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金融数学

复利增长模拟器

调节本金、年利率、定期追加投资和通货膨胀率，实时可视化财富增长过程。比较单利、应用 72 法则并追踪实际购买力。

参数设置

72的定律： 資産2倍到約 — 年
（正確値: — 年）

预设方案

计算结果
最終資産額 [万円]
—
実質購買力 [万円]
—
元本総投入額 [万円]
—
利子/増益分 [万円]
—
Growth

蓝色：名义资产额；绿色：实际购买力（通胀调整后）

Compare

蓝色：复利；橙色：单利。时间越长，差异越接近指数式扩大。

Breakdown

蓝色：本金（投入额）；绿色：复利带来的增益。越到后期，增益占比越大。

理论与主要公式

元本的：$A = P\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn}$

積立込：$A = P\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn} + C\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn}-1}{\dfrac{r}{m}}$

連続复利：$A = Pe^{rn}$

实际收益：$(1+r_{real}) = \dfrac{1+r}{1+i}$

🙋 「利息生利息」到底有多厉害？

🙋
「复利是世界第八大奇迹」——听说爱因斯坦说过这话，但实际到底有多厉害？和单利比能差多少？
🎓
我们用数字来看看。100万日元按年利5%投资30年，单利的话是 100 + 100×0.05×30 = 250万日元。但复利的话是 100×1.05^30 ≈ 432万日元。相差182万日元。看「单利 vs 复利」标签页的图表，一开始差距很小，但随时间推移呈指数级扩大，一目了然。
🙋
「72法则」是什么？感觉考试里也会出现。
🎓
「资产翻倍的年数 ≈ 72 ÷ 年利率(%)」——一个心算规则。年利6%的话72÷6=12年翻倍，年利4%的话18年翻倍。精确公式是 ln(2)/ln(1+r)，但心算的话72特别好用。工具里的「72法则」栏会同时显示近似值和精确值，可以对比看看。金融面试中也是高频知识点哦。
🙋
如果通胀率是2%，就算资产在增长，实际上是不是在缩水？看「通胀侵蚀预设」，确实绿色（实际）部分根本没怎么增长啊……
🎓
没错，这就是「通胀风险」。年利1%而通胀3%的话，实际回报率用费雪方程计算 (1+0.01)/(1+0.03) - 1 ≈ -1.94%——资产实际上在缩水。所以「把钱单纯存银行活期（年利约0.02%）」可能会跑输通胀，造成实际损失。能否让年利率高于通胀率，是资产积累的关键。
🙋
试了iDeCo的预设，30年后金额惊人，这是每月定投1.5万日元、年利5%的计算吗？
🎓
是的。每月1.5万日元（每年18万日元）按年利5%定投30年，本金投入540万日元，但最终资产超过1200万日元。这就是「定投+复利」组合的威力，属于年金的未来价值（FV of annuity）计算。越早开始越有利，因为时间越长复利效应越强——这就是「时间是最宝贵的资产」说法的由来。

常见问题

单利每期只对本金计息（A = P(1 + rn)）。复利则将前期的利息也计入下一期的本金，利息产生利息（A = P(1+r)^n）。相同利率和期限下，n越大，复利的最终资产越显著超过单利。
精确的资产翻倍年数 = ln(2) / ln(1+r) ≈ 0.693/r（r较小），但在实用利率范围（r=3~15%）内，将0.693稍作修正为0.72（即72/100）可使误差更小。此外，72能被2、3、4、6、8、9、12整除，便于心算。
相同名义年利率r下，复利频率m越高，有效年利率（EAR）越高。有效年利率 = (1+r/m)^m - 1。例如名义年利6%时，年复利EAR=6.000%，月复利EAR=6.168%，日复利EAR=6.183%，连续复利EAR = e^0.06 - 1 = 6.184%。差异虽小，但长期会累积。
使用费雪方程 (1 + r_real) = (1 + r_nominal) / (1 + i)。例如名义利率5%、通胀3%时，r_real = (1.05/1.03) - 1 ≈ 1.94%。常用近似 r_real ≈ r - i = 2% 的误差很小。要查看实际资产价值，可将最终资产额除以 (1+i)^n 换算为当前购买力。
每年末追加定投C时，n年后的总资产为 A = P(1+r)^n + C × [(1+r)^n - 1] / r。后半部分为「年金的未来价值」（Future Value of Annuity），体现定投效果。每年初定投时，A = P(1+r)^n + C(1+r) × [(1+r)^n - 1] / r，比后付多 (1+r) 倍。

什么是复利增长模拟器？

复利增长模拟器是CAE和应用物理中的重要基础课题。本交互式模拟器允许您直接调节参数并观察实时结果，从而理解关键规律和变量之间的关系。

通过将数值计算与可视化反馈相结合，本模拟器有效地弥合了抽象理论与物理直觉之间的鸿沟，既是学生的高效学习工具，也是工程师进行快速验算的实用手段。

物理模型与关键公式

本模拟器基于复利增长模拟器的核心控制方程构建。理解这些方程有助于正确解读计算结果，并判断参数变化对系统行为的影响。

方程中的每个参数都对应控制面板中的一个滑块。移动滑块时，方程的解会实时更新，帮助您直观建立数学表达式与物理行为之间的对应关系。

实际应用场景

工程设计：复利增长模拟器相关概念可用于工程初步估算、参数灵敏度分析和教学演示。在开展更完整的CAE分析之前，可借助本工具快速把握主要物理量级与趋势。

教育与科研：在工程教学中，本工具可将理论与数值计算有效结合。在科研阶段，也可作为假设验证的第一步工具使用。

CAE工作流集成：在运行有限元（FEM）或计算流体力学（CFD）仿真之前，工程师通常先用简化模型评估物理量级、识别主导参数，并确定合理的边界条件，本工具正是为此目的而设计。

常见误解与注意事项

模型假设：本模拟器所用数学模型基于线性、均质、各向同性等简化假设。在将计算结果直接用于设计决策之前，务必确认实际系统是否满足这些假设。

单位与量纲：许多计算错误源于单位换算错误或数量级判断失误。请时刻注意各参数输入框旁标注的单位。

结果验证：始终将模拟器输出结果与物理直觉或手算结果进行核对。若结果出乎意料，请检查输入参数或采用独立方法进行验证。

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