参数设置
72法则： 资产翻倍约需 — 年
（精确值: — 年）
预设方案
复利增长动画
本金
利息
复利 合计
单利
连续复利
时间轴向前推进，利息（绿）在本金（蓝）之上加速累积，与单利（橙）的差距随时间扩大。
理论、主要公式
仅本金：$A = P\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn}$
含积立：$A = P\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn} + C\cdot\dfrac{\left(1+\dfrac{r}{m}\right)^{mn}-1}{\dfrac{r}{m}}$
连续复利：$A = Pe^{rn}$
实质回报率：$(1+r_{real}) = \dfrac{1+r}{1+i}$
🙋 "利息生利息"真的有那么厉害吗？
🙋听说"复利是世界第八大奇迹"，好像爱因斯坦说的，到底有多厉害？和单利比差别有多大？
🎓用数字来看。100万元以年利5%运用30年，单利的话是 100 + 100×0.05×30 = 250万元。但复利可以达到 100×1.05^30 ≈ 432万元。差了182万元呢。在"单利vs复利"标签页的图中可以看到，最初差别不大，但时间越长差异以指数方式拉开，这就是复利的威力。
🎓"资产翻倍的年数 ≈ 72 ÷ 年利(%)"是一个快速计算的规则。年利6%的话，72÷6=12年资产就翻倍了，年利4%的话是18年。精确的是 ln(2)/ln(1+r)，但这个规则用来心算特别方便。模拟器的"72法则"栏会显示近似值和精确值，可以对比看。这也是金融面试的常见题。
🙋通胀率有2%的话，资产增长得再多其实也有所贬值？"通胀侵蚀预设"中，绿色（实质）一点都没涨，真的吓人…
🎓完全同意，这就是"通胀风险"。年利1%但通胀3%的话，用费雪方程算实质回报率：(1+0.01)/(1+0.03) - 1 ≈ -1.94%——资产实际上在缩水。所以"把钱放在银行普通存款里（年利0.02%左右）什么都不做"其实是在通胀下损失。保证年利率高于通胀率才是资产形成的关键。
🙋试了个人养老金的预设，30年后金额特别大，这是月积立1.5万、年利5%、30年的计算吧？
🎓没错。月积立1.5万（年积立18万）以年利5%运用30年的话，本金投入总共540万，但最终资产超过1200万。这就是"积立＋复利"组合的威力，叫年金未来价值（FV of annuity）。越早开始越有利，因为时间越长复利效应越强——这就是"时间是最大的资产"的含义。
常见问题
单利每期只在本金上产生利息（A = P(1 + rn)）。复利是前期利息也加入本金，形成新的利息生成基础，所以"利息生利息"（A = P(1+r)^n）。同样的利率和期限，期限越长，复利的最终资产就会远超单利。
精确公式是资产倍增年数 = ln(2) / ln(1+r) ≈ 0.693/r（r 很小时），但在实用利率范围（r=3～15%）内，用 0.72（= 72/100）来替代 0.693 误差最小。而且72这个数字能被2,3,4,6,8,9,12整除，特别容易心算。
同样的名目年利 r，复利频次 m 越多，实际年利率（EAR）越高。实际年利率 = (1+r/m)^m - 1。例如名目年利6%，年复利的EAR=6.000%，月复利EAR=6.168%，日复利EAR=6.183%，连续复利EAR = e^0.06 - 1 = 6.184%。差额不大但长期会累积。
用费雪方程 (1 + r_real) = (1 + r_nominal) / (1 + i)。例如名目利率5%、通胀3%，r_real = (1.05/1.03) - 1 ≈ 1.94%。常用的近似是 r_real ≈ r - i = 2%，误差很小。计算实质资产价值时，要用通胀调整后的"实质购买力"。
每年末积立 C 时，n 年后总资产是 A = P(1+r)^n + C × [(1+r)^n - 1] / r。后面的项叫"年金未来价值"（Future Value of Annuity），表现积立效果。如果是每年初积立，就是 A = P(1+r)^n + C(1+r) × [(1+r)^n - 1] / r，比年末多了 (1+r) 倍。
复利计算模拟器说明
复利计算模拟器的物理模型用离散差分方程描述资产的时间演变。设初始本金 \(P_0\)、年利率 \(r\)（实际年率）、每年积立额 \(D\)，则 \(n\) 年后的资产 \(A_n\) 满足递推关系：
$$
A_{n+1} = A_n (1 + r) + D, \quad A_0 = P_0
$$
求解这个递推关系，利用等比数列求和公式得到闭形式解：
$$
A_n = P_0 (1 + r)^n + D \frac{(1 + r)^n - 1}{r}
$$
考虑通胀率 \(i\) 的实质购买力 \(R_n\) 计为：\(R_n = A_n / (1 + i)^n\)。对比单利模型（\(A_n^{\text{simple}} = P_0 + n(P_0 r + D)\)）可以直观展现复利的加速效果。72法则（资产倍增年数 \(\approx 72 / (100r)\)）是这种指数增长的近似验证工具。
实际应用案例
金融业的实际应用
金融资产管理公司使用本模拟器作为客户建议工具。例如大型证券公司的理财顾问在制定NISA和个人养老金长期规划时，可输入本金500万、年利5%、月积立3万、通胀2%等条件，30年后的实质购买力一目了然。保险公司在浮动保险产品未来价值模拟中引入此工具，能快速向客户展示单利与复利的差异，提升客户理解度。
教育和研究应用
大学经济学部和商学院采用此模拟器进行金融素养教育。例如某大学商学部个人金融课程中，学生将通胀率从0%逐步调到10%，观察资产实质贬值的过程，形成直观认识。利用72法则，学生快速验证"年利6%则12年资产翻倍"的结论，深化对复利效应的理解。
工程决策中的应用
本模拟器在CAE（计算机辅助工程）框架内属于"含时间轴的参数分析"的金融版本。在制造业设备投资决策中，将购置成本（本金）、预期收益率（年利率）、维护费用（积立额）、物价上升（通胀率）综合考量，用复利计算评估投资回收周期。与ANSYS、MATLAB等结构分析软件联动，可一屏展示最坏情景下的实质购买力下降，支持工厂生产线投资的风险评估决策。
常见误解和注意事项
许多人误认为"复利在短期内就能产生显著效果"，但实际上复利的真正价值在长期运用中才能体现。特别是前几年资产增长缓慢，要到20年、30年才开始呈现指数增长，中途放弃的人很多——这点很值得注意。
另一个误解是"即使不考虑通胀，资产的实际价值也不变"。实际上名目金额增加并不代表购买力增加。例如年利3%但通胀2%，实质增长只有约1%，长期来看差异巨大。使用模拟器时务必留意通胀调整后的"实质购买力"。
还有人认为"72法则能精确算出资产倍增时间"，但其实72法则只是近似值，利率特别高或变化剧烈时误差会扩大。精确规划时还是要用模拟器具体计算每年的积立和复利效果。