截断误差 — CAE术语解释
截断误差的理论基础
截断误差的基本概念
经常听到"截断误差"这个词，具体是通过"截断"什么而产生的误差呢？
是指无限持续的数学运算在有限步骤停止时产生的误差。例如，考虑函数的泰勒展开。在x=0周围展开sin(x)时，
那么在CAE的世界里，有哪些"无限运算"经常被截断呢？
主要有三个方面。第一是函数近似（如形状函数）。第二是迭代求解器的收敛判定。例如使用共轭梯度法时，当残差范数低于1e-6就停止计算，但真实解与该解的差可能仍大于1e-6。第三是时间积分。在过渡分析中，下一时间步的状态通过当前状态的级数展开来预测，但这个展开被截断为有限次。
截断误差和"离散化误差"有什么不同？两者都是由近似引起的误差吧。
很好的观察。离散化误差是指将连续体（微分方程）用离散点（网格）表示的整个过程中产生的误差总称。而截断误差是该离散化过程中"特定数学近似运算"引起的误差分量。例如在有限差分法中用中心差分近似一阶导数时，
截断误差的数值计算方法
求解器中截断误差的发生位置
在实际的CAE求解器内部，截断误差是如何被控制的？
主要分两个阶段。第一阶段是单元定式化。使用二阶单元相比一阶单元考虑更多高阶项，所以形状函数的截断误差更小。第二阶段是线性方程组求解。Ansys Mechanical的默认直接法求解器（稀疏直接求解器）中截断误差几乎可以忽略，但在使用迭代法求解器（PCG法）时，"收敛准则"就成了截断误差的来源。残差为1e-8时比1e-4时的收敛准则更严格，所以截断误差会更小。
在过渡分析的时间积分中，例如Newmark法或Runge-Kutta法，截断误差是如何被控制的？
通过时间积分方案本身的"阶次"和"时间步长"来控制。例如，显式欧拉法是一阶精度，四阶Runge-Kutta法是四阶精度。在相同的时间步长Δt=0.001秒下，后者的截断误差远小于前者。实际应用中采用自动时间步长控制。Abaqus/Explicit的动态分析中，会估计某一步的截断误差，如果超过允许误差（默认约5e-3），就缩小步长，然后重复这个过程。
在非线性分析的平衡迭代（Newton-Raphson法）中，收敛判定是否也与截断误差相关？
完全相关。迭代求解非线性方程时，当力的残差或位移修正量低于收敛准则（例：力残差1e-2，修正量1e-5）时停止迭代。这就是截断误差。在Marc或Abaqus/Standard中，如果准则设得过严会导致计算成本爆炸，过松则有收敛到物理上不正确解的风险。在接触问题中，默认的1e-2通常不够，常常需要降低到1e-3。
截断误差的实务应用
考虑截断误差的分析设置
在实际分析设置中，哪些参数需要考虑截断误差来调整？有没有检查清单？
有的，需要检查以下四点：
收敛准则调严会增加计算时间。怎样判断要调到什么程度？
"灵敏度分析"是一个方法。例如，将力残差准则改为1e-2、1e-3、1e-4三个值分别运算，观察关注的最大应力或位移变化多少。如果变化在1%以内，说明这个准则是"实际上足够"的。在某个汽车部件的疲劳分析中，残差从1e-2改到1e-3时应力变化了5%，所以采用了1e-3。这是成本与精度权衡的问题。
如果已经确认了"网格收敛"，即网格细化后结果不变，改变求解器收敛准则还会引起结果变化吗？
这是一个常见的陷阱。会的。网格收敛只验证了"离散化误差"的下降，并不意味着求解器截断误差无关。在非线性分析中，粗网格也能在非常严格的求解器准则（1e-8）下"收敛"，但那只是收敛到该粗网格能表达的"不精确解"。反过来，超细网格在宽松准则（1e-1）下，截断误差过大，可能偏离正确解。两个误差来源必须分别评估。
截断误差的软件比较
各软件中截断误差的处理
Ansys、Abaqus、COMSOL等主流软件中，与截断误差相关的设置名称和默认值有区别吗？
差异很大。
在CFD软件（Fluent、Star-CCM+）中，什么样的截断误差比较关键？
在Fluent和Star-CCM+等CFD软件中，"离散化方案"的选择决定了截断误差的大小。例如，移流项的一阶迎风差分会产生强数值扩散（截断误差大），而二阶迎风或QUICK方案精度更高。此外，压力-速度耦合的迭代求解器（SIMPLE、PISO）的收敛准则（连续性、动量、能量残差）也是截断误差源。Fluent的默认收敛准则是1e-3，但涉及热传递或化学反应时常需要降低到1e-6。
免费和开源CAE软件（CalculiX、OpenFOAM）的这些设置如何？
需要用户更深入地设置。CalculiX（类似Abaqus的FEM）在输入文件（.inp）的*CONTROLS参数中直接设置"cnorm"和"cnormm"。默认值往往不明确，需要查手册。OpenFOAM中，`fvSolution`文件内各方程的求解器设置（`tolerance`和`relTol`）、以及`PIMPLE`或`SIMPLE`字典中的收敛准则（`residualControl`）起这个作用。商用软件相比，开源软件的"黑箱度"更低，要求使用者对截断误差控制有更深理解。
截断误差的故障排查
由截断误差引起的分析问题
沿用默认收敛准则，实际上出过问题的例子吗？
有不少。一个例子是橡胶材料的大变形分析（使用Abaqus）。默认收敛准则（0.5%）让迭代很快停止，看起来收敛了，但局部接触压力实际上比真实值低了20%以上。把准则改严到0.1%后，迭代次数增加但结果与试验数据很吻合。那时是太大的截断误差导致了收敛到"虚假解"。
反过来，如果把收敛准则设得太严（1e-8之类），会有什么弊端或风险？
主要两个问题。第一，计算时间浪费。在网格离散化误差达1%的情况下，把求解器截断误差降到1e-8也提不了整体精度。第二，数值噪声导致"收敛失败"风险。特别是接触问题，细微振动可能永远无法满足极严的收敛准则，分析停止。Ansys中这种情况可用"双线性阻尼"等收敛辅助功能，但根本上还是要重新审视准则。
检查结果有效性时，如果怀疑是截断误差导致结果有问题，最先该查什么？
先看求解器输出日志，检查"最终残差范数"和"收敛历史"，看是否在准则边界停止了。其次，做参数研究，把收敛准则调严一级（例1e-3→1e-4）重新计算。如果结果大幅变化，说明原设置的截断误差不可忽视。还可以稍微改变网格（同样大小重新生成），看结果是否不稳定。截断误差主导时，往往对网格细节变化敏感。