材料力学基础 — 弹塑性、疲劳、断裂力学与CAE材料模型

1. 应力-应变曲线解读

1.1 工程应力-应变 vs 真实应力-应变

工程（名义）应力-应变：

真实（对数）应力-应变（考虑颈缩后截面积减小）：

在均匀应变范围内（颈缩前）两者可以互换。FEM里输入的塑性数据应该是真实应力和真实塑性应变。

1.2 应力-应变曲线的关键特征点

• 比例极限 $\sigma_p$：应力应变满足线性关系的最高应力（胡克定律成立的上限）
• 弹性极限 $\sigma_e$：卸载后无残余变形的最高应力
• 屈服强度 $\sigma_y$（0.2% proof stress）：产生0.2%塑性应变所对应的应力，实用中最重要的强度指标
• 极限抗拉强度 $\sigma_{UTS}$：工程应力-应变曲线的最高点（颈缩开始点）
• 断裂应变 $\varepsilon_f$：材料断裂时的真实应变（韧性的度量）

2. 弹塑性材料模型

2.1 弹塑性分解

总应变分解为弹性应变和塑性应变：

弹性应变产生应力（胡克定律），塑性应变不可恢复，是内部状态变量。

2.2 屈服准则（冯米塞斯）

$\kappa$ 是累积塑性应变（硬化参数），$\sigma_y(\kappa)$ 是当前屈服应力（随变形增加）。

2.3 各向同性强化（Isotropic Hardening）

屈服面在应力空间中均匀扩大：

$\sigma_{y0}$ 是初始屈服应力，$Q_{\infty}$ 是最大增量，$b$ 是饱和速率。

2.4 随动强化（Kinematic Hardening）

屈服面整体平移（中心 $\boldsymbol{\alpha}$ 移动），包辛格效应的体现：

背应力 $\boldsymbol{\alpha}$ 的演化（Armstrong-Frederick非线性随动强化）：

2.5 应力返回映射算法（Return Mapping）

FEM中塑性应变的数值积分用"返回映射"算法（径向返回法）：

1. 弹性试探步：$\boldsymbol{\sigma}^{trial} = \mathbf{D}(\boldsymbol{\varepsilon}_n + \Delta\boldsymbol{\varepsilon})$（假设全为弹性应变）
2. 检查是否在屈服面内：若 $f(\boldsymbol{\sigma}^{trial}) \leq 0$，弹性，接受试探应力
3. 若 $f > 0$（超出屈服面），用Newton迭代将应力沿法向"返回"到当前屈服面上
4. 更新塑性应变、累积塑性应变和内变量

3. 蠕变与粘弹性

3.1 Norton蠕变定律（稳态蠕变）

稳态蠕变率（第二阶段蠕变）与应力的幂次方关系：

$A$ 和 $n$ 是材料常数（$n$ 通常3～8），$Q$ 是蠕变激活能，$R$ 是气体常数，$T$ 是绝对温度。温度对蠕变率的影响是指数级的，温度升高50°C可以使蠕变率增加一个数量级。

3.2 蠕变三阶段

• 第一阶段（初始蠕变）：变形率逐渐降低（加工硬化占主导）
• 第二阶段（稳态蠕变）：变形率恒定（硬化与回复平衡），Norton定律描述这个阶段
• 第三阶段（加速蠕变）：变形率急速增大直至断裂（微孔洞扩展，颈缩）

3.3 粘弹性模型

聚合物、沥青、生物软组织具有粘弹性——响应同时有弹性（储能）和粘性（耗能）分量。

Maxwell模型（弹簧+粘壶串联）：

Kelvin-Voigt模型（弹簧+粘壶并联）：

广义Maxwell模型（Prony级数）是商业FEM软件（Abaqus、ANSYS）中最常用的粘弹性表达形式，可以精确拟合宽频率范围内的松弛模量数据。

4. 疲劳破坏基础

4.1 S-N曲线（Wöhler曲线）——高周疲劳

描述应力幅 $S$（或 $\sigma_a$）与疲劳寿命 $N$（破坏循环次数）的关系：

在双对数坐标上是一条直线。钢的疲劳极限（$10^7$ 循环以后不再下降的应力幅）约为 $\sigma_e \approx 0.4\sigma_{UTS}$～$0.5\sigma_{UTS}$。铝合金没有真正的疲劳极限，S-N曲线一直下降。

4.2 ε-N曲线（Coffin-Manson定律）——低周疲劳

应力超过屈服强度的循环载荷（每次循环有宏观塑性应变），用应变幅 $\varepsilon_a$ 表征：

弹性分量（第一项，Basquin）+ 塑性分量（第二项，Coffin-Manson）：

• $\sigma_f'$：疲劳强度系数（约等于真实断裂强度）
• $b$：疲劳强度指数（通常 $-0.12 \sim -0.05$）
• $\varepsilon_f'$：疲劳延性系数（约等于真实断裂应变）
• $c$：疲劳延性指数（通常 $-0.7 \sim -0.5$）

4.3 平均应力修正——Goodman图

平均应力 $\sigma_m$ 对疲劳寿命有影响（拉伸平均应力有害，压缩有益）。修正后的Goodman准则：

Gerber抛物线（更精确，但偏保守性弱）：$\frac{\sigma_a}{\sigma_e} + \left(\frac{\sigma_m}{\sigma_{UTS}}\right)^2 = 1$

安全系数 $SF = 1 / (\sigma_a/\sigma_e + \sigma_m/\sigma_{UTS})$。设计目标通常 $SF \geq 2$。

4.4 累积损伤——Miner法则

多级应力幅下的疲劳损伤累积（线性累积假设）：

$n_i$ 是第 $i$ 级应力幅的实际循环次数，$N_i$ 是该应力幅下的疲劳寿命。工程实践中取 $D = 0.5$～$0.7$ 作为保守失效准则（因为Miner法则在加载顺序上有误差）。

4.5 疲劳应力集中系数 Kf

理论应力集中系数 $K_t$（几何），实际疲劳应力集中系数 $K_f$：

$q$ 是缺口敏感性（0到1之间），与材料强度和缺口半径有关。小半径缺口的 $q$ 较小（缺口周围应力梯度太大，材料来不及"感受"到峰值应力）；高强钢的 $q$ 接近1（对缺口非常敏感）。

5. 断裂力学基础

5.1 应力强度因子 KI

I型（张开型）裂纹尖端附近的应力场（极坐标，裂纹尖端为原点）：

应力强度因子 $K_I$（单位：MPa·√m）描述了应力奇异性的强度，取决于远场载荷和裂纹几何：

$a$ 是裂纹半长，$\sigma$ 是远场应力，$Y$ 是几何修正系数（查手册或FEM计算）。

5.2 断裂韧性 KIC 与临界裂纹尺寸

材料的平面应变断裂韧性 $K_{IC}$（材料常数，通过标准试验测定）：

临界裂纹尺寸 $a_c$：当裂纹尺寸超过 $a_c$，结构在该载荷下会瞬间脆断。这是损伤容限设计的核心——通过无损检测确保裂纹尺寸小于 $a_c/SF$。

5.3 J积分

对于弹塑性材料（裂纹尖端有塑性区），用线弹性断裂力学低估了应力强度。Rice（1968）提出的J积分是与路径无关的积分，可以描述弹塑性断裂：

$W$ 是应变能密度，$T_i$ 是表面牵引力。线弹性情况下 $J = K_I^2/E'$（$E' = E$ 平面应力，$E' = E/(1-\nu^2)$ 平面应变）。FEM中通过围绕裂纹尖端的多个积分路径计算J积分，取路径无关性作为精度的验证。

5.4 疲劳裂纹扩展——Paris定律

循环载荷下裂纹稳定扩展阶段（Paris区）：

$\Delta K = K_{max} - K_{min}$ 是应力强度因子范围，$C$ 和 $m$ 是材料参数（双对数坐标上是直线的斜率和截距）。积分可得疲劳寿命（从初始裂纹 $a_0$ 扩展到临界尺寸 $a_c$）：

6. 复合材料力学

6.1 复合材料单层板弹性常数

6.2 古典叠层理论（CLT）

多层铺层（laminate）的宏观力学行为由叠层理论（Classical Lamination Theory）描述，将各层刚度矩阵通过坐标变换叠加：

$\mathbf{N}$ 是面内力，$\mathbf{M}$ 是弯矩，$\mathbf{A}$ 是拉伸刚度矩阵，$\mathbf{D}$ 是弯曲刚度矩阵，$\mathbf{B}$ 是拉弯耦合矩阵（非对称铺层时非零）。

6.3 Tsai-Wu失效准则

各向异性复合材料的最广用失效准则（考虑拉压强度不同）：

其中系数由材料强度（$X_T, X_C, Y_T, Y_C, S$）确定：$F_1 = 1/X_T - 1/X_C$，$F_{11} = 1/(X_T X_C)$，等等。

7. 材料试验与CAE参数标定

7.1 常用材料表征试验