SPM电机（表面贴装型）的电磁场CAE分析
理论与物理
SPM vs IPM — 结构差异
表面磁铁型和内置磁铁型到底有什么区别？
SPM的磁铁是贴在转子表面的。因为磁铁的磁导率几乎和空气一样，所以d轴和q轴的电感相等，不产生磁阻转矩。结构简单，适合高速旋转，但有因离心力导致磁铁飞散的风险。
诶，磁铁会飞出去不是很可怕吗？那IPM是不是更万能？
不能一概而论。IPM是将磁铁嵌入转子铁芯内部，因此会产生凸极性，也能利用磁阻转矩。但是，由于需要在铁芯上开孔，机械设计变得复杂，而且磁铁布置模式不同，转矩特性也会大不相同。
SPM得益于其简单的结构，在需要转矩响应速度快的应用中，如伺服电机、机器人关节、无人机电机等，至今仍是主流。控制也只需Id=0控制，很容易理解。
| 项目 | SPM（表面磁铁型） | IPM（内置磁铁型） |
|---|---|---|
| 磁铁位置 | 贴附于转子表面 | 嵌入转子铁芯内部 |
| 凸极比 $L_q/L_d$ | ≒ 1 | 1.5 〜 3.0 以上 |
| 磁阻转矩 | 无 | 有（占总转矩的30〜50%） |
| 控制方法 | $I_d = 0$ 控制 | 最大转矩/电流控制（MTPA） |
| 高速旋转 | 离心力导致磁铁飞散风险 | 有铁芯覆盖，安全 |
| 主要用途 | 伺服、机器人关节、无人机 | EV驱动电机、空调压缩机 |
气隙磁通密度分布
SPM电机的磁通密度是怎么分布的？分析时什么最重要？
SPM中磁铁均匀贴在转子表面，所以气隙磁通密度分布接近梯形波。如果用磁铁开角（每极磁铁覆盖的角度）$\alpha_p$ 表示，其基波分量的大小可以通过傅里叶展开求得。
仅由磁铁产生的气隙磁通密度基波振幅可用下式近似：
其中 $B_r$ 是磁铁剩磁密度，$l_m$ 是磁铁厚度，$\mu_r$ 是磁铁相对磁导率（NdFeB约为1.05），$g$ 是机械气隙长度，$\alpha_p$ 是磁铁开角比（0〜1）。
$\mu_r$ 是1.05，也就是说磁铁的磁导率真的几乎和空气一样啊！所以d轴和q轴才没有差别…
没错。SPM的物理本质正在于此。即使磁铁在d轴上，磁学上也几乎等同于空气，所以 $L_d \approx L_q$。这就是“不产生磁阻转矩”这一特性的根本原因。
dq轴模型与转矩方程
我在课上学过dq轴变换，但SPM的转矩公式会变简单吗？
PMSM的一般转矩方程是这样的：
第一项是磁铁转矩，第二项是磁阻转矩。SPM中由于 $L_d \approx L_q$，第二项消失：
其中 $p$ 是极对数，$\Phi_m$ 是永磁体产生的交链磁通，$I_q$ 是q轴电流。
好简单啊。转矩和 $I_q$ 成正比的话，控制起来似乎也容易。
是的。对于SPM，设置 $I_d = 0$，仅用q轴电流产生转矩是最有效的。可以像直流电机一样控制，因此在伺服应用中很受欢迎。不过，如果不使用弱磁控制（$I_d < 0$），高速区电压会不足——这也是SPM的一个弱点。
永磁体的交链磁通 $\Phi_m$ 可根据磁铁形状和电机尺寸由下式计算：
$R_s$ 是定子内径，$L_{\text{stk}}$ 是叠厚，$k_w$ 是绕组系数。
反电动势（Back-EMF）
反电动势的公式在SPM中也有特殊形式吗？
反电动势（Back-EMF）的有效值由下式表示：
$\omega_m$ 是机械角速度，$N_s$ 是定子绕组匝数，$k_e$ 是反电动势常数。Back-EMF的波形由磁通密度分布的傅里叶分量决定，在SPM中，可以通过优化磁铁开角比 $\alpha_p$ 来抑制5次、7次谐波。
实际应用中常用 $\alpha_p \approx 0.83$（5/6）。这个值可以使第5次谐波几乎为零。通常用FEM分析确认Back-EMF波形，目标是使THD（总谐波失真率）低于5%。
损耗机理
SPM电机的损耗具体有哪些？我想提高效率。
SPM电机的损耗大致可分为4类：
- 铜损 $P_{Cu} = 3 I^2 R_s$ — 绕组电阻引起的发热。在低速、高转矩区占主导
- 铁损 $P_{Fe} = k_h f B^{1.6} + k_e f^2 B^2$ — 磁滞损耗和涡流损耗。在高速区急剧增加
- 磁铁涡流损耗 — SPM特有的问题。磁铁是导体，槽谐波会产生涡流，导致磁铁发热，增加退磁风险
- 机械损耗 — 轴承摩擦和风阻损耗
磁铁的涡流损耗是SPM特有的啊。能用FEM分析计算吗？
可以，但需要注意。虽然可以在模型中输入磁铁的电导率进行瞬态分析，但磁铁在圆周方向是否分割（分段）会影响涡流路径。实际电机中，为了防止退磁，通常将磁铁分割成3〜5段，FEM模型中也必须再现这种分割，否则会高估损耗。
SPM至今仍存在于硬盘之中
虽然硬盘驱动器（HDD）被智能手机挤压，但其主轴电机几乎全是SPM（表面磁铁型）。它要求直径数厘米、转速5400〜7200rpm的电机能持续无故障运行一万小时以上的精度和可靠性。将磁铁直接贴在转子表面的SPM，结构简单，易于低成本制造。“简单可靠”这一SPM特性，在硬盘主轴、医疗设备等稳定运行优先于转矩密度的应用领域，依然占据着主导地位。
各项的物理意义
- 磁铁转矩 $\frac{3}{2}p\Phi_m I_q$：永磁体磁通与q轴电流相互作用产生的转矩。在SPM中，它承担了全部转矩。本质上与直流电机中的弗莱明左手定则是同一原理。伺服电机中转矩常数 $K_t = \frac{3}{2}p\Phi_m$ 保持恒定，正是此式的直接结果。
- 磁阻转矩 $(L_d - L_q)I_d I_q$：凸极性引起的电感差产生的转矩分量。SPM中 $L_d \approx L_q$，故实际为零。IPM电机中此项承担总转矩的30〜50%，有助于扩大弱磁区的输出。
- 气隙磁通密度 $B_{g1}$：决定电机性能根本的物理量。转矩与 $B_{g1}$ 成正比，铁损与 $B_{g1}^{1.6\sim2}$ 成正比，因此设计总是在转矩和效率之间权衡。对于NdFeB磁铁 $B_r = 1.2\sim1.4$ T 的情况，气隙中 $B_{g1} \approx 0.7\sim0.9$ T 左右。
假设条件与适用范围
- dq轴模型是仅考虑空间基波的集总参数电路模型。无法评估谐波影响（齿槽转矩、转矩脉动）
- 忽略磁饱和的线性模型。实际上，定子齿尖处超过1.5T时饱和会变得显著，$\Phi_m$ 会随电流变化
- 假设温度恒定。钕磁铁的温度系数约为 $-0.12\%/\text{K}$，温度上升100℃时 $B_r$ 会下降约12%
- 2D分析忽略端部效应（端部漏磁、轴向磁通）。叠厚较短的电机需要3D分析
数值解法与实现
控制方程与矢量势法
SPM电机的FEM分析，是在解什么样的方程？
起点是麦克斯韦方程组，但对于低频电磁设备，使用忽略位移电流的准静态近似。为了自动满足磁通守恒 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$，引入磁矢量势 $\mathbf{A}$：
将其与安培环路定律 $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$ 结合，得到SPM电机的控制方程：
右边第一项是线圈电流源，第二项是永磁体的等效电流源（由剩磁 $\mathbf{B}_r$ 计算），第三项是导体中的涡流项。$\nu = 1/\mu$ 是磁阻率。
2D分析会怎样？是只切出截面来解吗？
是的。2D情况下，矢量势只有 z分量 $A_z$，因此归结为标量方程：
电机分析大部分都使用这个2D公式。需要3D的情况是，需要评估斜槽（磁铁或槽的倾斜）效果或端部效应时。
FEM公式化（边单元 vs 节点单元）
FEM离散化时，边单元和节点单元有什么区别？该用哪个？
如果是2D分析，用节点单元（三角形1次/2次单元）离散化 $A_z$ 是标准做法。未知数是标量，所以简单且计算快。
3D分析则必须使用边单元（Nedelec单元）。边单元能自动保证切向分量的连续性，避免节点单元中出现的伪解（出现物理上无意义的解的问题）。
| 特性 | 节点单元（2D $A_z$） | 边单元（3D $\mathbf{A}$） |
|---|---|---|
| 未知数位置 | 节点上 | 边上 |
| 保证的连续性 | $A_z$ 的连续性 | 切向分量的连续性 |
| 伪解 | 2D中无问题 | 自动避免 |
| 计算成本 | 低 | 高（自由度约3倍） |
| 主要应用 | 2D电机截面分析 | 3D端部效应、斜槽分析 |
用伽辽金法转换为弱形式，组装单元刚度矩阵，对于2D三角形1次单元：
有涡流项时，质量矩阵 $M_{ij}^e = \int \sigma N_i N_j \, d\Omega$ 会加入，整体联立方程为：
非线性B-H曲线的处理
铁芯是非线性的吧？饱和了会怎样？
硅钢片在 $B \approx 1.5$ T 附近磁导率会急剧下降。要在FEM中处理这个，需要用牛顿-拉夫逊法进行非线性迭代。具体来说，根据前一次的解更新每个单元的 $\nu(B)$，重新构建刚度矩阵，重复直到残差足够小。
有不收敛的情况吗？大概需要迭代多少次？
通常5〜15次收敛。不收敛时，多半是因为B-H曲线数据太粗糙（插值后锯齿状），或者饱和区 $\nu$ 变化太剧烈。实用的技巧有：
- 在饱和区（1.0〜2.5T）密集设置B-H曲线的数据点
- 将松弛系数（under-relaxation factor）设为0.5〜0.7
- 收敛判据一般采用残差范数 $\|R\|/\|R_0\| < 10^{-4}$
旋转运动的耦合方法
电机是旋转的。FEM的网格怎么跟随旋转呢？
问得好。主要有三种方法：
- 滑动网格法：在气隙中央分割网格，只旋转转子侧网格。边界面上节点不匹配，通过插值连接。最常用
- 重划网格法：每个时间步重新生成气隙网格。精度高但成本大
- Moving band法：在气隙放置带状单元层，根据旋转切换单元连接。JMAG或Maxwell采用
滑动网格法最常用啊。商用求解器会自动处理吗？
使用JMAG、Maxwell、COMSOL的电机设计模板会自动设置。但旋转步长角设置不当，会漏掉转矩脉动的高次谐波成分。建议以每电角度步长1°以下为目标。对于48槽8极电机，机械角步长大约0.5°。
转矩计算方法的比较
听说FEM计算转矩有好几种方法。
主要有三种方法，各自的精度和网格依赖性不同：
| 方法 | 原理 | 精度 | 网格依赖性 |
|---|---|---|---|
| 麦克斯韦应力张量法 | 对气隙面上的磁应力积分 | 依赖于积分路径 | 高（对气隙网格敏感） |
| 虚功原理（VWP） | 微小旋转引起的能量变化 | 高 | 中等 |
| Arkkio法 | 在整个气隙带内对应力张量进行体积平均 | 非常高 | 低 |