齿槽转矩分析与降低方法
理论与物理
什么是齿槽转矩
齿槽转矩是电机转动时的顿挫感吗？
是的，是由永磁体与定子槽之间的磁引力产生的脉动转矩。它直接关系到电动汽车的静谧性和机器人的定位精度。
不通电也会自己产生转矩吗？ 这好神奇。
没错。即使不给线圈通电，当永磁体的磁力线通过定子槽开口时，磁阻会随角度变化。磁力线倾向于“走容易通过的路”，所以当磁石接近槽开口时，会产生一种被卡住般的力。这就是齿槽转矩。
原来如此，就像用手转动自行车发电花鼓时的“咔哒咔哒感”一样吧。
很好的比喻。实际上，如果电动汽车转向电机的齿槽转矩大，驾驶员每次转动方向盘都会感觉到振动。对于工业机器人会导致定位精度下降，对于直线电机则直接影响停止精度。因此，“如何减小齿槽转矩”是电机设计者展现本领的关键所在。
产生机理
我想更详细地了解一下为什么会产生脉动。和气隙磁通有关吗？
齿槽转矩的本质在于气隙中的磁能 $W_{mag}$ 随旋转角度 $\theta$ 变化。永磁体产生的磁动势分布与槽开口引起的磁导分布的“乘积”决定了磁通密度。
粗略地说，磁导在槽开口处急剧下降。每当磁石经过这个“孔”时，能量就会发生变化，其角度微分便表现为齿槽转矩。
这里 $i=0$ 表示不通电状态。也就是说，齿槽转矩纯粹由磁石和槽的几何关系决定。
就是磁石每经过一个槽，就会重复“卡住→释放”的循环，对吧。
实际上要更复杂一些，有时一个磁石会同时跨过多个槽。所以齿槽转矩的周期并非简单地等于“槽数”，而是由极数和槽数的最小公倍数决定的。
控制方程与傅里叶级数展开
用数学公式表示齿槽转矩的话，会是什么样子呢？
齿槽转矩是周期函数，所以自然地可以用傅里叶级数展开。
这里 $N_{LCM} = \text{LCM}(N_s,\, 2p)$（槽数 $N_s$ 与极数 $2p$ 的最小公倍数），$T_n$ 是第 $n$ 次谐波的振幅，$\phi_n$ 是相位。
最小公倍数越大，基频就越高，振幅就会变小吗？
完全正确。一般来说，谐波次数越高，振幅衰减得越快。所以最小公倍数越大的极槽配合，齿槽转矩就越小。
另一个重要的公式是基于麦克斯韦应力张量的转矩计算。在气隙中的闭合曲面 $S$ 上积分：
这里 $B_r$, $B_\theta$ 分别是径向和切向的磁通密度分量，$r$ 是气隙半径。FEM分析中通过数值计算这个积分来求齿槽转矩。
极数与槽数的最小公倍数理论
能告诉我一些最小公倍数的具体例子吗？实际差别有多大？
我们来比较一些典型的组合。
| 极数 2p | 槽数 Ns | LCM | 齿槽倾向 |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 12 | 大（整数槽距） |
| 8 | 12 | 24 | 中等 |
| 10 | 12 | 60 | 非常小（分数槽距） |
| 14 | 12 | 84 | 极小 |
| 8 | 9 | 72 | 小（分数槽集中绕组） |
10极12槽在电动汽车驱动电机里经常听说，原来是因为齿槽转矩小啊！
没错。LCM=60意味着每转一圈脉动被分散成60次微小的波动，体感上几乎接近零。不过分数槽也有绕组系数降低的缺点，所以需要权衡转矩密度。“在确定槽数和极数的阶段，齿槽问题七成就已决定”，这是一个非常重要的设计参数。
减振方法体系
除了极槽配合，还有哪些减小齿槽转矩的技术？
主要的减振方法体系总结如下。
| 方法 | 原理 | 减振效果 | 副作用 |
|---|---|---|---|
| 斜槽（倾斜） | 沿轴向倾斜槽或磁石 | 50〜90% | 平均转矩下降数% |
| 分数槽距 | 增大LCM以分散谐波 | 60〜95% | 绕组系数可能降低 |
| 磁石形状倒角 | 缓和磁石端部的磁导变化 | 30〜60% | 几乎无 |
| 磁石偏心配置 | 偏移磁石圆弧中心 | 20〜50% | 设计复杂化 |
| 槽开口宽度优化 | 缩小磁导变动 | 20〜40% | 漏磁增加 |
| 分段斜槽 | 轴向多段错开相位 | 60〜85% | 叠片工艺复杂化 |
| 不等距磁石 | 改变相邻磁石角度 | 30〜70% | 对转矩脉动有影响 |
只用斜槽就能减少90%吗！好厉害。
理论上，斜一个槽距（$360°/N_s$）可以使齿槽转矩的基波为零。但平均转矩也会按 sinc 函数下降，所以实际应用中多控制在半槽距左右。无论如何，“将哪种方法应用到何种程度”的定量判断都离不开FEM分析。
仅靠槽开口“倒角”就能使齿槽转矩减半
齿槽转矩减振实践中性价比高的方法是“槽开口倒角（倒圆角）”。仅仅将定子槽开口的边缘斜切，就能缓和磁石通过时急剧的磁导变化，有时可使齿槽转矩降低30〜50%。几乎不增加制造成本，磁通量也几乎不变。通过FEM参数化改变形状，寻找最佳倒角角度和深度的实践被广泛采用。“在复杂的多变量优化之前，先试试倒角”是设计现场的黄金法则。
齿槽转矩的理论推导
- 气隙磁能 $W_{mag} = \frac{1}{2\mu_0}\int_V B^2 \, dV$：气隙中的总磁能。与磁通密度的平方成正比，因此槽开口引起的B波动直接贡献于能量波动。
- 磁导函数 $\Lambda(\theta, \alpha)$：表示为旋转角度 $\theta$ 和周向位置 $\alpha$ 的函数的磁导。在槽开口处急剧下降，在齿部取最大值。用傅里叶级数展开则为 $\Lambda = \Lambda_0 + \sum \Lambda_k \cos(k N_s \alpha)$。
- 磁动势分布 $F(\alpha, \theta)$：永磁体产生的磁动势用傅里叶展开为 $F = \sum F_m \cos(m p (\alpha - \theta))$。磁导与磁动势的乘积决定气隙磁通密度。
- 转矩的推导：在 $T_{cog} = -\partial W_{mag}/\partial \theta$ 中，只有磁动势谐波与磁导谐波的“拍频”在特定次数下才作为转矩分量残留。残留的只有 $n \cdot N_{LCM}$ 次分量。
斜槽效应的公式化
- 连续斜槽角 $\theta_{sk}$ 时，齿槽转矩的第 $n$ 次谐波以 $k_{sk,n} = \frac{\sin(n N_{LCM} \theta_{sk}/2)}{n N_{LCM} \theta_{sk}/2}$（sinc 函数）衰减
- 当 $\theta_{sk} = 2\pi / N_{LCM}$（斜一个齿槽周期）时，第1次谐波的 $k_{sk,1} = 0$，理论上消失
- 分段斜槽（$M$ 段）时：用 $k_{step,n} = \frac{1}{M} \frac{\sin(n N_{LCM} \theta_{sk}/2)}{\sin(n N_{LCM} \theta_{sk}/(2M))}$ 计算
- 平均转矩也以 $k_{avg} = \frac{\sin(p \theta_{sk}/2)}{p \theta_{sk}/2}$ 减少（$p$：极对数）。斜槽角越大损耗越大
各物理量的单位
| 变量 | SI单位 | 典型值・备注 |
|---|---|---|
| 齿槽转矩 $T_{cog}$ | N・m | 小型电机: 0.001〜0.1 N・m、EV驱动: 0.1〜2 N・m |
| 磁通密度 $B$ | T（特斯拉） | 气隙: 0.6〜1.0T、齿部: 1.2〜1.8T |
| 磁导 $\Lambda$ | H (亨利) | 与气隙长度成反比。$\Lambda \approx \mu_0 A / g$ |
| 气隙长度 $g$ | m | 0.5〜2 mm 为常见。越小对齿槽越敏感 |
| 剩磁密度 $B_r$ | T | NdFeB: 1.1〜1.4T、铁氧体: 0.35〜0.45T |
数值解法与实现
转矩计算的数值方法
用FEM计算齿槽转矩时，具体会用到哪些方法？
主要有三种方法。每种方法在精度和计算成本上都有权衡。
| 方法 | 原理 | 精度 | 网格敏感性 |
|---|---|---|---|
| 虚功法（VW法） | 从FEM场计算 $T = -\partial W_{mag}/\partial \theta$ | 高 | 低（鲁棒） |
| 麦克斯韦应力张量法（MST） | 在气隙面上对 $B_r \cdot B_\theta$ 进行面积分 | 中〜高 | 高（对积分面敏感） |
| 力张量法（Arkkio法） | 在气隙体积内进行体积分 | 高 | 中等 |
MST法对网格很敏感啊。实际工作中用哪种更安全？
JMAG内部使用改进型的法向力法，精度高。Ansys Maxwell默认使用虚功法。COMSOL中用户可以选择。使用MST法时，最佳实践是将积分面设置在气隙中央，并对多个积分面的结果取平均。
磁矢量位法
齿槽转矩分析基础的电磁场方程是什么？
在电机的电磁场分析中，为了自动满足磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$，会引入矢量位 $\mathbf{A}$。定义为 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$，则2D分析的控制方程为：
这里 $\mathbf{J}_s$ 是电流密度（齿槽计算中 $=0$），$\mathbf{B}_r$ 是永磁体的剩磁密度。2D问题可归结为 $A_z$ 标量，所以计算量不大。
齿槽转矩计算是不通电的，所以右边的电流项为零，只剩下磁石项，对吧。
没错。所以齿槽转矩分析是比较简单的静磁场问题。不过，如果考虑铁心的非线性B-H特性，就需要牛顿-拉弗森迭代，而且需要改变转子旋转位置进行几十步计算，所以计算时间意外地长。
非线性B-H特性的处理
铁心的磁饱和会影响齿槽转矩吗？
影响很大。齿尖部磁通集中容易饱和，饱和后磁导率急剧下降。饱和区域变得“接近空气”，会产生类似槽开口变宽的效果，有时会导致齿槽转矩增大。
因此，齿槽转矩分析中线性材料是不够的。必须使用非线性B-H曲线进行分析。收敛判据通常为残差范数 $||R||/||R_0|| < 10^{-4}$，迭代次数通常在10〜30次左右收敛。
旋转体的网格处理
旋转转子时，网格怎么处理？每次旋转都重新生成吗？
问得好。重新生成网格计算成本高，所以实际工作中标准方法是在气隙中设置滑动边界（旋转带）。
- 滑动网格法：在气隙中设置圆环状带，独立保持转子侧和定子侧的网格。每次旋转时更新带上节点的对应关系
- 变形网格法：根据旋转使气隙部分的单元变形。每隔一定角度重新划分网格
- 多项式插值法：用多项式插值带上的磁位，连接定子/转子
原来滑动边界的实现方式因工具而异，所以即使是同一模型结果也会不同啊。
没错。特别是像齿槽转矩这样的微小量，对这个连接处理的精度非常敏感。JMAG的滑动网格内部使用AZ框架法，据说精度高，而Maxwell中如果带上的网格密度不够，有时会混入数值噪声。
角度步长与周期性的利用
なった
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