扭矩脉动分析 — 电动马达的扭矩脉动机理与降低方法
理论与物理
什么是转矩脉动
老师，我经常听到“转矩脉动”这个词，它大致是什么问题呢？
简单来说，就是电机输出的转矩随旋转角度“波动”的现象。理想的电机应该输出恒定转矩，但实际上由于磁铁布置和线圈通电模式的影响，转矩会周期性增减。
那为什么会成为问题呢？只要平均转矩能达到要求，似乎就够了吧？
以电动汽车为例，转矩脉动是车内令人不适的振动和噪音的主要原因。对于转向用的电动助力转向系统，驾驶员会感觉到方向盘有“咯噔咯噔”的触感。对于工业机器人，则直接导致定位精度下降。因此，通过数值预测转矩脉动的大小，并在设计阶段降低它，是电机开发最重要的课题之一。
转矩脉动的大小通过转矩脉动率来量化：
其中 $T_{\max}$, $T_{\min}$ 分别是转矩波形的最大值和最小值，$T_{\text{avg}}$ 是平均转矩。对于常见的嵌入式永磁同步电机，通常在5%~15%，高质量设计的目标是低于3%。
齿槽转矩与转矩脉动的区别
转矩脉动和齿槽转矩有什么区别？我问前辈，他也只说“差不多”……
完全不同！齿槽转矩是不通电也会产生的磁力脉动，仅由永磁体与槽口开口的相互作用引起。用手转动电机轴时感觉到的“顿挫感”，那就是齿槽转矩。
另一方面，转矩脉动是通电时产生的综合转矩波动。它包含了齿槽转矩，以及电流谐波引起的磁动势畸变、逆变器PWM开关引起的脉动电流，甚至磁阻转矩的脉动成分。也就是说，齿槽转矩只是转矩脉动的一个组成部分。
原来如此！齿槽转矩是磁铁和槽的“几何匹配”问题，而转矩脉动是加上电气因素的“综合格斗”啊。
形容得很贴切。整理一下：
| 项目 | 齿槽转矩 | 转矩脉动（广义） |
|---|---|---|
| 发生条件 | 不通电也会发生 | 通电时发生 |
| 主要原因 | 磁铁⇔槽口相互作用 | 齿槽+电流谐波+PWM+磁阻脉动 |
| 周期 | LCM(极数, 槽数)的函数 | 以电角度6次、12次为主 |
| 降低方法 | 槽形、磁铁形状 | 上述方法+电流控制、绕组设计 |
转矩波形的谐波分解
您说转矩“波动”，但这个波的内容可以进一步分解吗？
当然可以。将转矩波形用傅里叶级数展开，就能知道包含哪些次数的谐波及其含量。对于三相电机，由于对称性，电角度6次的整数倍（6次、12次、18次…）成为主导。
转矩波形的谐波分解可表示为：
其中 $\theta_e$ 是电角度，$T_{6n}$ 是 $6n$ 次谐波的转矩振幅，$\phi_{6n}$ 是相位角。确定各谐波成分的产生源，是制定有效降低措施的出发点。
| 谐波次数 | 主要产生源 | 典型大小 |
|---|---|---|
| 6次 | 反电动势的5次、7次谐波与基波电流的相互作用 | 最大（占全部脉动的50~70%） |
| 12次 | 反电动势的11次、13次谐波，磁饱和的影响 | 中等（占全部脉动的20~30%） |
| 18次以上 | 槽谐波，PWM脉动电流 | 小（通常可忽略） |
基于麦克斯韦应力张量的转矩计算
FEM分析中计算转矩的公式是什么样的？
最广泛使用的是麦克斯韦应力张量法。在气隙内的闭合曲面 $S$ 上，根据磁通密度的切向分量 $B_t$ 和法向分量 $B_n$ 对电磁力进行积分。对于2D分析，转矩为：
其中 $L_{\text{stk}}$ 是叠厚（电机轴向长度），$r$ 是积分路径的半径，$\mu_0$ 是真空磁导率。
在3D的一般形式中，麦克斯韦应力张量 $\overleftrightarrow{T}$ 的分量为：
在气隙中的闭合曲面上对该张量进行面积分即可得到转矩。
还有其他计算转矩的方法吗？
有的。另一个重要的方法是基于虚功原理的方法。通过转子微小角度 $\Delta\theta$ 旋转时的能量变化来求转矩：
其中 $W_{\text{co}}$ 是余能，$\Psi$ 是磁链。此方法的优点是对网格的依赖性比麦克斯韦应力张量法小。
脉动产生源的分类
说到底，转矩脉动的“元凶”大概有几种？我想整理一下整体情况。
主要有4个产生源。它们各自独立产生并叠加，因此在分析中判断哪个是主导因素非常重要。
- 齿槽转矩：永磁体的磁能在槽口开口处变化而产生。表现为 $\text{LCM}(P, Q)$ 次谐波（$P$: 极数，$Q$: 槽数）
- 磁动势谐波：绕组的空间分布不是理想的正弦波，因此产生5次、7次、11次、13次…的空间谐波，与基波磁通相互作用引起转矩脉动
- 磁饱和引起的畸变：铁心的磁饱和导致B-H曲线非线性，使气隙磁通密度分布畸变。负载越重影响越大
- 逆变器引起的脉动：PWM开关引起的电流脉动产生高频转矩脉动。出现在载波频率 $f_c$ 的2倍频带
那么“只解决齿槽转矩就行”是不对的。通电时的脉动才是重头戏啊。
没错。实际上在EV电机开发中，齿槽转矩往往只占全部转矩脉动的20~30%左右。其余大部分由磁动势谐波和饱和效应占据。因此，在FEM分析中，必须通过通电状态的瞬态分析来评估转矩脉动。
支配方程：磁矢量位法
电机的2D电磁场分析中，求解关于磁矢量位 $A_z$ 的扩散方程：
其中 $\mathbf{J}_s$ 是源电流密度，$\sigma$ 是电导率（涡流项），$\mathbf{M}$ 是永磁体的磁化矢量。通过FEM离散化此方程，并用时间步进法求解，即可计算出各旋转角度下的转矩。
量纲分析与典型值
| 物理量 | SI单位 | IPMSM中的典型值 |
|---|---|---|
| 气隙磁通密度 $B_g$ | T（特斯拉） | 0.7〜1.0 T |
| 剩磁密度 $B_r$（NdFeB） | T | 1.1〜1.4 T |
| 铁心饱和磁通密度 | T | 1.6〜2.0 T（硅钢片） |
| 气隙长度 $g$ | mm | 0.5〜1.5 mm |
| 转矩脉动率 | % | 3〜15%（设计目标 <5%） |
| 齿槽转矩 | % of rated torque | 1〜5% |
数值解法与实现
基于FEM的转矩计算方法
实际上用FEM计算转矩脉动，具体需要什么步骤呢？
基本流程是3个步骤。步骤1：建立电机的2D截面模型，对气隙周围进行足够精细的网格划分。步骤2：将转子微小角度逐步旋转，在每个步长下通过非线性迭代求解磁场方程。步骤3：在气隙上对麦克斯韦应力张量进行积分计算转矩，获取电角度一个周期的转矩波形。
得到一个周期的转矩波形后，再对它进行FFT来分析谐波对吧？
是的。通过FFT分析确定6次、12次…的转矩谐波振幅，判断哪个成分占主导。这将成为决定降低措施方向的依据。
FEM中的转矩计算主要有3种方法：
| 方法 | 原理 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|
| 麦克斯韦应力张量法 | 基于气隙上的磁通密度进行面积分 | 易于实现，也可计算局部力 | 网格依赖性大 |
| 虚功法 | 对旋转角的余能进行微分 | 网格依赖性小 | 需要两次磁场计算 |
| Arkkio法 | 对整个气隙进行体积积分 | 比麦克斯韦应力法稳定 | 依赖于气隙网格 |
瞬态分析的设置
瞬态分析大概要计算多少步呢？我担心计算时间…
至少需要以电角度1周期（360°）120步以上进行计算。根据奈奎斯特定理，要准确捕捉6次谐波，每个周期至少需要12步，但考虑到精度，实际推荐留有20倍余量，即每周期240步。
另外，达到稳态需要几个周期的瞬态过程，因此需要计算3~5个周期，并使用最后1~2个周期的数据进行FFT分析。对于8极电机3000 rpm的情况，电角度1周期相当于机械角的 $360°/4 = 90°$，因此一个周期所需时间约为5 ms。
需要等到稳态啊。不能用第一个周期的数据…
气隙网格策略
我听说网格划分方式对转矩计算精度影响很大…
转矩脉动分析中最重要的网格设计要点就是气隙。因为麦克斯韦应力张量法的积分路径穿过气隙内部，如果这里的网格太粗，结果就完全不可信。具体来说：
- 气隙内的单元层数：至少3层，推荐5层以上
- 圆周方向的单元数：每个槽距至少10个单元
- 槽口开口部周围：局部细化（单元尺寸 0.1〜0.3 mm）
- 磁铁端部：磁通密度变化剧烈，需要细化
如果气隙是0.7 mm，5层的话单元尺寸就是0.14 mm… 相当细啊。
是的。所以在转矩脉动分析中，利用对称性来减少计算域非常重要。对于8极48槽的电机，有 $1/8$ 周期对称性，只需计算截面的 $45°$ 部分即可。这样可以大幅减少网格数量。
时间步长与频率分辨率
转矩脉动的谐波分析精度，直接取决于时间步长 $\Delta t$ 和分析周期数 $N_{\text{cycle}}$。
| 参数 | 最低要求 | 推荐值 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 角度步长 $\Delta\theta_e$ | 3° (每周期120步) | 1.5° (每周期240步) | 提高12次及以上谐波精度 |
| 分析周期数 | 2周期 | 4〜5周期 | 为了排除初始瞬态 |
| 非线性迭代收敛判定 | $10^{-4}$ | $10^{-6}$ | 残差范数比 |
| FFT窗函数 | 矩形窗 | 汉宁窗 | 减少频谱泄漏 |
非线性B-H曲线的处理
您提到铁心磁饱和会影响转矩脉动，在FEM中是如何处理的呢？
铁心的磁导率 $\mu$ 依赖于磁通密度 $B$，因此在FEM中需要进行Newton-Raphson法的非线性迭代。在每个时间步长，参照 $B$-$H$ 曲线更新 $\mu(B)$，并重复直到收敛。硅钢片（如35H300）的B-H曲线由材料制造商以测量数据的形式提供。
需要注意的是，如果B-H曲线的数据点太稀疏，插值误差会直接影响转矩脉动的精度。特别是在膝部区域（$B = 1.2〜1.8$ T附近），必须密集地设置数据点。实际工作中，至少用30个以上的数据点来定义是铁律。
旋转体的滑动网格技术
在电机的FEM分析中，如何处理转子（旋转部分）和定子（固定部分）的边界非常重要。“滑动网格法”是在气隙中央将计算域分割为两部分，只旋转转子侧网格的方法。定子侧网格保持固定，通过插值保证边界面上磁矢量位的连续性。由于不需要重新生成网格，计算效率高。在JMAG或Maxwell中被称为“滑动网格”或“带网格”。
实践指南
分析工作流程
我第一次做转矩脉动分析，能告诉我从开始到结束的流程吗？
实际的工作流程大致如下：
- 模型构建：从CAD导入电机截面，利用对称性设置最小计算域。空气域设为定子外径的1.5倍以上
- 材料设置：铁心的B-H曲线（30点以
この記事の評価ご回答ありがとうございます！参考に
なったもっと
詳しく誤りを
報告