Cauchy应力 — CAE用语解说

这是个很好的问题。最根本的区别在于「在什么瞬间、什么状态的截面上」定义的。「应力」是个宽泛的概念，但Cauchy应力指的是「当前变形状态下，单位面积上的力」。具体来说，对变形后的物体进行虚拟切割，在切口（当前的面积）处定义。用式子表示，微小面积矢量 $$ d\vec{a} $$ 上作用的力 $$ d\vec{f} $$ 的关系是 $$ d\vec{f} = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\vec{a} $$，其中 $$ \boldsymbol{\sigma} $$ 是Cauchy应力张量。

完全正确。例如，橡胶被单轴拉伸至原长的2倍。截面积会降到约一半。如果内部纤维的张力保持不变，那么由「力÷（变小的当前面积）」计算出的Cauchy应力，会比变形前的应力大约2倍。这就是它被称为「真应力（True Stress）」的原因。在金属塑性加工仿真中，会以这条真应力-真应变曲线作为材料数据输入。

用变形前初始截面积定义的是「第一Piola-Kirchhoff应力」。如果Cauchy应力是「空间描述」，那么这个就是一种「物质描述」。区分的关键在于，构成律（材料模型）用哪个坐标系公式化。许多商业软件（如Abaqus/Standard）的超弹性和有限弹塑性分析内部使用物质描述的应力，在结果输出时转换为易于理解的Cauchy应力显示。

基本正确。Abaqus和Ansys Mechanical标准静力学分析、线性动力学分析的结果中，标记为「S」的应力，几乎都是Cauchy应力（或与之数值一致的工程应力）。不过在大变形分析中，有时需要特别选择标记为「Cauchy」的输出。例如，Ansys的大变形设置（NLGEOM,ON）中，默认的「Components and Principal」指的就是Cauchy应力。

没那么简单。FEM求解器首先从位移解计算变形梯度张量 $$ \mathbf{F} $$。接下来，根据选择的材料模型（构成律），计算某个基准应力（例如第二Piola-Kirchhoff应力 $$ \mathbf{S} $$）。最后，Cauchy应力 $$ \boldsymbol{\sigma} $$ 通过下面的关系式转换：$$ \boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^{T} $$，其中 $$ J = \det(\mathbf{F}) $$ 是体积变化率。这个转换被称为「前推操作」。

在金属塑性变形中，体积变化确实很小（可视为非压缩性）。但当剪切变形很大时， $$ \mathbf{F} $$ 的影响无法忽视。简单拉伸来说， $$ \mathbf{F} $$ 表示伸长，所以Cauchy应力会比第二Piola-Kirchhoff应力更大。在Abaqus Explicit输出中比较「真应力」和「名义应力」，就能确认这个差异。

进行大变形分析（几何非线性）时要注意。在Abaqus/Standard中设置「NLGEOM=ON」时，默认输出的「S」就是Cauchy应力。而在Ansys Workbench中，打开「Large Deflection」时，默认的「等效应力」也是基于Cauchy应力的von Mises应力。要注意的是超弹性材料（橡胶）的情况，当网格应变极端大时，体积变化率J的计算误差可能会影响Cauchy应力。

完全正确。屈服判定中使用的「相当应力（von Mises应力）」是从Cauchy应力张量的偏差分量计算的：$$ \sigma_{eq} = \sqrt{\frac{3}{2} \mathbf{s}:\mathbf{s}} $$，其中 $$ \mathbf{s} $$ 是Cauchy应力的偏差分量。金属塑性通过判定这个基于Cauchy应力的相当应力是否超过屈服应力来确定。因此，大变形分析必须始终基于「真（Cauchy）应力」进行评价，而不能用「公称应力」基础的von Mises应力。

这是实务中的重要一点。拉伸试验机输出的「公称应力」是用初始截面积除得到的。而在考虑发生颈缩等大变形的CAE分析中，需要用「真应力（Cauchy应力）」的材料数据。例如，根据JIS Z 2241或ISO 6892-1的试验数据转换为CAE用，使用公式 $$ \sigma_{true} = \sigma_{nom}(1 + \epsilon_{nom}) $$（假设单轴应力、体积不变）。在Abaqus的材料输入中，输入这个转换后的「真应力-对数应变」数据作为塑性数据。

有的。首先Abaqus/CAE中，大变形分析的结果步中，「S」默认表示Cauchy应力分量。通过「Field Output」的请求选择「STRESS」就会输出。有时也会出现明确标记为「Cauchy」的输出。Ansys Mechanical中，打开大变形时，「法向应力」和「等效应力」都是基于Cauchy应力的。在详细设置中可以通过「Results」→「Stress」的「Type」确认。COMSOL Multiphysics中，「Solid Mechanics」接口的默认物理场变量「Stress」指的就是Cauchy应力张量，输出名为「solid.s11」等。

这是计算算法差异显现的领域。当体积变化率J远离1时，之前的转换式 $$ \boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^{T} $$ 的数值稳定性成为问题。Abaqus的超弹性材料模型采用「Flory分解」，将应变能密度函数分为体积变化部分和等容部分，使J的计算稳定。Ansys的超弹性模型也采用类似方法。COMSOL允许用户直接定义应变能函数，所以取决于式的定义，需要谨慎。无论如何，体积变化大的材料，保持网格歪斜小是提高精度的关键。

非常常见的问题。可能的原因有两个。第一：输入的材料数据中的屈服应力是「公称应力」值，但分析计算的是「Cauchy应力（真应力）」。当变形大时，真应力大于公称应力，所以无法通过屈服判定。第二：大变形分析的设置本身没有正确启用。比如忘记在Ansys中打开「Large Deflection」，或在Abaqus中忘记「NLGEOM」参数，那么应力会按线性理论计算，结果会被低估。首先要确认这些设置。

这是由体积变化率J接近0（体积几乎变为零）引起的数值奇异性。Cauchy应力式 $$ \boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \mathbf{F} \mathbf{S} \mathbf{F}^{T} $$ 中，当J非常小时，应力会发散。实际的橡胶不是完全非压缩性，而是略有体积变化。对策包括：(1)在超弹性模型中设置现实的体积模量（Abaqus中指定「Bulk Modulus」），(2)使用混合单元（Abaqus的C3D8H等）妥善处理体积应变，(3)确认压缩变形量是否现实（网格是否被压扁过度）。

这是个高级需求，但主要软件都支持。Abaqus中，可定义「本地材料方向」，并设置使方向在大变形下随材料一起旋转（指定「Orientation」的「Additional rotation type」）。结果输出时，请求相对于该本地方向的应力分量即可。Ansys APDL中，用「RSYS, SOLU」命令将结果坐标系设置为「求解坐标系（即单元坐标系）」。Workbench中，通过创建「Cylindrical」或「User Defined」坐标系，在结果显示时应用。总之，材料方向的更新算法（如共回转）是否正确设置是关键。

不是缺陷，这是几何非线性的本质行为。当产生大变形时，(1)结构刚性改变（例如，薄板挠曲时面外刚性增加），(2)荷载作用方向随变形改变（是否追随荷载），(3)应力集中部位的几何形状本身改变。因此，应力分布会与线性分析结果大幅不同，这是常见的。这不是问题，而是线性分析只是现实的简化近似这一事实的体现。在航空机翼或汽车轮胎等大变形部件的设计中，初期设计用线性分析，详细验证中一定要进行非线性大变形分析，这是业界标准做法。