ブシネスク問題（半無限弾性体の点荷重） — トラブルシューティング

固定境界からの反射で応力が過大評価される。底面固定が浅いと、荷重点直下の$\sigma_{zz}$が理論値より20%以上大きくなることもある。症状として、モデルサイズを変えると結果が変動する場合はこの影響を疑うべきだ。

対策:

• モデル寸法を段階的に増大させ、結果が変化しなくなるサイズを採用
• 無限要素で遠方条件を近似
• 経験値として $R_{model} \geq 20 z_{eval}$ を確保

無限要素の減衰関数が問題の特性と合っていない可能性がある。Abaqusの無限要素は指数減衰を仮定しているが、Boussinesq解は$1/r$減衰だから、厳密にはフィットしない。それでも実用上は十分な精度が得られるが、残差が気になる場合は有限要素領域を大きめに取る（無限要素との境界を遠ざける）のが安全だ。

それは正常な挙動だ。荷重点の応力はメッシュを細かくするほど際限なく増大する。これは物理的に正しい特異性の反映であり、FEAのバグではない。

実務的な対処:

1. 荷重点での応力は評価しない。$z > 5h_{elem}$ の位置で評価する

2. 面圧分布として荷重を分散させる場合、半径$a$が評価距離の1/10以下なら理論値との差は1%未満

3. Hertz接触のように物理的に面圧分布が決まる場合は、その分布を直接与えてBoussinesq解の積分と比較する

• *DSLOAD で圧力として分布荷重を与える（Abaqus）
• PLOAD4 で面圧を与える（Nastran）
• 複数節点に等分割した*CLOADを与える（どのソルバーでも可能だが等価性の確認が必要）

等価性の確認は反力の合計が印加荷重と一致することで行う。

低次要素（TET4、HEX8）で応力をコンタープロットすると、要素間で応力が不連続になりギザギザに見えることがある。これはC0連続の要素では応力（歪みの微分量）が要素境界で不連続になるためだ。

対処:

• 二次要素（TET10、HEX20）に切り替えると大幅に改善
• 節点平均化（SPR法: Zienkiewicz-Zhu のスーパーコンバージェントパッチリカバリ）で平滑化
• 平滑化前後の差が大きい箇所はメッシュ不足のサイン

Zienkiewicz and Zhu（1992）が提案した事後誤差推定法だ。各節点のパッチ内の積分点応力から最小二乗法で節点応力を高精度に回復する。回復前後の差が局所的な離散化誤差の推定値になる。多くの商用ソルバーでオプションとして実装されている。Abaqusでは*ERROR INDICATOR で利用可能だ。