电机效率图生成 — 基于电磁场FEM的损耗分离与等效率线绘制方法

它是横轴为转速、纵轴为扭矩，用等高线描绘电机在各工作点效率的图。和地图等高线的原理一样，画出“效率95%的线”、“90%的线”等等。

是为了评估电动汽车在行驶模式下的平均效率。因为可以知道在WLTP或JC08等行驶模式中会频繁使用哪些工作点，所以可以优化设计，让高效率的“岛”出现在这些高频区域。例如，对于经常跑高速公路的电动汽车，就希望将高效率区域设置在8000~12000 rpm附近；而对于主要在市区行驶的，则希望设置在3000~5000 rpm附近。

正是如此。仅仅有一个理论上的最高效率点是不够的，根据实际使用方式来最大化“实用效率”的设计思想，才是电机设计现场最重要的。

电机的总损失大致可以分为三类。

• 铁损 $P_{\mathrm{iron}}$：由铁芯内磁通密度变动引起的损失。分为磁滞损耗和涡流损耗
• 铜损 $P_{\mathrm{cu}}$：绕组电阻引起的发热损失（焦耳损耗）
• 机械损 $P_{\mathrm{mech}}$：轴承摩擦和转子的风阻损耗

能否准确分离和计算这三项，是获得高质量效率图的关键。

问得好。在低转速、高扭矩区域，铜损占绝对主导。因为要流过很大的电流，所以 $I^2R$ 效应显著。另一方面，到了高转速区域，铁损会急剧增加。因为铁损与频率（≈转速）的1~2次方成正比。也就是说，随着转速升高，“主角会从铜损转变为铁损”。效率图的等高线形状，正是反映了这两者之间的此消彼长。

作为铁损模型，应用最广泛的是修正Steinmetz公式（iGSE: improved Generalized Steinmetz Equation）。原始的Steinmetz公式只适用于正弦波磁通，而电机内的磁通波形包含高次谐波，所以需要iGSE。

没错。涡流损耗与钢板厚度 $d$ 的平方成正比。$k_e \propto d^2 / (12 \rho)$（$\rho$ 是钢板的电阻率）。因此高速电机会使用0.2~0.25mm厚的电工钢板。如果进一步追求低铁损，非晶铁芯也是一个选择。不过成本会大幅上升。

很敏锐。铜的电阻温度系数约为0.393%/℃。以20℃为基准，$R_s(T) = R_{s,20}[1 + 0.00393(T - 20)]$。如果绕组温度上升到120℃，电阻会增加约39%。因此，要得到准确的效率图，电磁-热耦合分析是必不可少的。此外，高频下由于集肤效应和邻近效应，有效电阻会增大。这被称为交流损耗。

是的，机械损不是电磁FEM的直接计算对象。通常用以下经验公式估算：

$$ P_{\mathrm{mech}} = P_{\mathrm{bearing}} + P_{\mathrm{windage}} = k_b \omega + k_w \omega^3 $$

轴承损失 $k_b \omega$ 与转速一次方成正比，风阻损失 $k_w \omega^3$ 与转速三次方成正比。一般根据实测数据辨识出 $k_b$, $k_w$ 后，再将其纳入效率图。

正是如此。公式是连中学生都能理解的“输出/(输出+损失)”，但为了在各工作点精确求出分母的 $P_{\mathrm{cu}}$, $P_{\mathrm{iron}}$, $P_{\mathrm{mech}}$，需要电磁场FEM全力以赴。特别是 $P_{\mathrm{iron}}$ 的精度，决定了效率图的可信度。

电机分析的起点是使用矢量磁位 $\mathbf{A}$ 的扩散方程。在2D情况下，截面内的磁通密度可以仅用 $z$ 分量的矢量磁位 $A_z$ 来表示：

$$ \nabla \times \left( \frac{1}{\mu} \nabla \times \mathbf{A} \right) + \sigma \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \mathbf{J}_s + \nabla \times \mathbf{M} $$

左边第一项是磁场的扩散，第二项是涡流项。右边的 $\mathbf{J}_s$ 是线圈电流源，$\mathbf{M}$ 是永磁体的磁化强度。

是的。用时间步进法（Crank-Nicolson法或Backward Euler法）进行离散化，求出每个时刻的磁通密度分布。FEM离散化后的矩阵方程为：

$$ \left( [S] + \frac{1}{\Delta t} [M] \right) \{A\}^{n+1} = \{F\}^{n+1} + \frac{1}{\Delta t} [M] \{A\}^n $$

$[S]$ 是刚度矩阵（与磁导率相关），$[M]$ 是质量矩阵（与电导率相关），$\{F\}$ 是右端向量（电流源+永磁体）。当存在磁饱和时，$[S]$ 依赖于 $B$，因此是非线性的。需要用Newton-Raphson法迭代求解每个时间步。

这正是制作效率图最大的计算成本问题。例如，如果划分转速10级 × 扭矩10级 = 100个点的网格，每个点都需要进行电角度一周期的瞬态分析。假设2D分析每个点需要30秒，100个点就是50分钟。如果是3D分析，每个点30分钟，100个点就是50小时。

有一些加速技巧：

• DOE（实验设计法）+ 代理模型：使用拉丁超立方采样或Optimal LHS对50~100个点进行采样，然后用响应面（克里金法、RBF、高斯过程回归）进行插值的方法。可以将计算点数减少到1/3~1/10
• 频率响应法：在正弦波稳态假设成立的工况点，可以用复数运算的频域分析代替瞬态分析
• 并行计算：各工作点相互独立，可以进行“令人尴尬的并行”分布式处理。如果有100个核心，就可以同时运行100个点
• 2D+端部修正：在2D截面分析的基础上，后期附加3D端部效应修正系数的方法。能以3D全分析1/100以下的成本确保80~90%的精度

没错。即使输出相同的扭矩，$i_d$（弱磁方向）和 $i_q$（扭矩生成方向）的组合也有无数种。我们来看一下IPMSM的扭矩公式：

$$ T = \frac{3}{2} p \left[ \psi_m i_q + (L_d - L_q) i_d i_q \right] $$

第一项是磁铁扭矩，第二项是磁阻扭矩。$p$ 是极对数，$\psi_m$ 是永磁体磁链，$L_d, L_q$ 是dq轴电感。在制作效率图时，对于每个扭矩-转速组合，通过MTPA（最大扭矩电流比）控制或最大效率控制来确定最优的 $(i_d, i_q)$。

切换到在电压限制椭圆和电流限制圆的交点处确定工作点的弱磁（Field Weakening）控制。将 $i_d$ 向负方向调节以减弱磁通，降低反电动势，从而实现高转速。此时效率会下降，但工作范围会扩大。效率图中必定包含这个弱磁区域，因此正确建模MTPA区域与FW区域的边界（基速）非常重要。

典型的步骤如下：

1. 通过FEM瞬态分析获取每个单元的 $B_x(t), B_y(t)$ 时间波形
2. 用FFT进行频率分解，求出基波和各次谐波的振幅 $B_k$ 和频率 $f_k$
3. 对各谐波分量应用Steinmetz公式，叠加谐波铁损： $$ P_{\mathrm{iron}} = \sum_{k=1}^{N} \left[ k_h f_k B_k^{\alpha} + k_e (f_k B_k)^2 + k_a (f_k B_k)^{1.5} \right] $$
4. 对所有单元进行体积积分，计算出电机整体的铁损

在JMAG或Maxwell中，这个后处理是自动化的，可以直接可视化铁损云图。

电工钢板的B-H曲线具有很强的非线性。当 $B$ 达到1.5T附近时，会进入磁导率急剧下降的饱和区。在FEM中，应用Newton-Raphson迭代，根据前一步的 $B$ 逐次更新每个单元的磁导率 $\mu$。收敛判定标准通常为 $||R||/||R_0|| < 10^{-4}$ 左右。

在高扭矩工作点，齿部和桥部会进入深度饱和，导致迭代次数增加，计算时间变长。有助于收敛的技巧包括：

• B-H曲线的平滑插值（使用Akima插值比样条插值更稳定）
• 引入松弛系数（under-relaxation factor 0.5~0.8）
• 使用前一步的解作为初始值（continuation法）