矩形導波管のTE/TMモードの電磁界分布をリアルタイム可視化。カットオフ周波数・導波管波長・位相速度・群速度を自動計算。分散図も表示。
導波管内の電磁界はマクスウェル方程式と完全導体の境界条件から導かれ、TEmnモードとTMmnモードという解が得られます。その伝搬が可能になる最低周波数がカットオフ周波数です。
$$f_c = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2+\left(\frac{n}{b}\right)^2}$$$f_c$: カットオフ周波数 [Hz]
$c$: 真空中の光速 (~3×10⁸ m/s)
$a, b$: 導波管の長辺、短辺の内寸 [m] (a > b)
$m, n$: モード指数（0以上の整数。TE10モードではm=1, n=0）
カットオフ周波数より高い周波数で伝搬する時、導波管内の波長（導波管波長）や速度は自由空間の値から変化します。これが分散特性です。
$$\lambda_g = \frac{\lambda}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}, \quad v_p = \frac{c}{\sqrt{1-(f_c/f)^2}}, \quad v_g = c\sqrt{1-(f_c/f)^2}$$$\lambda_g$: 導波管波長（z方向の波長） [m]
$v_p$: 位相速度（波の山が進む見かけの速度） [m/s]
$v_g$: 群速度（エネルギーや信号が進む速度） [m/s]
$\lambda, c$: 自由空間での波長と光速
※$v_p > c$, $v_g < c$ となり、$v_p \cdot v_g = c^2$ の関係が成り立ちます。
衛星通信・レーダー送受信機：地上局のパラボラアンテナと送受信機を結ぶマイクロ波伝送路として広く使用されます。低損失で大電力伝送が可能なため、WR-137（5.8GHz帯）やWR-28（26.5-40GHz帯）など、周波数帯に応じた規格導波管が用いられます。
加速器（粒子線源）：電子線形加速器では、高周波電力を導波管で伝送し、加速管内部で強力な加速電界を形成します。ここでは位相速度を電子の速度に同期させる設計が重要になり、円盤荷重導波管などの特殊な構造が採用されます。
無線機・測定器の内部回路：ミリ波帯の周波数シンセサイザやスペクトラムアナライザ内部では、局部発振信号をフィルタやミキサに分配するために、小型の導波管（例えばEバンド用WR-12）がプリント基板上に実装されることがあります。
工業用加熱装置：電子レンジ（2.45GHz）は最も身近な例です。産業用では、プラスチック溶着や食品殺菌のために、マグネトロンで発生したマイクロ波を導波管で処理室へ導き、均一に照射します。
まず、「導波管はただの金属の筒」と思っていませんか？実は、内面の導電率と表面粗さが損失に直結します。シミュレーターでは理想的と仮定していますが、実物では銅や銀メッキが使われ、特に高周波では表面が鏡面のように仕上げられます。例えば、10GHzで導電率が1割落ちると、伝送損失は数%増加する可能性があります。
次に、動作周波数の選定。カットオフ周波数より高ければ何でもOKというわけではありません。基本モード（TE10）以外の高次モードが伝搬し始める周波数も考慮が必要です。例えばWR-90（a=22.86mm, b=10.16mm）では、TE10モードのfcは約6.56GHzですが、次に現れるTE20モードのfcは約13.1GHzです。実務では、単一モードで安定して伝送するため、「1.25×fc ～ 1.9×fc」あたりを動作帯域の目安とすることが多いです。シミュレーターでm=2, n=0に切り替えてfcを確認し、「混信しない安全地帯」を探す練習をしましょう。
最後に、寸法の「名目値」と「実効値」の違い。解説で出てくる寸法a, bは「内寸」です。しかし、特に角Rがついていたり、フランジ接続部で不連続性が生じたりすると、実効的な電気的寸法はわずかに変わります。高精度が要求されるフィルタや共振器の設計では、このずれをシミュレーションで補正する必要が出てきます。
このツールで計算する分散特性（$v_p$と$v_g$）は、光ファイバーの理解にも直結します。光ファイバーも媒質の屈折率の違いで光を閉じ込め、モード分散が発生します。導波管で$v_p > c$となるのと同様に、光ファイバーでも見かけの位相速度が真空中の光速を超える現象があります。全く別の分野のように見えて、根底にある波動方程式は同じなのです。
また、導波管の内部で電磁界が特定のパターン（モード）で「定在」する様子は、電子回路の共振器や量子力学の箱の中の粒子のモデルと数学的に相似です。導波管を両端で金属板で塞げば空洞共振器になりますが、その共振周波数は導波管のカットオフ周波数の考え方が基礎になります。例えば、スマートフォンに使われる誘電体フィルタも、この「閉じ込められた波動」の応用です。
さらに応用として、非破壊検査や物質の分光分析があります。導波管の内部に測定したい材料サンプルを入れ、伝搬定数（位相や減衰量）の変化を測ることで、その材料の複素比誘電率を求めることができます。これは、食品の水分量測定や複合材料の品質管理などで実際に使われる技術です。
まず次の一歩は、「なぜTE10モードが基本モードなのか」を数式で理解することです。カットオフ周波数の式 $f_c = \frac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$ で、a>bなので、m=1, n=0の時に最小のfcが得られます。ここで「n=0って、境界条件を満たすの？」という疑問が湧いたら正解です。TEモードでは$n=0$が許され（電界の分布が一様）、TMモードでは$m,n$ともに1以上が必要、という違いがマクスウェル方程式から導かれます。この違いを追ってみましょう。
シミュレーターで電磁界のベクトル分布をじっくり観察し、壁面で電界が垂直、磁界が平行になっていること（完全導体の境界条件）を確認してください。そして、「ポインティングベクトル」（エネルギー流）の向きを想像してみてください。TE10モードでは、エネルギーは管の中心付近を集中して流れます。これが低損失の理由です。
さらに深掘りするなら、「導波管の不連続性」がテーマです。実際の導波管システムには、曲げ、ねじれ、段付き、スロット（給電用）など、一様でない部分が必ず存在します。これらは全て、目的のモードの一部を反射させ、不要な高次モードを発生させます。この現象を解析するには、モード展開法という手法を学ぶ必要があります。このシミュレーターで基本モードの形を体感した後で学ぶと、その必要性が実感としてわかるはずです。