转矩纹波分析 — 电动马达的转矩脉动机制与降低方法
转矩纹波的理论基础
什么是转矩纹波
老师，我经常听到"转矩纹波"这个词，但能解释一下具体是什么问题吗？
简单说就是马达输出的转矩随旋转角度"波动"的现象。理想的马达应该输出恒定的转矩，但实际上由于磁石配置和线圈通电模式的影响，转矩会周期性地增减。
那为什么这会成为问题呢？如果平均转矩足够就好了啊…
在电动汽车中，转矩纹波是车内不适感的主要原因。在电动助力转向中，方向盘会产生"卡卡"的感觉。在工业机器人中会影响位置精度。所以在马达开发的设计阶段，预测和降低转矩纹波是最重要的任务之一。
转矩纹波的大小用转矩纹波率来量化：
其中 $T_{\max}$、$T_{\min}$ 分别是转矩波形的最大值和最小值，$T_{\text{avg}}$ 是平均转矩。一般埋入式永磁同步马达（IPMSM）的转矩纹波率为5～15%，高品质设计目标是3%以下。
齿槽转矩与转矩纹波的区别
转矩纹波和齿槽转矩是什么关系？同事说好像差不多…
完全不同！齿槽转矩是无通电时仍然发生的磁性脉动，由永磁体与槽口的相互作用引起。用手转动马达轴时感觉到的"卡卡"就是齿槽转矩。
另一方面，转矩纹波是通电时发生的总体转矩变动。除了齿槽转矩，还包括电流高次谐波引起的磁动势失真、逆变器PWM开关产生的纹波电流，以及磁阻转矩脉动等多个因素的叠加。换句话说，齿槽转矩只是转矩纹波的一个组成部分。
明白了！齿槽转矩是"几何相性"的问题，转矩纹波则是加上电气因素后的"综合竞技"。
说得好。整理一下：
| 项目 | 齿槽转矩 | 转矩纹波（广义） |
|---|---|---|
| 发生条件 | 无通电时也会发生 | 通电时发生 |
| 主要原因 | 永磁体⇔槽口相互作用 | 齿槽转矩 + 电流高次谐波 + PWM + 磁阻脉动 |
| 周期 | LCM(极数, 槽数)的函数 | 电气角6次、12次占主导 |
| 降低手法 | 槽形设计、磁石形状 | 上述+电流控制、绕组设计 |
转矩波形的高次谐波分解
转矩"波动"能进一步分解吗？
当然可以。用傅立叶级数展开转矩波形，就能看出各次谐波各占多少。三相马达由于对称性，电气角6次的整数倍（6次、12次、18次…）会占主导。
转矩波形的高次谐波分解表示为：
其中 $\theta_e$ 是电气角，$T_{6n}$ 是第 $6n$ 次高次谐波的转矩振幅，$\phi_{6n}$ 是相位角。确定各高次谐波的发生源是制定有效降低策略的出发点。
| 谐波次数 | 主要发生源 | 典型大小 |
|---|---|---|
| 6次 | 反电动势的5次、7次高次谐波与基波电流的相互作用 | 最大（全纹波的50～70%） |
| 12次 | 反电动势的11次、13次高次谐波、磁性饱和效应 | 中等（全纹波的20～30%） |
| 18次以上 | 槽高谐波、PWM纹波电流 | 很小（通常可忽略） |
Maxwell应力张量法计算转矩
FEM分析中计算转矩的数学公式是什么？
最广泛使用的是Maxwell应力张量法。在气隙内的闭合曲面 $S$ 上，利用磁通密度的切向分量 $B_t$ 和法向分量 $B_n$ 进行面积分来计算电磁力。二维分析中，转矩表示为：
其中 $L_{\text{stk}}$ 是铁芯堆积厚度（马达轴向长度），$r$ 是积分路径的半径，$\mu_0$ 是真空磁导率。
三维的一般形式中，Maxwell应力张量 $\overleftrightarrow{T}$ 的各分量为：
对气隙内闭合曲面的面积分即可得到转矩。
还有其他计算转矩的方法吗？
有。另一个重要方法是基于虚功原理。将转子微小旋转 $\Delta\theta$ 时的能量变化用来求转矩：
其中 $W_{\text{co}}$ 是余能，$\Psi$ 是链接磁通。与Maxwell应力张量法相比，该方法的网格依赖性较小。
纹波发生源的分类
转矩纹波的"凶手"有多少种？想要理解全貌。
大的来说有4个发生源。它们各自独立发生并相互叠加，所以解析中要分清哪个是主导因素。
- 齿槽转矩：永磁体的磁能在槽口处变化而产生。表现为 $\text{LCM}(P, Q)$ 次的高次谐波（$P$：极数，$Q$：槽数）
- 磁动势（MMF）高次谐波：绕组空间分布不是理想正弦波，导致5次、7次、11次、13次…的空间高次谐波，与基波磁通的相互作用引起转矩脉动
- 磁性饱和引起的失真：铁芯磁性饱和使B-H曲线变得非线性，气隙磁通密度分布失真。负荷越重影响越大
- 逆变器引起的纹波：PWM开关产生的电流纹波导致高频转矩脉动。在载波频率 $f_c$ 的2倍频率带出现
所以"只对付齿槽转矩"还不够？
完全不够。实际的电动汽车马达开发中，齿槽转矩只占全转矩纹波的20～30%，剩下的是MMF高次谐波和饱和效应。所以FEM分析必须进行通电状态的瞬态分析来评估转矩纹波。
转矩纹波的数值计算方法
FEM的转矩计算方法
用FEM实际计算转矩纹波的流程是什么？
基本上3个步骤。第一步：建立马达的二维断面模型，在气隙周边进行细网格分割。第二步：让转子微小角度逐步旋转，每一步都用非线性迭代求解磁场方程。第三步：对气隙上的Maxwell应力张量进行面积分得到转矩，获得一个电气周期的转矩波形。
一个周期的转矩波形得到后，对它进行FFT来分析高次谐波吧？
正是。用FFT分析得出6次、12次…等各转矩高次谐波的幅度，判断哪个分量占主导。这是决定降低策略方向的依据。
FEM中转矩计算主要有3种方法：
| 方法 | 原理 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| Maxwell应力张量法 | 从气隙上的磁通密度进行面积分 | 实现容易，也能计算局部力 | 网格依赖性大 |
| 虚功法（VW法） | 转角对余能的微分 | 网格依赖性小 | 需要两次磁场计算 |
| Arkkio法 | 气隙全体的体积积分 | 比Maxwell应力法稳定 | 依赖气隙网格 |
瞬态分析的设置
瞬态分析要计算多少步才够？计算时间很长…
最少要一个电气周期（360°）分成120步以上。从采样定理的角度，捕捉6次高次谐波最少需要12步/周期，但考虑精度，实务上推荐240步/周期。
另外，达到稳定状态需要几个周期的瞬态期间，所以通常要计算3～5个周期，然后用最后的1～2个周期的数据做FFT分析。8极马达在3000转/分时，一个电气周期约5毫秒。
必须等稳定状态？初期的数据用不上啊…
气隙网格策略
听说网格划分对转矩计算精度影响很大…
转矩纹波分析中，气隙网格最为关键。Maxwell应力张量法的积分路径穿过气隙，所以气隙的网格粗糙的话结果完全不可信。具体要点：
- 气隙内的网格层数：最少3层，推荐5层以上
- 周向网格数：每个槽距最少10个单元
- 槽口周边：局部细化（单元尺寸 0.1～0.3 mm）
- 磁石端部：磁通密度急剧变化，需要细化
气隙0.7毫米的话，5层就是0.14毫米…很细啊。
是的。所以转矩纹波分析中要利用对称性减少计算范围很重要。8极48槽的马达就可以利用 $1/8$ 对称，只算断面的 $45°$，这样网格数能大幅减少。
时间步长与频率分辨率
转矩纹波的高次谐波分析精度，直接取决于时间步长 $\Delta t$ 和分析周期数 $N_{\text{cycle}}$。
| 参数 | 最小要求 | 推荐值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 角度步长 $\Delta\theta_e$ | 3° (120步/周期) | 1.5° (240步) | 提高12次以上高次谐波精度 |
| 分析周期数 | 2周期 | 4～5周期 | 排除初始瞬态 |
| 非线性迭代收敛判定 | $10^{-4}$ | $10^{-6}$ | 残差范数比 |
| FFT窗函数 | 矩形窗 | 汉宁窗 | 降低泄漏 |
非线性B-H曲线的处理
铁芯的磁性饱和对转矩纹波有影响，FEM中怎么处理？
铁芯的导磁率 $\mu$ 随磁通密度 $B$ 变化，所以FEM需要用Newton-Raphson法进行非线性迭代。每个时间步长都要参照B-H曲线更新 $\mu(B)$，反复迭代直到收敛。硅钢（35H300等）的B-H曲线由材料厂家提供测量数据。
要注意B-H曲线的数据点不能太粗，否则插值误差会直接影响转矩纹波精度。特别是膝部（$B = 1.2～1.8$ T）要有密集的数据点。实务标准最少要30个数据点以上。
转矩纹波的实务应用
分析工作流程
我是第一次做转矩纹波分析，从开始到结束的全流程能讲讲吗？
实务的工作流程是这样的：
- 模型构建：从CAD导入马达断面，利用对称性设定最小计算区域。空气领域要设为定子外径的1.5倍以上
- 材料设置：铁芯的B-H曲线（30个点以上）、永磁体残留磁通密度 $B_r$ 和矫顽力 $H_c$、绕组导电率
- 网格生成：气隙5层以上、槽口局部细化、总体5～10万个单元（二维）
- 边界条件：外周Dirichlet条件（$A_z = 0$）、对称面周期边界条件
- 瞬态分析运行：电气周期4～5个，240步/周期，Newton-Raphson收敛判定 $10^{-6}$
- 转矩波形提取：获取最后1～2个周期，进行FFT分析确定高次谐波分量
- 结果评估：转矩纹波率、各高次谐波幅度、与齿槽转矩单独的对比
转矩纹波降低的设计方法
分析出纹波太大了，怎样才能降低？
设计侧的降低方法大体分为5类：
- 斜极（斜度）：将转子或定子沿轴向扭曲，使特定次的高次谐波相互抵消。1个槽距的斜极可以几乎消除齿槽转矩，但平均转矩也会降低几个百分点
- 槽口宽度优化：减小开口宽度能降低齿槽转矩，但漏磁通增加导致转矩常数下降。最优点要用FEM参数扫描寻找
- 磁石形状设计：采用"面包型"磁石，或在表面加台阶，使磁通密度分布更接近正弦波
- 分数槽绕组：槽数/极数不是整数的组合（如12槽10极），使齿槽转矩的周期提高，振幅降低
- 缺口和虚拟槽：在定子齿根或转子表面开小缺口，平滑导磁系数变化
斜极看起来很有效，但平均转矩下降… 这个代价有点大。
是的。斜极系数 $k_{\text{sk}}$ 定量表示为：
其中 $n$ 是高次谐波次数，$\alpha_{\text{sk}}$ 是斜极角（电气角）。基波($n=1$)的转矩也会乘以 $k_{\text{sk},1}$ 而衰减，所以实务中斜极角通常选在槽距的1/2～1倍范围内。
控制侧的降低方法
不改设计，从控制能降低纹波吗？
可以。高次谐波电流注入法就是这样的方法。FEM分析出转矩纹波的6次分量占主导，就从逆变器故意注入一个逆位相的6次电流分量，来相互抵消。需要把FEM预测的高次谐波转矩的幅度和相位编入控制器。
这不是和降噪耳机的原理一样吗？反向相位的波来抵消…
完全一样的原理！只是注入电流会增加损耗，所以实务中最好的方法是设计侧做初步降低，然后控制侧再做微调——"硬件和软件的组合拳"才是最强的。
与实测的验证
FEM分析的结果和实测能符合多久？
网格和材料数据恰当的话，平均转矩能预测到±3%以内，转矩纹波率约±20～30%的精度。纹波率精度较低是因为制造偏差（磁石尺寸偏差、铁芯打冲歪斜）对纹波影响很大。
实测用转矩传感器（旋转转矩仪），采样率要是转速的100倍以上。3000转/分的话是50 Hz×100 = 5 kHz以上。还要确认传感器本身的固有频率足够高，便宜的传感器可能在谐波频率处产生共振，测出的值比实际大得多。
电动助力转向的"卡卡"感之谜
2000年代电动助力转向（EPS）普及后，某些车型反映方向盘有"卡卡""嘎嘎"的生硬感觉。深入调查发现，EPS用的无刷直流马达的转矩纹波是罪魁祸首。槽数和极数组合不当，造成特定转速下转矩脉动的周期恰好与驾驶者的手感觉频率重合。这个事件促使汽车业界将转矩纹波分析从"学术课题"升级为"舒适性设计的必做环节"。如今EPS用马达的纹波率标准是1%以下。
转矩纹波的软件对比
主要工具对比
转矩纹波分析用什么软件比较好？种类太多了…
转矩纹波分析能力上，JMAG和Ansys Maxwell双寡头。整个汽车和马达业界的大多数公司都用这两个。COMSOL用在需要多物理场耦合的场景。
| 功能 | JMAG-Designer | Ansys Maxwell | COMSOL | Motor-CAD |
|---|---|---|---|---|
| 二维瞬态分析 | ◎ | ◎ | ○ | ○ |
| 三维斜极分析 | ◎（多层切片） | ◎ | ○ | △ |
| 转矩高次谐波FFT | ◎（内置） | ◎（内置） | △（手工） | ○ |
| 电路耦合（逆变器） | ◎ | ◎（Simplorer联动） | ○ | △ |
| 参数优化 | ◎ | ◎（Optimetrics） | ○ | ◎ |
| NVH耦合 | ◎（JMAG-RT） | ○（Mechanical联动） | ◎ | ○ |
| 马达专用模板 | ◎（丰富） | ○ | △ | ◎（主打） |
| 年度许可费估计 | 200～400万日元 | 300～500万日元 | 200～400万日元 | 150～250万日元 |
JMAG-Designer的工作流程
日本企业用得最多的是JMAG？为什么这么强？
JMAG是日本JSOL公司开发的，专为马达设计优化。转矩纹波分析的强点是：
- 多层切片模型：用轻量的二维分析评估三维斜极效果。斜极角优化非常高效
- JMAG-RT：把FEM结果转换成马达模型（查找表），可以嵌入控制仿真器（MATLAB/Simulink）。高次谐波电流注入的效果在电路侧验证
- 丰富的马达模板：IPM、表贴、开关磁阻等标准模型内置，改参数就能开始分析
Ansys Maxwell的工作流程
Ansys Maxwell是怎样的特点？
Ansys Maxwell最大优势是与Ansys套件的整合。Maxwell（电磁）→ Mechanical（构造振动）→ Fluent（冷却流体）形成一条龙的多物理场。NVH（噪声、振动、刺激感）分析必须把电磁加振力传给结构分析，这套工作流对整车开发很有用。
从转矩纹波计算出电磁加力，传给构造分析预测马达壳体的振动模态，进一步预测车室内的声场——电磁×构造×音声的连锁分析，已经成为电动汽车噪音预测的标准方法。
开源软件选项
我们实验室预算不够，开源软件可以吗？
有选择。FEMM（Finite Element Method Magnetics）是二维静磁场和瞬态分析的免费软件，Lua脚本可以做参数扫描。Elmer FEM是芬兰CSC开发的通用FEM，有电磁模块。不过对比商用工具，马达专用功能（模板、滑块网格自动化、FFT后处理）都比较弱。学术研究够用，产品开发就困难了。
评估FEM工具的"时间步长灵敏度"很关键
工具选型时，销售演示总是展示"精度有多高"，但现场的关键指标是"时间步长灵敏度分析是否便捷"、"高次谐波分辨率能达到多少"。不同工具在同一个模型上的转矩纹波率预测值可能相差5～10%，这往往不是精度差别，而是时间步长和FFT窗函数设置的不同。建立自公司实验数据库最符合的工具标准，并作为内部规范，才是可靠的转矩纹波预测的出发点。
转矩纹波故障排除
分析与实测的纹波值不匹配
老师，FEM算出纹波5%，但实测是12%… 怎么回事？
常见的问题。分析<实测时，先检查这些：
- 制造公差的忽视：磁石尺寸偏差（±0.1mm）、着磁不均、铁芯冲压歪斜。特别是转子偏心0.05mm就能让纹波翻倍
- 逆变器电流纹波未建模：用的是理想正弦波电流吗？要加入PWM纹波电流才行
- 端部效应被忽视：二维分析忽略轴向端部漏磁。短马达（堆积厚/直径 < 0.5）需要三维分析
- B-H曲线精度不足：实物铁芯和卡表值不一定一致。打冲加工对端部性能劣化很大
反过来分析 > 实测的情况也有？
有的。往往是网格太粗导致出现虚假谐波。试试气隙网格细化一倍重新算。另外，转矩传感器采样率不足也会漏掉高次谐波分量。
网格依赖性导致转矩值不稳定
气隙网格改变，转矩纹波值就差很多… 怎样才能收敛？
网格收敛性检查是必做的。步骤：
- 用基准网格（气隙3层）分析 → 纹波率 $R_1$
- 网格加倍（5层）重新算 → $R_2$
- 网格加4倍（7层）再算 → $R_3$
- 若 $|R_2 - R_3| / R_3 < 5\%$ 则收敛
经验上，气隙5层 + 周向每槽距15个单元就能让大多数IPMSM收敛。另外，Maxwell应力张量法的积分路径半径改变也不应影响结果，这也要检验。
非线性收敛困难
高负荷（额定150%）分析时Newton-Raphson反复不收敛…
高负荷时铁芯深度饱和，B-H曲线非线性急剧，收敛变难。对策：
- B-H曲线高磁通密度端外推：测量只到 $B = 2.0$ T？应该外推到 $B = 3.0$ T以上。通常用 $\mu_0$ 斜率线性外推
- Newton-Raphson引入松弛因子：更新量只用前一步的70～80%（欠松弛）
- 初值用前步的解：时间步长角度增量太大会导致初值偏离解太远。试试减半
- 试试A-φ法和A法的切换：有些求解器会改变算法选择的收敛性
转矩在某些区间为负
转矩波形有时出现负值。还是转向，怎么会有逆转矩？
不一定是错。低负荷、高纹波条件下，瞬时转矩为负是物理上可能的。但以下情况要看设置：
- 电流相角错误：d轴、q轴电流定义反了？特别是IPMSM的MTPA（最大转矩/电流）制御中相角搞反了，磁阻转矩会反向
- 磁石着磁方向反了：模型定义中N/S极颠倒
- 转向和坐标系不一致：右手坐标系/左手坐标系混用
建议先算无负荷状态（电流为零）的齿槽转矩单独验证，看波形是否物理合理，再进入通电分析。
了
详细
错误