永磁同步电机（PMSM）的设计仿真
理论与物理
什么是PMSM
老师，PMSM和感应电机有什么区别？我听说EV中PMSM是主流。
简单来说，转子使用永磁体的是PMSM，转子也需要通电流的是感应电机。PMSM转子铜损为零，所以效率高。自丰田初代普锐斯（1997年）采用IPMSM以来，它已成为EV/HEV驱动电机的主流。
SPMSM和IPMSM的区别是什么？
磁体贴在转子表面的是SPM（表面式永磁），嵌入铁心内部的是IPM（内置式永磁）。IPM具有“凸极性”，因此除了磁阻转矩外还能利用磁阻转矩。EV用电机大部分是IPM。
在PMSM设计中，FEM分析在哪个阶段使用？
初期设计用磁路等效电路快速迭代，详细设计时投入FEM。特别是d-q轴电感的精确值，不用FEM是算不出来的。对于磁饱和影响大的IPMSM，只用等效电路的话，出现10~20%的转矩误差是常有的事。
d-q轴模型与电压方程
d-q轴模型经常出现，为什么要特意进行坐标变换呢？
将三相交流量变换到固定在转子上的旋转坐标系后，稳态下会变成直流量。这样控制和与FEM的协同都会变得非常容易。这种方法称为Park变换（dq变换），是PMSM控制与分析最基础的内容。
d-q轴的电压方程如下：
$\omega_e$ 是什么？还有 $\psi_m$ 呢？
$\omega_e = p \cdot \omega_m$ 是电角速度，$p$ 是极对数，$\omega_m$ 是机械角速度。$\psi_m$ 是永磁体产生的磁链，用FEM求解时，需对仅由磁体励磁状态下的线圈磁链进行积分：
各项的物理意义
- $R_s i_d$, $R_s i_q$：绕组电阻压降。对应只要有电流流过就必然产生的焦耳损耗。
- $L_d \frac{di_d}{dt}$, $L_q \frac{di_q}{dt}$：各轴电感引起的自感电动势。在瞬态响应时，其作用方向是阻碍电流变化。
- $-\omega_e L_q i_q$（d轴干扰项）：q轴电流因旋转而在d轴上感应的电压。与速度成正比，速度越高越大。
- $\omega_e L_d i_d$（q轴干扰项）：d轴电流因旋转而在q轴上感应的电压。是进行弱磁控制时施加 $i_d < 0$ 电流的原因。
- $\omega_e \psi_m$：永磁体产生的反电动势（Back-EMF）。与转速成正比，决定空载时的电机端电压。
转矩方程：磁阻转矩与磁阻转矩
请告诉我PMSM的转矩公式。我听说有磁阻转矩和磁阻转矩…
三相PMSM的转矩可以这样表示：
第一项是永磁体产生的磁阻转矩（磁体转矩），与q轴电流 $i_q$ 成正比。第二项是磁阻转矩，如果没有 $L_d \neq L_q$ 的凸极性就不会产生。SPMSM中 $L_d \approx L_q$，所以磁阻转矩几乎为零。IPMSM是 $L_d < L_q$，因此通过施加 $i_d < 0$ 的电流可以叠加磁阻转矩。
在实际的EV电机中，磁阻转矩占多大比例？
典型的EV用IPMSM，在最大转矩运行点，磁阻转矩有时可占总转矩的30~50%。在减少磁体用量的同时确保转矩的设计关键，就在于这个凸极比 $L_q / L_d$ 的优化。最近，无稀土的铁氧体IPMSM也以磁阻转矩为主体，正在推进实用化。
反电动势（Back-EMF）
反电动势对设计有什么影响？
反电动势 $e = \omega_e \psi_m$ 与转速成正比。高速区域反电动势会达到逆变器输出电压上限，因此需要通过弱磁控制（$i_d < 0$）来在表观上减小 $\psi_m$。在FEM中，计算Back-EMF波形并评估其谐波成分（THD）非常重要。THD过大会导致转矩脉动和振动噪声。
Back-EMF的有效值由下式表示：
d轴·q轴电感的物理意义
$L_d$ 和 $L_q$ 在物理上有什么区别？
d轴是磁体排列的方向，磁体的相对磁导率几乎与空气相同（$\mu_r \approx 1.05$），所以磁阻大，$L_d$ 就小。另一方面，q轴是磁体与磁体之间——磁路穿过铁心，所以磁阻小，$L_q$ 就大。因此IPMSM总是 $L_q > L_d$。
但是产品目录上是一个数值吧？实际上会随电流变化吗？
这正是关键点。铁心磁饱和时，磁导率会下降，所以 $L_d$ 和 $L_q$ 都变得与电流相关。此外还有交叉耦合（d轴电流影响q轴电感）。因此需要用FEM在整个 $i_d$-$i_q$ 映射范围内计算 $L_d(i_d, i_q)$, $L_q(i_d, i_q)$。这可以说是PMSM设计中FEM不可或缺的最大理由。
| 参数 | SPMSM | IPMSM | 备注 |
|---|---|---|---|
| $L_d$ vs $L_q$ | $L_d \approx L_q$ | $L_d < L_q$ | IPMSM的凸极性 |
| 凸极比 $L_q/L_d$ | 1.0〜1.1 | 2.0〜4.0 | 越大磁阻转矩越大 |
| 磁阻转矩 | 几乎为零 | 总转矩的30〜50% | IPMSM设计的核心 |
| 弱磁能力 | 有限 | 高 | 直接关系到高速区域的运行范围 |
初代普锐斯将“IPMSM”推广到世界
1997年问世的丰田初代普锐斯，对于电机界来说也是历史性事件。此前，EV或HEV曾被认为感应电机是有力的选择，但普锐斯却特意采用了IPMSM（内置式永磁同步电机）。理由是“高效率且小型轻量”，正好适合混合动力系统有限的空间。这个选择给全球汽车制造商灌输了“HEV/EV＝IPMSM”这个等式，并在此后20多年里，创造了IPMSM持续作为EV驱动电机主流的潮流。学习PMSM的设计分析，直接关系到理解现代EV的心脏部分。
数值解法与实现
电磁场FEM的公式化
PMSM的电磁场分析，控制方程是麦克斯韦方程组吧？在FEM中是如何公式化的？
电机的工作频率（数百Hz〜数kHz）可以使用准静态近似。也就是说忽略位移电流项，使用磁矢量势 $\mathbf{A}$ 进行公式化是标准做法。如果是2D截面分析，则归结为 $A_z$ 的标量方程：
右边的三项分别是什么？
$\mathbf{J}_s$ 是定子绕组的强制电流密度，$-\sigma \partial \mathbf{A}/\partial t$ 是涡流项（铁心和转子导体的涡流），$\nabla \times \mathbf{M}$ 是永磁体的等效电流源。2D分析中使用边单元（Nedelec单元）或节点单元。对于电机，很多情况下使用2D三角形节点单元就足够了。
在2D截面分析的情况下，上式可简化为标量形式：
这里 $\nu = 1/\mu$ 是磁阻率（磁导率的倒数）。
非线性B-H曲线的处理
铁心的磁饱和怎么处理？$\mu$ 不是常数吧？
这正是PMSM分析的关键。硅钢板的B-H曲线具有很强的非线性。磁通密度超过1.5T时，磁导率会急剧下降。这需要用牛顿-拉夫森法处理。在每个迭代步骤中更新 $\nu(B)$ 并重建雅可比矩阵：
收敛判据通常是 $||R|| / ||R_0|| < 10^{-4}$ 左右。IPMSM中齿尖或桥接部分会饱和到接近2.0T，所以如果B-H曲线的数据没有包含到2.0T以上，就会变成“饱和区域的外推”，导致结果严重失真。实测数据的质量决定了FEM结果的可信度。
旋转网格与滑动界面
转子是旋转的，网格要怎么应对？是每步都重新划分网格吗？
标准方法是在气隙处设置滑动界面（滑移面）。使转子侧网格刚体旋转，在气隙边界处与定子侧进行插值连接。JMAG中的“滑动网格法”，Maxwell中的“Band”对象就相当于这个。无需重新划分网格，计算效率高。
时间步长怎么决定？
电角度每度1步（即1个电周期360步）是起点。要准确评估齿槽转矩，则需要0.5度以下。转速×时间步长=角度步长，例如3000rpm·4极的电机，电角频率是100Hz，0.5度步长的话 $\Delta t = 0.5/(360 \times 100) \approx 13.9 \mu s$。
基于FEM的Ld/Lq提取方法
请告诉我从FEM中提取d-q轴电感的具体方法。
基本方法是“冻结磁导率法”。步骤如下：
- 在磁体+电流的全励磁下求解FEM，获取铁心的 $\mu$ 分布（反映饱和状态）
- 将该 $\mu$ 分布“冻结”（固定）
- 消去磁体，仅用 d轴电流求解 → 得到 d轴磁链 $\psi_d$ → $L_d = \psi_d / i_d$
- 同样仅用q轴电流求解 → $L_q = \psi_q / i_q$
原来如此，用反映了饱和状态的 $\mu$ 来求电感，所以能得到电流相关的映射图。
没错。在 $i_d$ 为 -200A〜0A，$i_q$ 为 0A〜400A 左右的范围内进行网格状计算，就能得到 $L_d$-$L_q$ 映射图。这将成为传递给控制仿真（Simulink等）的表格数据。JMAG有自动运行此计算的“效率图分析”功能。
铁损·涡流损耗的计算
要绘制电机的效率图，需要计算铁损吧？
铁损通常基于Steinmetz经验公式的分离模型来计算：
在FEM中，将每个单元的磁通密度波形进行频率分解，对每个谐波分量应用上述公式。通过后处理积分得到总的铁损。最近的软件已经能够考虑PWM载波谐波引起的附加铁损。
实践指南
PMSM设计的分析流程
在PMSM设计中，FEM分析按什么流程进行？
典型的流程是这样的：
- 确定规格：额定转矩·转速、最大转矩·转速、直流电压、尺寸限制
- 初期设计（磁路等效电路）：极数·槽数组合、磁体量·绕组规格概算
- 2D-FEM静磁场分析：空载Back-EMF波形、齿槽转矩确认
- 2D-FEM瞬态分析：负载时转矩、转矩脉动、$L_d$/$L_q$映射图提取
- 铁损·效率图计算：运行范围全域的效率等高线图
- 退磁判定：最恶劣条件（最大电流 + 高温150℃）下的不可逆退磁检查
- 3D分析（根据需要）：端部效应、斜
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