舍入误差 — CAE术语解说

计算机用有限位数表示实数时产生的误差。例如，十进制的0.1在二进制中无法精确表示。按照IEEE 754双精度（64位）标准，

在某些条件下不能忽略。代表例子是「病态问题」。当刚性矩阵的条件数很大，即

在数值上求解线性方程

主要有两个方法。第一是「缩放」。Ansys Mechanical的默认设置中，求解前会自动对刚性矩阵和荷载向量进行缩放，使数值的数量级一致，从而改善条件数。第二是「高精度运算」。Intel数学内核库（MKL）的某些程序使用80位扩展精度（Intel FPU寄存器宽度）进行内部计算，最后才将结果四舍五入到64位。

差异很大。直接法（如稀疏直接求解器PARDISO或MUMPS）在前向消元和回代过程中舍入误差会累积。特别是主元选择很关键，采用部分主元法来抑制误差放大。而迭代法（如共轭梯度法：CG法）的收敛判定受舍入误差影响。当残差范数减小到机器epsilon

影响很大。在牛顿-拉夫逊法中计算残差力和切线刚性矩阵时，若它们在舍入误差量级上振荡，会导致无法满足收敛准则、陷入反复迭代的「假不收敛」。为对策，Ansys和Abaqus同时设置力收敛准则（如

首先是「单位制混用」问题。用SI单位制建模时，长度[m]、力[N]、杨氏模量[Pa]应保持一致。若混用[mm]和[N]以及杨氏模量[MPa]，刚性矩阵分量的数量级可相差

完全同意。例如，把1m的立方体用1mm单元网格划分，单元数接近10亿。单元刚性矩阵分量变得极小，全局刚性矩阵对角项的数量级也会混乱。这导致条件数增大，舍入误差影响加重。工程实践中应选择能保证所需精度的最大网格尺寸。COMSOL手册也警告，过度细致的网格可能成为数值误差的来源。

要看具体情况，但有评判标准。设模型代表长度为L，代表位移为U。双精度运算的相对误差为

各厂商的设计哲学不同。Ansys Mechanical采取「保守」策略，默认直接求解器（稀疏直接法）应用强力的主元选择和缩放，优先考虑稳定性，但内存和计算时间开销大。Abaqus/Standard根据问题规模和类型自动选择直接法或迭代法，迭代法的默认收敛准则相对宽松

COMSOL Multiphysics采用「完全耦合」方式，把所有耦合物理方程作为一个大型系数矩阵求解。这种矩阵条件数容易恶化，因此默认同时应用「常数缩放」和「变量缩放」。它使用PARDISO或MUMPS等外部求解器库，并调整内部「主元容差」保证数值稳定性。若用户将该容差改得过严（如从1e-12改为1e-16），会导致主元失败频繁发生。

不一定较弱，但默认设置面向「研究人员」，有时比较严格。例如Code_Aster的迭代求解器（经由PETSc）的收敛准则有时推荐相对残差范数

关系很大。直接法求解器在高斯消元过程中用对角分量（主元）进行除法。由于舍入误差，理论上正则的矩阵计算上的主元值可能极小（例如

正是舍入误差造成的原因之一。荷载步过小时，每次迭代的位移增量和残差力变化接近舍入误差噪声量级。收敛判定逻辑会误认为「无变化」或被噪声干扰导致判定振荡。Abaqus手册特别强调初始增分尺寸不要过小。粗略准则是：首个步长的位移不应小于模型代表长度的

很可能是。IEEE 754规范规定了运算精度，但不完全规定「精确比特模式」。超越函数（sin、cos、exp）的计算，或因CPU并行化导致内积运算顺序不同时，舍入误差产生方式会变。Intel CPU与AMD CPU，或使用不同数学库（MKL vs. OpenBLAS）时，最低位会分岔。CAE基准测试考虑这点，通常相对误差

四倍精度（128位，约34位十进制精度）能大幅降低舍入误差，但计算成本增加数倍到数十倍，内存用量翻倍。目前汎用CAE软件几乎没有完整四倍精度支持。某些专用领域开始使用：如Ansys的某些专家模块、航天器轨道计算等有选项可用。根本方案是「理解舍入误差，在建模阶段回避病态问题」。数值分析必然伴随误差——这是前提认识。