造の見直しを行います。
工作機械・精密機器：マシニングセンターなどで工具が回転する際、その回転数が機械構造や工具自体の固有振動数に近づくと「びびり振動」が発生し、加工精度が著しく低下します。工具の長さや保持方法を変えて固有振動数をシフトさせる対策が取られます。
家電製品の静粛化：洗濯機の脱水時や冷蔵庫のコンプレッサー動作時に発生する振動や騒音は、内部構造の固有振動が励起されることが一因です。CAEを用いて振動モードを可視化し、防振ゴムの配置や質量バランスを最適化することで静粛性を向上させます。
よくある誤解と注意点
このツールで遊んでいると、いくつか勘違いしやすいポイントがあるんだ。まず、「固有振動数が低い（重い・ばねが柔らかい）ほど危険」と思いがちだけど、それは状況による。確かに低い周波数は日常的に発生しやすいけど、問題は「加振力の周波数」と「固有振動数」がどれだけ近いかだ。例えば、高速回転するファン（加振周波数100Hz）に、固有振動数2Hzの筐体はほとんど影響を受けない。逆に、エンジンのアイドリング振動（20Hz）と固有振動数が20Hzのマウント部品は、たとえ周波数が高くても共振してしまう。
次に、ツール上では「減衰」を考慮していない点に注意だ。現実の構造物には必ず減衰（振動をエネルギーを熱などに変えて消す効果）がある。減衰が大きいと、共振ピークの応答振幅は理論値より大幅に低くなる。このシミュレーターの周波数応答グラフは「非減衰系」の理想的な結果だから、実務ではここに減衰項を加えたモデルで再評価するのが次のステップだ。
最後に、パラメータ設定の落とし穴。質量やばね定数を「直列」や「並列」で複数設定する場合、その合成値の計算を間違えることが多い。例えば、2本のばねが質点間に「直列」なら、合成ばね定数kは $1/k = 1/k_1 + 1/k_2$ で求められる。ツールでk1とk2を別々にいじる時、この関係を頭に入れておかないと、意図しない剛性分布になってしまうよ。
関連する工学分野
この多自由度振動解析の考え方は、実は目に見えない様々な工学分野の根底にあるんだ。音響工学では、空気の振動である「音」を扱う。スピーカーのダイアフラムや楽器の胴体は連続体だが、その振動モード（分割振動）を理解するには、このツールで学んだ「多自由度系のモード」がイメージの助けになる。特に、第2モード以上で現れる「節」（振動がほとんどゼロの点）は、ギターの弦の倍音やスピーカーコーンの分割振動に直接対応している。
もう一つは制御工学だ。ロボットアームや精密ステージの位置決め制御では、構造体の固有振動が制御系の安定性を大きく損なう。制御器が出力する指令信号の周波数が機械構造の固有振動数に近いと、指令以上の過大な振動（リングイング）が起き、精度が落ちる。これを防ぐため、制御系設計時に「モデルベース設計」の一環として固有値解析を行い、制御帯域を安全に設定するんだ。
さらに材料力学・破壊力学にも繋がる。振動による繰り返し応力は「疲労破壊」の主要原因だ。共振状態では小さな加振力でも大きな応力が発生するため、材料の耐久限度を簡単に超えてしまう。どこに最大応力が発生するかを予測する「応力解析」と、このツールで学ぶ「モード解析」を組み合わせることで、疲労寿命を予測する「振動疲労解析」が可能になる。
発展的な学習のために
このツールに慣れたら、次は「連続体」の振動を考えてみよう。ビームや板のように質量と剛性が連続的に分布している物体だ。ここでは固有振動数が無限個存在するが、基本となる考え方は同じ。例えば、片持ち梁の一次固有振動数 $f_1$ は、$$f_1 \approx \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1.875^2}{L^2} \sqrt{\frac{EI}{\rho A}}$$ のような式で表される。Lは長さ、EIは曲げ剛性、ρAは単位長さあたりの質量だ。ばね定数kと質量mに相当するパラメータが、どのように式に現れているか、比較してみると理解が深まるよ。
数学的には、多自由度系の運動方程式を状態空間表現に書き直すと、制御理論や数値シミュレーションと親和性が高まる。また、実務で使われる有限要素法（FEA）によるモーダル解析は、このツールの計算を数千〜数百万自由度に拡張したものと考えていい。学習ステップとしては、1. 多自由度系の運動方程式の立て方、2. 行列の固有値問題の数値解法（ヤコビ法、QR法など）、3. 減衰を含む一般化固有値問題、4. 有限要素法の基礎、という順番で進めるのがおすすめだ。まずは、このツールでパラメータを変えた時の挙動の変化を、自分の手でたくさん体験することが、すべての基礎になる。