电磁学的基础 — 从麦克斯韦方程到CAE电磁解析完全讲解

分类：基础理论 / 电磁学 | 2026-03-25 | 阅读时间：约35分钟

电磁学是描述电和磁相互作用的物理学体系。在现代电气设备、电子设备、电动机、变压器、天线的所有设计中，电磁解析都是不可欠缺的。本文从麦克斯韦方程的物理意义、用CAE求解所需的公式设定，到实务中的建模注意事项，进行系统讲解。

CAE visualization for electromagnetics - technical simulation diagram
Electromagnetics

1. 电磁学的基本量和物质常数

主要电磁学量的定义

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老师，电磁学的式子里出现 $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{D}$ 这4个矢量，我很困惑，这些都是必要的吗？

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4个都需要是因为要分离表达物质对电磁场的响应效果。简单来说：

  • $\mathbf{E}$（电场）：对电荷施加力的场。单位 V/m
  • $\mathbf{D}$（电感应强度）：加入介电体响应的 $\mathbf{E}$。 $\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$
  • $\mathbf{B}$（磁感应强度）：磁气力的根本。单位 T（特斯拉）。对导线施加力
  • $\mathbf{H}$（磁场）：从 $\mathbf{B}$ 中除去磁性体响应的量。 $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$

在真空中，$\varepsilon = \varepsilon_0$、$\mu = \mu_0$，所以这4个的区别意义不大。但是像变压器铁芯这样的非线性磁性体，$\mathbf{B}$-$\mathbf{H}$ 曲线起着本质作用，区别就变得重要了。

符号名称单位关系式（等向性线性物质）物理意义
$\mathbf{E}$电场V/m—单位正电荷受到的力的方向和大小
$\mathbf{D}$电感应强度C/m²$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} = \varepsilon_r\varepsilon_0\mathbf{E}$自由电荷产生的通量
$\mathbf{B}$磁感应强度T（= Wb/m²）$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H} = \mu_r\mu_0\mathbf{H}$荷电粒子受到的洛伦兹力源
$\mathbf{H}$磁场A/m—自由电流产生的磁场
$\mathbf{J}$电流密度A/m²$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}$（欧姆定律微分形式）单位面积流过的电流
$\rho_e$自由电荷密度C/m³—体积内的自由电荷量

物质常数和材料分类

物质常数符号真空值材料例（代表值）
介电常数$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m相对介电常数 $\varepsilon_r = 1$空气≈1, 玻璃≈5～10, 硅≈11.7, BaTiO₃≈1200
磁导率$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m相对透磁率 $\mu_r = 1$空气≈1, 硅钢片 $\mu_r \approx 1000\sim10000$, 铁氧体≈100～5000
电导率$\sigma$$\sigma = 0$铜：$5.8 \times 10^7$ S/m, 铝：$3.5 \times 10^7$ S/m, 硅钢片：$\sim2\times10^6$ S/m, 硅（半导体）：$\sim10^{-3}\sim10^3$ S/m
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硅钢片的相对透磁率是「1000～10000」，这个「相对透磁率」大有什么好处呢？

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相对透磁率 $\mu_r$ 越大，「用相同电流能产生更强的磁通」。变压器和电动机的铁芯使用硅钢片，是为了高效地汇聚和封闭磁通。与空气（$\mu_r = 1$）相比，硅钢片可以容纳超过1万倍的磁通。反过来说，如果存在空气隙（空气层），磁气回路的「阻抗」就会急剧增加，效率下降。因此，缩小电动机的空气隙是设计的关键。但是，当磁感应强度 $B$ 升高时，$\mu_r$ 会饱和并急剧下降（磁饱和），这是非线性CAE中令人头痛的问题。

2. 麦克斯韦方程

4个方程的全体图景

电磁学的全部由4个麦克斯韦方程描述。以下展示积分形式和微分形式两者。

名称积分形式微分形式物理意义
高斯定律（电场）$\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \int_V \rho_e \, dV$$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_e$电荷是电场的「源头」
高斯定律（磁场）$\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0$$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$不存在磁单极子
法拉第定律$\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$磁通变化产生起电力（电磁感应）
安培-麦克斯韦定律$\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_S \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right)\cdot d\mathbf{S}$$\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$电流和电场变化产生磁场
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安培定律中有 $\partial\mathbf{D}/\partial t$ 这一项，这是什么？麦克斯韦加上去的吧？

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是的，这就是所谓的位移电流，是麦克斯韦最伟大的贡献。给电容器充电时，虽然极板间没有实际电流流动，但「就像有电流流动一样」会产生磁场。麦克斯韦认为「电场变化率具有与电流相同的效果」，于是将其加入了方程式。

没有这个位移电流项，电磁波就无法存在。电场的变化产生磁场（位移电流），那个磁场的变化又产生电场（法拉第定律），就这样在空间中传播——这就是电磁波。光和无线电都遵循这个原理。在低频的静电、静磁解析中可以令 $\partial\mathbf{D}/\partial t \approx 0$，但在高频（GHz频段等）中绝对不能忽略。

从麦克斯韦方程导出的波动方程

在真空中（$\rho_e = 0$, $\mathbf{J} = 0$）从麦克斯韦方程消去 $\mathbf{B}$，可得电场的波动方程：

$$\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

这是一个波速为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 的波动方程。代入数值：

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{4\pi\times10^{-7} \times 8.854\times10^{-12}}} \approx 3\times10^8 \text{ m/s}$$

这等于光速。麦克斯韦在理论上证明了「光是电磁波」。

3. 静电场解析

泊松方程和拉普拉斯方程

在静电场（$\partial/\partial t = 0$）中，由 $\nabla\times\mathbf{E} = 0$ 可知，电场可用标量势 $\varphi$ 表示：

$$\mathbf{E} = -\nabla\varphi$$

将其代入高斯定律 $\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\varphi) = -\rho_e$，得到泊松方程：

$$\nabla\cdot(\varepsilon\nabla\varphi) = -\rho_e \qquad \left(\text{均质介电体: } \varepsilon\nabla^2\varphi = -\rho_e\right)$$

在没有自由电荷的区域（$\rho_e = 0$）中，得到拉普拉斯方程：

$$\nabla^2\varphi = \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} = 0$$
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静电场解析具体是在解什么问题呢？除了「电容器的设计」，我想不出其他的。

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实际工作中经常出现的有：

  • 高压电气设备的绝缘设计：变电站的绝缘子、高压电缆的接头、变压器内部，电场集中会导致绝缘击穿。计算电场在哪里会变强
  • 静电防护：半导体工厂的洁净室和炸药制造现场，为了防止静电放电（ESD），要分析带电量和电位分布
  • MEMS和传感器设计：静电容量型压力传感器和加速度传感器的灵敏度计算
  • 驻极体膜（静电体）：麦克风和空气过滤器的带电状态优化

高压电气设备的电场集中在拐角和尖端处会以 $E \propto 1/r$ 的速度急剧增加，所以用CAE进行形状优化来均匀化电场是重要的设计任务。

边界条件的设定

边界条件数学式物理意义例
狄利克雷条件$\varphi = \varphi_0$ （已知电位）电位固定电极面施加已知电压
诺依曼条件$\partial\varphi/\partial n = 0$（自然边界条件）法线方向电场为零（对称面）模型的对称面
界面条件（2种媒质边界）$D_{1n} = D_{2n}$, $E_{1t} = E_{2t}$法线电感应强度、切向电场连续介电体边界面
导体表面$\mathbf{E}_t = 0$（内部为零）导体是等电位面金属电极

静电容量的计算

两个导体间的静电容量 $C$ 可从势解析求得的电场能量计算：

$$C = \frac{Q}{V}, \quad W_e = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\int_V \mathbf{D}\cdot\mathbf{E} \, dV = \frac{1}{2}\int_V \varepsilon|\nabla\varphi|^2 \, dV$$

与平行板电容器理论值的比较可验证有限元法的计算精度：$C = \varepsilon A/d$（$A$：面积, $d$：间距）。存在边缘效应时，有限元结果会大于理论值。

4. 静磁场解析

矢量势和磁感应强度

在静磁场（$\partial/\partial t = 0$）中，由 $\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$ 可知，磁感应强度可用矢量势 $\mathbf{A}$ 表示：

$$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$$

将其代入安培定律 $\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{J}$、利用 $\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$ 和库仑规范 $\nabla\cdot\mathbf{A} = 0$，得：

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\mathbf{A}\right) = \mathbf{J}$$

对于均质、等向性的线性磁性体：

$$\frac{1}{\mu}\nabla^2\mathbf{A} = -\mathbf{J} \quad \Leftrightarrow \quad \nabla^2\mathbf{A} = -\mu\mathbf{J}$$

这是泊松方程（对应于电场的 $\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon$）。在2D轴对称问题中，$\mathbf{A} = A_z\hat{z}$ 可标量化，大幅简化计算（线圈、电动机、变压器的2D模型常用）。

磁气回路和磁阻

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「磁气回路」是电气回路的类比吧。具体怎么用呢？

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电气回路的欧姆定律 $V = IR$ 对应于磁气回路的「磁气欧姆定律」：

  • 磁动势 $\mathcal{F} = NI$ [A]（对应电压）← 线圈匝数×电流
  • 磁通 $\Phi = \int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$ [Wb]（对应电流）
  • 磁阻 $\mathcal{R} = l/(\mu A)$ [A/Wb]（对应电阻）

满足关系式 $\mathcal{F} = \mathcal{R}\Phi$。空气隙的磁阻是铁芯的数百倍，所以「尽量用铁来闭合磁通」是铁芯设计的基础。变压器、电感、电动机的初期设计中经常用这个。但是存在非线性（磁饱和）或磁通泄漏的情况下，还是需要有限元解析。

电感的计算

线圈的电感 $L$ 从磁场能量 $W_m$ 或磁链 $\Lambda = N\Phi$ 求得：

$$L = \frac{N\Phi}{I} = \frac{\Lambda}{I}, \qquad W_m = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2}\int_V \mathbf{B}\cdot\mathbf{H} \, dV = \frac{1}{2\mu}\int_V |\nabla\times\mathbf{A}|^2 \, dV$$

5. 涡电流解析（时变磁场）

感应起电力和涡电流的产生机制

在时变磁场中，法拉第定律导致导电材料内出现感应电场，产生涡电流（涡流）：

$$\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{J}_{涡} = \sigma\mathbf{E} = -\sigma\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$$

对于正弦波励磁（角频率 $\omega$），矢量势的控制方程为：

$$\nabla\times\left(\frac{1}{\mu}\nabla\times\mathbf{A}\right) + j\omega\sigma\mathbf{A} = \mathbf{J}_{外部}$$

其中 $j = \sqrt{-1}$ 是虚数单位（复势法）。这个方程是扩散方程型，具有时间常数 $\tau = \mu\sigma L^2$ （$L$：特征长度）。

表皮效应和表皮深度

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「表皮效应」是交流电流只流向导体表面的现象，对吧？为什么只流向表面呢？

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是的。电流流动时产生磁场（安培定律），磁场变化时产生感应电场（法拉第定律）。这个感应电场以「抵消原电流」的方向作用。这个抵消效果在导体内部层层叠加，高频时导体中心的电流被抑制，集中于表面——这是自洽的过程。

频率越高，表皮越薄。表皮深度 $\delta$ 为：$\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$（频率变4倍时，$\delta$ 变为1/2）。50 Hz商用电源时铜的表皮深度约9 mm，10 MHz时只有约21 μm。高频线圈设计时会用细的绞线（利兹线）来减少表皮效应造成的损失。

$$\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} = \sqrt{\frac{1}{\pi f \mu\sigma}}$$

电流密度在表面下深度 $y$ 处以指数衰减：

$$J(y) = J_0 \, e^{-y/\delta} \, e^{-jy/\delta}$$

振幅为 $|J(y)| = J_0 e^{-y/\delta}$，深度 $\delta$ 处衰减到约1/e（约37%）。

材料电导率 σ [S/m]相对透磁率 μ_r表皮深度 δ（50 Hz）表皮深度 δ（1 MHz）
铜5.8×10⁷19.3 mm65.7 μm
铝3.5×10⁷112.0 mm84.7 μm
铁（纯铁）1.0×10⁷10000.71 mm5.0 μm
硅钢片（3%Si）2.0×10⁶50000.45 mm3.2 μm
不锈钢（SUS304）1.4×10⁶160 mm424 μm

涡电流损失的计算和实务例

涡电流损失（焦耳热）的体积密度为：

$$P_{eddy} = \frac{1}{2}\sigma|\mathbf{E}|^2 = \frac{J_0^2}{2\sigma} \cdot \text{（积分）}$$

变压器铁芯涡电流损失的近似式（Steinmetz）：

$$P_{eddy} = k_e \cdot f^2 \cdot B_m^2 \cdot d^2$$

其中 $k_e$ 是材料常数，$f$ 是频率，$B_m$ 是最大磁感应强度，$d$ 是积层板厚度。将铁芯分层为薄板（0.1～0.5 mm）（积层钢板）就是利用 $d^2$ 的依赖性来降低损失。

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感应加热（IH电磁炉）也是涡电流的原理吧？为什么非磁性的锅不能用呢？

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IH通过在锅底作用20～100 kHz的交变磁场，诱导涡电流，使锅自身进行焦耳加热。非磁性的铝或铜锅也会产生涡电流，但因电阻很低，即使大电流流动也不会产生很多热。相反，磁性锅（铁、不锈钢SUS430）的相对透磁率高，表皮深度小，电流集中于表面，发热效率高。

CAE中的感应加热解析是「电磁场与热的耦合问题」，先从电磁解析求出焦耳发热分布，然后作为热解析的热源项计算温度分布。Ansys Maxwell + Fluent联合解析或JMAG这样的专用求解器经常被使用。

6. 电磁波和高频解析

电磁波的基本特性

介电体中电磁波的波数矢量 $\mathbf{k}$ 和波长 $\lambda$：

$$k = \omega\sqrt{\mu\varepsilon} = \frac{2\pi}{\lambda}, \qquad c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}, \qquad v = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{c}{n}$$

其中 $n = \sqrt{\mu_r\varepsilon_r}$ 是折射率。在导电媒质中，波数变为复数，电磁波衰减传播（与表皮效应为同一现象）。

平面波阻抗和反射

媒质的波动阻抗：

$$\eta = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}, \qquad \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 377 \text{ Ω（真空的阻抗）}$$

界面的反射系数（法向入射）：

$$\Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1}, \qquad T = 1 + \Gamma$$

EMC/EMI解析的要点

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EMC是「电磁兼容性」对吧。CAE中进行什么样的解析呢？

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EMC解析的主要目标有两点：①降低自身产生的噪声（EMI：电磁干扰）到规定值以下，②对外来噪声具有抗扰性（EMS：电磁敏感性）。电动汽车在高压功率模块开关产生强烈EMI，所以屏蔽和机箱设计至关重要。

CAE解析时：波长与基板、电缆等结构尺寸相比较长的「拟静态电磁场区」（～数MHz）用FEM/BEM，波长与结构尺寸相当的「共振区」（数MHz～数GHz）用FEM或FDTD（时域差分），波长较短的高频（GHz以上）用SBR（射线追踪）等，根据情况选择。

天线解析的基础

偶极天线的辐射功率密度（坡印廷矢量 $\mathbf{S} = \mathbf{E}\times\mathbf{H}$）和方向性 $D$：

$$\mathbf{S} = \frac{1}{2}\text{Re}(\mathbf{E}\times\mathbf{H}^*) \, [\text{W/m}^2], \qquad D = \frac{4\pi r^2 S_{\max}}{P_{rad}}$$

半波长偶极天线的理论方向性 $D = 1.64$（2.15 dBi）。CAE中计算近场电磁场，通过远场变换（NF-FF变换）求出辐射图样。

7. 有限元法在电磁解析中的实现

标量势法 vs 矢量势法

手法未知变量控制方程适用场景注意事项
标量势法$\varphi$（标量）$\nabla^2\varphi = -\rho/\varepsilon$静电场（无电流）在电流区域（$\mathbf{J}\neq 0$）不适用
矢量势法$\mathbf{A}$（矢量, 3分量）$\nabla\times(\frac{1}{\mu}\nabla\times\mathbf{A}) = \mathbf{J}$静磁场、涡电流需要规范条件（库仑规范等）
$T$-$\Omega$ 法电流势 $T$ + 磁标势 $\Omega$—涡电流（低成本）仅当导体单连通时可用
$A$-$V$ 法$\mathbf{A}$（磁）+ $V$（电位）涡电流的完全耦合涡电流（通用）自由度较大

边缘单元（内德莱克单元）的必要性

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结构解析的有限元法通常用普通节点单元。电磁解析用「边缘单元」这种特殊单元，为什么普通单元不行呢？

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用节点单元离散矢量势 $\mathbf{A}$ 会产生两个问题：①出现「虚假解（伪模态）」——在电磁上没有意义的数值振动。②在导体和绝缘体边界处，$\mathbf{B}$ 的法向分量连续条件不能自动满足。

边缘单元（内德莱克单元）是在「棱边」而非节点上设定自由度。这样 $\nabla\times\mathbf{A}$ 的切向分量连续性自动满足，消除伪模态。Ansys Maxwell、JMAG、GetDP（开源）这类电磁解析求解器标准配备边缘单元。

规范条件和解的唯一性确保

$\mathbf{A}$ 的定义具有任意性（规范自由度），需要规范条件来唯一确定解：

规范条件式子适用场景
库仑规范$\nabla\cdot\mathbf{A} = 0$静磁场、低频涡电流
洛伦兹规范$\nabla\cdot\mathbf{A} + \mu\varepsilon\partial\varphi/\partial t = 0$波动方程（电磁波解析）
树-余树规范有限元图论的手法边缘单元的数值实现

8. 电动机和执行器的CAE

麦克斯韦应力张量的力矩计算

电磁气力可用麦克斯韦应力张量的面积分表示：

$$T_{ij} = \mu_0\left(H_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}H^2\right) + \varepsilon_0\left(E_i E_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}E^2\right)$$

转子受到的力矩 $M$ 是围绕空气隙的闭合曲面 $S$ 上应力张量的积分：

$$M = \oint_S T_{ij} n_j r_i \, dS$$

实务中的电动机CAE通常在空气隙内的「虚拟闭合曲面」上进行这个积分。改变积分曲面位置后结果相同，可用于计算验证。

磁饱和和非线性B-H曲线

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电动机铁芯磁饱和有什么坏处呢？除了效率下降，还有其他问题吗？

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有好几个问题。①力矩的非线性化：输出的力矩偏离设计值。电流加倍时磁感应强度也加倍不了，力矩输出就不对。②铁损大幅增加：高磁感应强度区涡电流损失、磁滞损失急增，机器发热。③齿槽力矩增大：铁芯局部饱和，齿槽力矩变大，导致电动机振动、噪声增加。

CAE中把非线性B-H曲线（磁化曲线）数据作为材料属性输入，用Newton-Raphson法等反复求解非线性方程。B-H曲线从材料厂商的数据表或试验测量获得。初始透磁率、饱和磁感应强度、剩余磁感应强度、矫顽力这4个参数很重要。

齿槽力矩解析和降低技术

齿槽力矩（无励磁状态下的力矩波纹）用有限元法通过以下方法分析：

齿槽力矩系数的估算式：

$$T_{cog} = -\frac{1}{2}\Phi^2 \frac{d\mathcal{R}}{d\theta}$$

其中 $\Phi$ 是磁通，$\mathcal{R}$ 是磁阻，$\theta$ 是旋转角。降低齿槽力矩的实质是减小空气隙磁阻的变化。

9. 实务中常见的失败

边界条件设定错误（无穷远的处理）

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静磁场解析建模时，「分析区外是空气」，但必须在某处切断。这个「切法」错了会影响结果吗？

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很大程度上会影响。电磁场理论上延伸到无穷远，用有限网格区域切断会产生边界「反射」。对策有3种：

  1. 分析区域足够大：从线圈直径的5～10倍的空气区确保。最简单，但计算成本大
  2. 无穷元素（Infinite Element）：外层单元通过坐标变换表示无穷远。Ansys Maxwell等支持
  3. 完全匹配层（PML：Perfectly Matched Layer）：电磁波解析的完全吸收边界。高频解析的标准做法

外部线圈、天线解析时特别重要。内部磁场解析（变压器、电动机的铁芯内）因为磁通闭合，外部条件影响较小。

网格密度的设计注意事项

位置原因推荐网格大小
空气隙（电动机、变压器）占大部分磁阻。精度影响整体沿空气隙厚度方向至少6～10层