永久磁石同步电动机（PMSM）的设计仿真

简单来说，PMSM在转子上使用永久磁石，而感应电动机的转子也通电。PMSM的转子铜损为零，所以效率很高。自从丰田初代普锐斯（1997年）采用IPMSM以来，EV/HEV的驱动电动机就一直以PMSM为主流。

将磁石贴在转子表面的是SPM（表面永久磁石），将其埋入铁心内部的是IPM（内嵌永久磁石）。IPM具有"突极性"，除了磁石转矩外，还能产生磁阻转矩。EV用的大多是IPMSM。

初期设计用磁路等效电路快速迭代，详细设计阶段投入FEM。特别是d-q轴电感的精确值必须通过FEM获得。对于IPM电动机，磁饱和的影响很大，仅用等效电路可能导致转矩计算误差10～20%。

将三相交流量变换到转子固定的旋转坐标系中，稳态时就成为直流量了。这样制控和FEM的联动都容易得多。这种变换方法叫Park变换（dq变换），是PMSM控制和解析的基础。

$\omega_e = p \cdot \omega_m$ 是电学角速度，$p$ 是极对数，$\omega_m$ 是机械角速度。$\psi_m$ 是永久磁石引起的磁通链数。通过FEM计算时，仅励磁磁石的状态下计算线圈的磁通链数积分：

三相PMSM的转矩可以这样表示：

第一项是永久磁石产生的磁石转矩（磁铁转矩），与q轴电流 $i_q$ 成正比。第二项是磁阻转矩，只有在 $L_d \neq L_q$ 时才会产生。SPMSM的 $L_d \approx L_q$，所以磁阻转矩几乎为零。IPMSM中 $L_d < L_q$，可以通过控制 $i_d < 0$ 来增加磁阻转矩。

典型的EV用IPMSM，在最大转矩运转点，磁阻转矩可占总转矩的30～50%。减少稀土磁石用量的同时确保转矩的设计关键就是优化这个突极比 $L_q / L_d$。最近无稀土铁氧体IPMSM实用化进展顺利，它主要利用磁阻转矩。

反电动势 $e = \omega_e \psi_m$ 与转速成正比。高速时反电动势会达到逆变器的输出电压上限，因此需要进行弱磁通控制（$i_d < 0$）来降低 $\psi_m$ 的有效值。FEM需要计算Back-EMF的波形并评估高次谐波含量（THD）。THD大会导致转矩纹波和振动噪声。

d轴是磁石排列的方向，磁石的相对磁导率接近于空气（$\mu_r \approx 1.05$），所以磁阻大，$L_d$ 较小。q轴是磁石之间——通过铁心的磁路，磁阻小，$L_q$ 较大。所以IPMSM总是 $L_q > L_d$。

这是关键问题。铁心磁饱和时磁导率下降，所以 $L_d$ 和 $L_q$ 都会随电流变化。还有d轴电流影响q轴电感的交叉耦合。所以要用FEM在整个 $i_d$-$i_q$ 范围内计算 $L_d(i_d, i_q)$ 和 $L_q(i_d, i_q)$ 的数据。这是PMSM设计中FEM不可或缺的最大原因。

电动机的工作频率（几百Hz到几kHz）可以使用准静态近似。也就是忽略位移电流项，采用磁矢势 $\mathbf{A}$ 的定式化。二维截面解析时，这简化为标量方程 $A_z$：

$\mathbf{J}_s$ 是定子线圈的外加电流密度，$-\sigma \partial \mathbf{A}/\partial t$ 是涡流项（铁心和转子导体的涡流），$\nabla \times \mathbf{M}$ 是永久磁石的等效电流源。二维解析通常用边缘单元（Nedelec单元）或节点单元。电动机的情况多数用二维三角形节点单元就足够了。

这正是PMSM解析的核心。硅钢板的B-H曲线有很强的非线性。磁通密度超过1.5T时磁导率急剧下降。用牛顿-拉夫逊法处理。每个迭代步骤更新 $\nu(B)$ 并重建雅可比矩阵：

收敛判定通常为 $||R|| / ||R_0|| < 10^{-4}$。IPMSM的齿尖和桥梁部分饱和度可达2.0T左右，所以B-H曲线数据必须包括2.0T以上的部分。如果数据不足，"饱和区域外的推外"会导致结果严重偏离。实测数据的品质直接影响FEM结果的信度。

在气隙中设置滑动界面（滑移面）是标准方法。转子侧的网格做刚体旋转，气隙边界处与定子侧进行插值连接。JMAG叫"滑动网格法"，Maxwell叫"Band"对象。不需要重新划分，计算效率高。

每电学度1步（也就是1个电学周期360步）是起点。要精确评估齿槽转矩的话需要0.5度以下。转速×时间步长＝角度步长，比如3000rpm、4极的电动机电学角频率是100Hz，0.5度步长的话 $\Delta t = 0.5/(360 \times 100) \approx 13.9 \mu s$。

基本手法叫"冻结磁导率法"。步骤如下：

完全正确。$i_d$ 设在 -200A～0A，$i_q$ 设在 0A～400A 这样的范围格点计算，就能得到 $L_d$-$L_q$ 地图。这个数据后来被传到控制仿真（Simulink等）。JMAG有自动运行这个计算的"效率地图解析"功能。

铁损通常用基于Steinmetz经验式的分离模型计算：

FEM中对每个单元的磁通密度波形进行频率分解，对各高次谐波分量应用上式。通过后处理积分得到全体铁损。最新的软件还能考虑PWM载波高频谐波导致的追加铁损。

典型的流程是这样的：

2D解析的计算时间是3D的1/100以下，设计初期的参数探索用2D极其高效。端部效应和斜度的影响可以用补正系数来处理。3D真正需要的场景只有端部漏磁很大的轴向间隙电动机或复杂转子形状的电动机。

PMSM解析中最关键的网格区域是气隙。至少配置3～5层单元。如果气隙长0.5mm，单元大小应该在0.1～0.15mm。

用齿槽转矩的峰值来判定最敏感（灵敏度最高）。将网格细化至一半，齿槽转矩变化在5%以内就足够了。平均扭矩收敛得比较早，齿槽才是最严格的指标。

8极48槽的电动机，最小周期是1/8模型（1极分，45度）。但要小心周期境界条件的设定。PMSM的磁石极性交替，所以奇数倍周期要用"反周期境界条件"（$A_z$ 符号反转）。偶数倍的话通常周期境界条件可以。

外周边界条件用 $A_z = 0$（狄利克雷条件）是标准。定子外周视为远场。实际的电动机有外壳，所以将外壳也包括在模型中会更精确，但在设计初期 $A_z = 0$ 就足够了。

改变参数自动运行FEM的参数化研究是基本。比如磁石厚、磁石宽、磁通阻挡槽形状做成参数，以最大扭矩·最小齿槽·最小材料成本为目标函数。优化算法有：

没错。JSOL公司开发，丰田·日产·本田等国内汽车OEM的用户占有率极高。最大强项是电动机设计专用的工作流，从模板快速定义IPMSM或SPMSM，几分钟就能搞定。效率地图解析、$L_d$-$L_q$ 地图自动生成、NVH联动（音压级评估）等一揽子功能。

作为通用电磁场求解器范围受限。天线和EMC解析不适用。纯粹是"旋转机·变压器·执行器专用"。国外Ansys Maxwell系的占有率很高，全球团队工具统一比较困难的情况也有。

Ansys Maxwell（原Ansoft Maxwell）是低频电磁场通用求解器，不仅电动机，还涵盖变压器、继电器、螺线管、磁屏蔽等广泛应用。最大的武器是与Ansys生态系统的联动。Mechanical（结构）、Fluent/Icepak（热流体）、Twin Builder（系统仿真）的双向耦合很自然。

另一个特色是自适应网格。精度不足的区域自动细化。初学者不用费心设计网格，也能得到一定精度。但细化有时会过度导致计算时间爆炸，最好设上限。

AC/DC模块可以进行PMSM解析。COMSOL的真正优势是多物理场。电磁-热-结构可以在同一网格上直接耦合，比如"高速运转时涡流损→温度上升→磁石特性变化→转矩下降"能一站式计算。研发和定制物理很有利，但大量运行效率地图这样的量产设计任务时，JMAG或Maxwell的工作流更成熟。

有几个：

PMSM解析的非线性收敛失败，99%都是B-H曲线问题。检查清单：

那就是问题所在。临时对策是饱和区用 $B = \mu_0 H + J_s$（$J_s$ 是饱和磁化）外推。35A300这样的常见硅钢 $J_s \approx 2.0$ T。

齿槽转矩是全转矩的1%以下量级，模型误差微小也会剧变。常见原因：

最坏工况下运行FEM，检查磁石内部各单元的工作点是否超过膝点（不可逆减磁开始的H值）。条件：

记住3条铁律：