连续体力学基础 — 变形梯度、应变测度、构成律到非线性FEM的数学基础

分类: 基础理论 | 2026-03-25 | 站点地图

CAE visualization for continuum mechanics - technical simulation diagram — 连续体力学

连续体力学是什么

连续体力学（Continuum Mechanics）是把物质不作为原子分子的集合体，而作为连续填充空间的介质（连续体）来描述的力学框架。CAE的非线性分析——大变形橡胶、金属成形、生物力学——的数学基础都建立在连续体力学之上。

🙋

普通结构力学和连续体力学有什么区别？听说在Abaqus中打开NLGEOM时相关…

🎓

普通（线性）结构力学使用了"变形很小所以变形前后的形状基本相同"的假设。但当变形很大时这个假设会失效。比如橡胶密封件压缩50%、薄壁管座屈、板料在冲压成形中大幅弯曲。连续体力学是一套框架，能够不依赖于变形大小"准确描述变形"，变形梯度张量和Green-Lagrange应变由此出现。NLGEOM是Abaqus中"考虑几何非线性（即使用连续体力学）"的开关。

1.1 连续体假设

当物质的最小体积单元（Representative Volume Element: RVE）足够大于原子尺度，又足够小于分析尺度时，物质可作为连续体处理。对于金属微观组织（晶粒尺寸10～100 μm）到宏观结构分析（mm～m尺度）的问题，连续体假设成立。

1.2 Lagrange描述 vs Euler描述

观点	Lagrange（物质）描述	Euler（空间）描述
关注的点	追踪物质点（材料块）	观察空间固定点的变化
坐标	参考配置坐标 $\mathbf{X}$	现配置坐标 $\mathbf{x}$
主要用途	固体力学（结构FEM）	流体力学（CFD）
边界追踪	自动（网格随变形移动）	困难（边界穿过网格）
大变形处理	网格歪斜可能成问题	对大变形、流动自然适应

ALE（任意Lagrange-Euler）法结合两者，边界用Lagrange方法追踪，内部网格适时重新划分，用于碰撞、成形、流固耦合。

变形的描述

2.1 变形梯度张量

物质点从参考配置 $\mathbf{X}$（变形前）移动到现配置 $\mathbf{x}$（变形后），变形梯度张量 $\mathbf{F}$ 定义为：

$$\mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}, \quad F_{iJ} = \frac{\partial x_i}{\partial X_J}$$

$\mathbf{F}$ 把参考配置的线元 $d\mathbf{X}$ 映射到现配置的线元 $d\mathbf{x}$：$d\mathbf{x} = \mathbf{F}\,d\mathbf{X}$。

🙋

变形梯度具体包含什么信息？

🎓

$\mathbf{F}$中混合了"旋转"和"伸缩（应变）"。将其分离的是极分解 $\mathbf{F} = \mathbf{R}\mathbf{U}$。$\mathbf{R}$是纯旋转（正交张量），$\mathbf{U}$是右伸展张量（对称、正定）。比如拿起橡胶印章，一边旋转90度一边压缩，那么$\mathbf{R}$包含旋转的90°，$\mathbf{U}$包含压缩变形。在FEM中计算应力时"应力不能因旋转而改变"，因此必须使用由$\mathbf{U}$导出的应变测度。这导向了"客观的（Observer-independent）"应力应变表示的问题。

2.2 雅可比行列式

$$J = \det\mathbf{F} = \frac{dv}{dV}$$

$J$ 是变形前后的体积比。对于非压缩性材料（橡胶、金属塑性等），施加 $J = 1$ 的约束（体积保存）。$J < 0$ 表示单元反演，在数值分析中必须避免。

2.3 右Cauchy-Green张量与极分解

$$\mathbf{C} = \mathbf{F}^T\mathbf{F}, \quad \mathbf{B} = \mathbf{F}\mathbf{F}^T$$

$\mathbf{C}$（右Cauchy-Green张量）是Lagrange描述中的变形测度，$\mathbf{B}$（左Cauchy-Green张量、Finger张量）是Euler描述中的变形测度。两者都只包含纯伸缩信息，不受刚体旋转影响。

极分解：$\mathbf{F} = \mathbf{R}\mathbf{U} = \mathbf{V}\mathbf{R}$

$\mathbf{U} = \sqrt{\mathbf{C}}$（右伸展张量，Lagrange描述）
$\mathbf{V} = \sqrt{\mathbf{B}}$（左伸展张量，Euler描述）

应变测度

3.1 Green-Lagrange应变张量

$$\mathbf{E} = \frac{1}{2}(\mathbf{C} - \mathbf{I}) = \frac{1}{2}(\mathbf{F}^T\mathbf{F} - \mathbf{I})$$

用分量表示（位移向量 $\mathbf{u} = \mathbf{x} - \mathbf{X}$）：

$$E_{IJ} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_I}{\partial X_J} + \frac{\partial u_J}{\partial X_I} + \frac{\partial u_K}{\partial X_I}\frac{\partial u_K}{\partial X_J}\right)$$

忽略最后的非线性项会得到小应变（微小变形）的线性应变张量。在Total Lagrangian方案中，$\mathbf{E}$ 是基本应变测度。

🙋

有这么多应变测度，在CAE软件中选择"应变输出"时该选什么？

🎓

在工程实践中，"与什么对比"决定了选择。如果材料拉伸试验数据用工程应变（$\varepsilon = \Delta L / L_0$）报告，在小变形线性问题中可用普通应变对比。但像成形分析这样50%以上变形的情况，对数应变（真应变）更合适，Abaqus可以输出"Logarithmic Strain (LE)"。破裂和裂纹评估用塑性相当应变(PEEQ)。Ansys可输出"Equivalent Plastic Strain"。Green-Lagrange应变本身用于内部计算，很少直接对比。

3.2 对数应变（真应变）

$$\varepsilon_\text{true} = \ln\left(\frac{l}{l_0}\right) = \ln(1 + \varepsilon_\text{eng})$$

对数应变具有加法性（两阶段变形的真应变 = 各阶段真应变之和）。这是对数应变在大变形弹塑性分析中受欢迎的原因。从主伸长 $\lambda_i$（$\mathbf{U}$ 的特征值的平方根）：$\mathbf{E}_\ln = \ln\mathbf{U} = \sum \ln\lambda_i \mathbf{N}_i \otimes \mathbf{N}_i$（$\mathbf{N}_i$ 是主轴）。

应力测度

4.1 Cauchy应力张量

Cauchy应力 $\boldsymbol{\sigma}$ 在现配置（变形后状态）中定义：

$$d\mathbf{f} = \boldsymbol{\sigma}\,d\mathbf{a}$$

$d\mathbf{a}$ 是现配置中的面积向量（面积 × 法线）。这是"真应力"，实测应力和屈服准则（von Mises等）都使用Cauchy应力。

4.2 第一、第二Piola-Kirchhoff应力

大变形FEM中需要参考配置来进行计算，因此需要把Cauchy应力拉回到参考配置的应力测度：

第一Piola-Kirchhoff应力（PK1）：现在的力除以参考配置的面积。

$$\mathbf{P} = J\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}$$

第二Piola-Kirchhoff应力（PK2）：进一步把力也拉回到参考配置。对称张量，易于处理。

$$\mathbf{S} = \mathbf{F}^{-1}\mathbf{P} = J\mathbf{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}\mathbf{F}^{-T}$$

🙋

为什么应力种类这么多？只用Cauchy应力不行吗？

🎓

Cauchy应力基于现在的变形形状定义，在Total Lagrangian法（在参考配置中积分）进行数值计算时不方便。在参考配置中积分应该用在参考配置中定义的应力（PK1或PK2）更自然，积分点位置不变所以计算更容易。进一步，用Lagrange描述写材料律时，PK2和Green-Lagrange应变的配对是"能量共轭"，数学上整合一致。这就是为什么从超弹性材料的应变能$W(\mathbf{C})$能得出简单的$\mathbf{S} = 2\partial W/\partial\mathbf{C}$式子。

4.3 能量共轭对

应力测度	共轭应变测度	用途
Cauchy应力 $\boldsymbol{\sigma}$	Almansi-Hamel应变 $\mathbf{e}$	Updated Lagrangian、流体力学
第一PK应力 $\mathbf{P}$	变形梯度 $\mathbf{F}$	切线刚度的变分定式
第二PK应力 $\mathbf{S}$	Green-Lagrange应变 $\mathbf{E}$	Total Lagrangian、超弹性
Kirchhoff应力 $\boldsymbol{\tau} = J\boldsymbol{\sigma}$	对数应变 $\mathbf{E}_\ln$	大变形弹塑性（Hencky材料）

运动方程与平衡方程

5.1 质量守恒律

Lagrange描述：$\rho_0 = J\rho$（初始密度 $\rho_0$、现在密度 $\rho$）。

Euler描述（连续方程）：

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) = 0$$

5.2 线性动量守恒（运动方程）

现配置中的运动方程（Cauchy第一运动律）：

$$\rho\ddot{\mathbf{u}} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b}$$

$\mathbf{b}$ 是单位体积体积力（重力等）。静力分析中左边为零：$\nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} + \mathbf{b} = \mathbf{0}$。

Total Lagrangian（参考配置）形式：

$$\rho_0\ddot{\mathbf{u}} = \nabla_\mathbf{X}\cdot\mathbf{P} + \rho_0\mathbf{b}_0$$

5.3 角动量守恒与应力张量对称性

从角动量守恒律得到Cauchy应力张量对称：$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T$（$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$）。在三维中独立分量为6个。这是针对常规介质的，在Cosserat理论等扩展连续体中应力可能非对称。

构成律（材料律）的数学框架

6.1 超弹性（Hyperelastic）材料

橡胶、软组织、高分子等大变形弹性体。应力从应变能密度函数 $W(\mathbf{C})$ 导出：

$$\mathbf{S} = 2\frac{\partial W}{\partial \mathbf{C}}$$

Neo-Hookean模型（最简单的橡胶模型）：

$$W = \frac{\mu}{2}(\bar{I}_1 - 3) + \frac{1}{D_1}(J-1)^2$$

$\bar{I}_1 = J^{-2/3}\text{tr}(\mathbf{C})$（等容变形部分），$\mu$ 是剪切刚度，$D_1$ 是体积压缩抵抗的参数。

Mooney-Rivlin模型（更精确的橡胶模型）：

$$W = C_{10}(\bar{I}_1 - 3) + C_{01}(\bar{I}_2 - 3) + \frac{1}{D_1}(J-1)^2$$

在Abaqus中，可在材料定义中指定 HYPERELASTIC, NEO HOOKE 或 MOONEY-RIVLIN，从单轴、双轴、剪切试验数据自动拟合参数。

6.2 大变形弹塑性与客观应力增分

金属成形、碰撞分析需要大变形弹塑性处理。问题是"应力时间增分如何定义"，简单的材料时间微分 $\dot{\boldsymbol{\sigma}}$ 因刚体旋转而改变（不客观）。代表性的客观应力增分：

Jaumann应力速度（共旋应力速度）：

$$\overset{\circ}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} - \mathbf{W}\boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{\sigma}\mathbf{W}$$

$\mathbf{W}$ 是自旋张量（速度梯度的反对称部分）。Abaqus/Explicit 和 LS-DYNA 的默认选项。

Green-Naghdi应力速度（旋转速率法）：

$$\overset{\triangle}{\boldsymbol{\sigma}} = \dot{\boldsymbol{\sigma}} - \dot{\mathbf{R}}\mathbf{R}^T\boldsymbol{\sigma} + \boldsymbol{\sigma}\mathbf{R}\dot{\mathbf{R}}^T$$

使用极分解的旋转张量 $\mathbf{R}$，更加精确。Marc 的默认选项。

🙋

客观性在实务中会造成问题吗？什么计算会出现偏差？

🎓

单轴拉伸或单轴压缩问题不会出现问题，但大剪切变形（比如成形中材料一边折弯一边拉伸）Jaumann和Green-Naghdi对应力旋转部分的累积会不同。特别是剪切应变很大的区域（50%以上）误差变得明显，Jaumann速度中应力会"振荡"。Marc以Green-Naghdi为默认所以这个问题较少，但Abaqus/Standard或Explicit中带有NLGEOM的大变形成形分析需要留意。不过实际成形分析中两者差异一般控制在数%以内。

6.3 热力学相容性

材料律必须与第二律相容（不存在产生能量的材料）。Drucker稳定条件：

$$d\boldsymbol{\sigma} : d\boldsymbol{\varepsilon}^p \geq 0$$

应力增分与塑性应变增分的内积非负。这意味着屈服面是凸的（Convex）。DP（Drucker-Prager）和Mohr-Coulomb屈服面是凸的，满足此条件。

到非线性FEM的连接

7.1 虚功原理（有限变形版）

弱形式的出发点：

$$\int_\Omega \boldsymbol{\sigma} : \delta\mathbf{d}\,dv = \int_\Omega \mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\,dv + \int_{\partial\Omega_t} \mathbf{t}\cdot\delta\mathbf{u}\,da$$

$\delta\mathbf{d}$ 是虚变形速度张量，$\mathbf{t}$ 是牵引向量。Total Lagrangian中拉回到参考配置：

$$\int_{V_0} \mathbf{S} : \delta\mathbf{E}\,dV = \int_{V_0} \rho_0\mathbf{b}\cdot\delta\mathbf{u}\,dV + \int_{A_0} \mathbf{T}_0\cdot\delta\mathbf{u}\,dA$$

7.2 Total Lagrangian vs Updated Lagrangian

方法	参考配置	应力测度	适用问题
Total Lagrangian (TL)	初始形状（固定）	第二PK应力 $\mathbf{S}$	超弹性、大变形弹性
Updated Lagrangian (UL)	前一步（更新）	Cauchy应力 $\boldsymbol{\sigma}$	弹塑性、接触、成形

在Abaqus中，NLGEOM=ON自动选择Updated Lagrangian（内部UL+JAUMANN）。只有指定超弹性材料时才是Total Lagrangian。

7.3 切线刚度矩阵

Newton-Raphson法需要的切线刚度由两部分组成：

$$\mathbf{K}_T = \mathbf{K}_{mat} + \mathbf{K}_{geo}$$

材料刚度 $\mathbf{K}_{mat}$：从材料切线弹性张量 $\mathbb{C}_T = \partial\mathbf{S}/\partial\mathbf{E}$ 得出。

几何刚度（初应力刚度）$\mathbf{K}_{geo}$：现在应力状态导致的附加刚度（或减刚度）。座屈时 $\mathbf{K}_{geo}$ 抵消 $\mathbf{K}_{mat}$ 出现分岔点。

$$\det(\mathbf{K}_{mat} + \lambda\mathbf{K}_{geo}) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{座屈特征值问题}$$

7.4 Newton-Raphson法在有限变形中的应用

增分-迭代法的基本循环：

设定试验位移 $\mathbf{u}_{n+1}^{(k)}$（或前次迭代解）
计算变形梯度 $\mathbf{F}$
从构成律计算应力 $\boldsymbol{\sigma}$
计算内力向量 $\mathbf{f}_{int}$
计算残差 $\mathbf{R} = \mathbf{f}_{ext} - \mathbf{f}_{int}$
若 $\|\mathbf{R}\|$ 在收敛标准内，进入下一荷载步
否则用 $\Delta\mathbf{u} = \mathbf{K}_T^{-1}\mathbf{R}$ 更新，返回第2步

工程实践中的注意事项

8.1 NLGEOM开关与线性、非线性的取舍

薄板大变形座屈或大旋转问题必须使用NLGEOM=ON。经验判据：位移达到部件特征厚度以上就需检查非线性。比如厚度2mm的板挠度2mm以上时要确认是否需要非线性。

8.2 有限旋转的非可换性

三维有限旋转不可交换（$\mathbf{R}_1\mathbf{R}_2 \neq \mathbf{R}_2\mathbf{R}_1$ 一般情况）。这使得大变形壳单元的实现变得困难。特别是薄壳结构大旋转问题，要检验壳单元的法向量更新是否正确。

🙋

Abaqus非线性分析常见的"沙漏模式"是什么？为什么有问题？

🎓

低阶缩减积分单元（1积分点的8节点六面体C3D8R等）中，积分点检测不到变形、刚度为零的变形模式存在。因为变成沙漏形状所以叫"沙漏模式"。出现时解失去意义。对策是"沙漏控制"加入人工刚度，或用完全积分单元（C3D8）。C3D8会出现体积锁定（非压缩性问题中极度变硬的现象），所以在橡胶和大变形塑性中一般用C3D8R+沙漏控制的组合。

8.3 网格依赖性与单元选择的工程标准

问题类型	推荐单元（Abaqus）	注意事项
线性弹性、小变形	C3D20R（二阶、缩减积分）	应力精度高
弹塑性、大变形	C3D8R（沙漏控制）	计算成本与精度平衡
橡胶、超弹性	C3D8H（非压缩混合）	体积锁定对策
薄壳、大变形	S4R（缩减积分壳）	注意法向量更新
碰撞、高速变形	C3D8R + Abaqus/Explicit	CFL条件决定Δt

连续体力学基础 — 变形梯度、应变测度、构成律到非线性FEM的数学基础

连续体力学是什么

1.1 连续体假设

1.2 Lagrange描述 vs Euler描述

变形的描述

2.1 变形梯度张量

2.2 雅可比行列式

2.3 右Cauchy-Green张量与极分解

应变测度

3.1 Green-Lagrange应变张量

3.2 对数应变（真应变）

应力测度

4.1 Cauchy应力张量

4.2 第一、第二Piola-Kirchhoff应力

4.3 能量共轭对

运动方程与平衡方程

5.1 质量守恒律

5.2 线性动量守恒（运动方程）

5.3 角动量守恒与应力张量对称性

构成律（材料律）的数学框架

6.1 超弹性（Hyperelastic）材料

6.2 大变形弹塑性与客观应力增分

6.3 热力学相容性

到非线性FEM的连接

7.1 虚功原理（有限变形版）

7.2 Total Lagrangian vs Updated Lagrangian

7.3 切线刚度矩阵

7.4 Newton-Raphson法在有限变形中的应用

工程实践中的注意事项

8.1 NLGEOM开关与线性、非线性的取舍

8.2 有限旋转的非可换性

8.3 网格依赖性与单元选择的工程标准

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2.2 雅可比行列式

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应变测度

3.1 Green-Lagrange应变张量

3.2 对数应变（真应变）

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4.2 第一、第二Piola-Kirchhoff应力

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5.3 角动量守恒与应力张量对称性

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