结构力学基础 — 应力·应变·FEM·非线性分析完全解说

应力与应变 — 结构分析的两大主角

结构分析的所有讨论都可以归纳为两点："物体内部传递的力有多大（应力）"和"物体变形的程度有多大（应变）"。不理解这两个概念就操作FEM软件，也无法正确理解输出数据。

1.1 法向应力与剪应力

在物体内部任意截面上，垂直于截面作用的应力称为法向应力（normal stress），平行于截面作用的应力称为剪应力（shear stress）。

三维物体任意点处的应力状态由应力张量（一个$3\times3$对称矩阵）表示：

剪应力存在互等关系（$\tau_{xy} = \tau_{yx}$、$\tau_{yz} = \tau_{zy}$、$\tau_{xz} = \tau_{zx}$），因此独立分量只有6个。

1.2 应变的定义 — 工程应变与真应变

应变是变形量按原长标准化的无量纲量。一维情况下：

但在大变形情况下，"原长"在持续变化，因此需要用瞬间长度$l$进行积分的真应变（对数应变）：

1.3 单位制陷阱

FEM中最常见的初级错误就是单位制不统一。比较两种常用的单位制：

注意：在mm-N-MPa制中若密度单位误用为kg/mm³，固有振动频率会变为1/1000。动态分析中特别需要注意。

虎克定律与弹性常数

2.1 一维虎克定律

$E$为杨氏模量（纵弹性系数），代表材料的"硬度"。

2.2 三维弹性本构关系（广义虎克定律）

对于各向同性弹性体，独立的弹性常数只有两个：$E$（杨氏模量）和$\nu$（泊松比）。剪切弹性模量$G$为：

体积弹性模量$K$为：

三维应力-应变关系（D矩阵形式）为：

这个$6\times6$矩阵就是弹性矩阵（D矩阵），是FEM刚度矩阵计算的核心。

2.3 主要材料的弹性常数

多轴应力状态与屈服条件

实际零件承受来自多个方向的应力。为了判断"材料何时屈服"，需要屈服条件（yield criterion）将6分量应力合并评估。

3.1 主应力的导出

解应力张量的特征值问题，得到主应力$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$（剪应力为零的特殊方向上的法向应力）：

展开后得到特征方程（三次方程），其三个实根就是主应力。

3.2 von Mises屈服条件

金属延性材料广泛使用的屈服条件。物理意义为"当剪切变形能达到临界值时屈服"：

用张量分量表示为：

3.3 Tresca屈服条件

"当最大剪应力超过材料的某个固有值时屈服"的简单条件：

3.4 莫尔应力圆

在平面应力状态（$\sigma_{zz}=\tau_{yz}=\tau_{zx}=0$）下，将截面旋转角度$\theta$时的法向应力和剪应力可用几何方法表示，这就是莫尔应力圆：

圆心$C = \left(\frac{\sigma_{xx}+\sigma_{yy}}{2}, 0\right)$，半径$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_{xx}-\sigma_{yy}}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$。

交互式的莫尔应力圆可在莫尔应力圆工具中体验。

梁理论深入

4.1 欧拉-伯努利梁

曲率与弯矩的关系：

荷载与分布外力的关系：

典型挠度公式：

4.2 铁莫申科梁

考虑剪切变形的高精度梁理论。设截面法线旋转角$\psi$与截面倾斜角$dw/dx$不一致：

$\kappa$为剪切修正系数（矩形截面：$\kappa = 5/6$），$Q$为剪力。悬臂梁端点挠度增加了剪切变形项：

用细长比$L/h$（梁长度/截面高度）来评估剪切变形的影响程度：

有限元法（FEM）的数学基础

FEM是"将具有复杂边界形状的偏微分方程数值求解"的通用框架。现在仔细追踪其数学基础。

5.1 虚功原理与弱形式

支配方程（强形式）：

虚功原理：对任意虚位移$\delta\mathbf{u}$：

5.2 形状函数与等参变换

用节点位移$\mathbf{d}$和形状函数$\mathbf{N}$近似单元内位移场：

线性四面体单元（4节点）的形状函数（体积坐标）：

四边形单元（等参单元，参考坐标$\xi, \eta \in [-1,1]$）：

物理坐标与参考坐标的变换（雅可比矩阵）：

5.3 单元刚度矩阵的组装

应变-位移矩阵$\mathbf{B} = \mathbf{L} \mathbf{N}$（$\mathbf{L}$为微分算子）为基础，单元刚度矩阵为：

用高斯积分进行数值评估（$n_g$个积分点）：

5.4 全局刚度矩阵与边界条件

将所有单元刚度矩阵装配形成全局方程：

第一类边界条件（迪利克雷边界条件，规定位移）的处理方式：

• 消除法（直接代入法）：消去规定位移的自由度以降低方程维度。精度高但实现复杂。
• 惩罚法：在刚度矩阵的对角线加上大数值$\alpha \gg K$。实现简单但需要调整$\alpha$。
• 拉格朗日乘数法：严格满足约束条件。求解扩大方程组。

非线性分析概述

实际问题中的大多数都含有非线性。CAE中出现3类非线性：

6.1 几何非线性（大变形·大旋转）

小变形假设失效时，应变-位移关系变为非线性。格林-拉格朗日应变张量：

第2、3项是非线性项。大变形问题中，参考配置（拉格朗日描述）和现配置（欧拉描述）的区分至关重要。

6.2 材料非线性（弹塑性）

屈服后的材料行为：

$\mathbf{D}^\text{ep}$为弹塑性切线刚度张量，两种主要硬化规则：

• 各向同性硬化（isotropic hardening）：屈服面均匀扩大。适用于单调加载。
• 运动硬化（kinematic hardening）：屈服面沿背应力$\boldsymbol{\alpha}$方向平移。适用于往复加载·鲍迪歇效应。

6.3 接触非线性

接触问题中"是否接触"本身随位移而变化的非线性。用惩罚法时，接触压力为：

6.4 牛顿-拉夫森法

非线性方程$\mathbf{r}(\mathbf{u}) = \mathbf{f} - \mathbf{K}(\mathbf{u})\mathbf{u} = \mathbf{0}$的迭代求解法：

$\mathbf{K}_T$为切线刚度矩阵。收敛判据（常见标准）：

动态分析基础

7.1 运动方程

FEM离散化后的动态分析基本方程：

$\mathbf{M}$：质量矩阵（一致或集中），$\mathbf{C}$：阻尼矩阵，$\mathbf{K}$：刚度矩阵。

7.2 特征值问题

自由振动（$\mathbf{C}=0$、$\mathbf{f}=0$）设$\mathbf{u} = \boldsymbol{\phi} e^{i\omega t}$得：

特征值$\omega_i^2$对应固有圆频率，由此得固有频率$f_i = \omega_i / (2\pi)$ [Hz]，特征向量$\boldsymbol{\phi}_i$为振型（固有模式）。

模式的正交性（质量标准化）：

7.3 瑞利阻尼

实务中常用的比例阻尼模型：

各模式的阻尼比：

指定两个频率$\omega_1、\omega_2$处的阻尼比$\zeta_1、\zeta_2$，可求出$\alpha、\beta$：

7.4 Newmark-β直接积分法

用时间步$\Delta t$逐步积分时间历程的方法：

实务中的注意事项与常见失误

8.1 网格收敛与误差估算

FEM解通常随网格细化而趋向真解（一般成立）。不确认网格收敛就相信结果是危险的：

1. 粗网格 → 中等 → 细网格进行三步分析
2. 关键物理量（如最大应力）的变化不超过5%即可认为收敛
3. 用理查德森外推法估算更精确的值：

$r$为网格细化比，$p$为精度阶（一次单元$p=2$）。

8.2 应力奇点（重入角）

在重入角（内角≧90°）的边角处，弹性解理论上应力发散。网格越细应力越高，永不收敛。

对策：

• 加倒圆角消除奇点
• 角部应力用结构平均应力评估，峰值只作参考
• 作为断裂力学问题处理

8.3 常见失误检查表

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