固定多源配置实验：改变配置，比较粒子轨迹
单一引力源轨道模式通过初始半径和速度研究一个粒子的轨迹与能量。固定多源配置实验允许自由放置引力源，比较多个试验粒子所受的力。两种模式都采用平面内的软化力模型，并非广义相对论或真实太阳系、双星、星系的模拟。
首先尝试的实例
选择“单一固定源的圆轨道”，在中心放置质量为200的固定源，并在半径80、120、160、200和250处放置五个粒子。默认G=1时，其切向速度为 $v_c=\sqrt{200r/(r^2+100)}$。半径200处粒子的初始速度约为0.998752模型速度单位。播放模拟，观察其半径是否基本保持不变。
暂停后改变G，引力源位置和粒子速度保持不变，但引力会发生变化，因此原来的圆轨道条件不再成立。再次选择预设，会按当前G对应的圆轨道速度重建初始配置。不要把改变G前后的能量当作同一系统的守恒量来比较。
在“两个固定引力源”和“两源粒子群”中，只有试验粒子运动。引力源不受粒子的反作用力，彼此也不运动。“两源粒子群”并不是星系碰撞计算。
操作方法与结果解读
点击或轻触图中的空白位置，可添加指定质量的引力源；拖动引力源可移动其位置。在电脑上右键点击引力源可单独删除。在手机上，“删除引力源”会清除所有引力源，方便重新配置。“添加粒子”会添加30个粒子。“显示网格密度”只改变绘图，不改变作用力或积分时间步长。
粒子总动能为 $\sum_i |\mathbf v_i|^2/2$，其中每个试验粒子的质量取1。该值不含势能，单独并不守恒。对于在固定引力源、恒定G下运动，且未发生捕获或显示域停止的粒子，守恒量是动能与势能之和。
公式、单位与停止条件
设粒子到引力源 $j$ 的距离为 $r_j$，向外的单位向量为 $\hat{\mathbf r}_j$，则加速度和单位质量的势能如下。粒子运动、力的箭头和网格深度使用同一模型。网格深度为便于观察而设有上限，并不是时空曲率的计算结果。
$$\mathbf a=-\sum_j\frac{Gm_j}{r_j^2+s^2}\hat{\mathbf r}_j,\qquad \Phi=-\sum_j\frac{Gm_j}{s}\operatorname{atan2}(s,r_j)$$
多源模式的软化长度固定为 $s=10$，单一引力源模式为 $s=18$。两者加速度形式相同，但软化长度和输入定义不同，不能忽略这些条件直接比较显示数值。距离、速度、质量和时间均采用模型单位，未定义与m、km/s或kg的换算。多源模式采用RK4积分，模型时间步长最大为0.03，接近引力源时进一步缩短。
每个引力源的捕获半径为 $1.5(4+0.55\sqrt{m_j})$。粒子被捕获后停止计算，不模拟碰撞后的运动或质量合并。距原点超过4000的粒子按显示域条件停止，这不代表基于能量的逃逸判定。安全上限为128个引力源和2048个粒子。
图中各坐标轴的显示范围为−360至360，但粒子不会在边界反弹，也没有速度上限。离开图像后，仍会计算至停止半径。调整显示尺寸不会改变世界坐标中的位置或速度。分享链接保存当前引力源、有效粒子状态和显示设置，恢复时保持暂停。不包含轨迹历史、已运行时间或已捕获的粒子。
单一引力源模式的理论与公式
单一引力源模型采用固定软化长度s=18，以限制中心附近的作用力。距离、速度和GM采用模型单位，不是au或km/s。本工具不计算广义相对论中的时空或测地线。
$$\mathbf{a} = -\frac{GM}{r^2+s^2}\,\hat{\mathbf{r}}$$
与作用力一致的单位质量势能，以无穷远为零：
$$\Phi(r) = -\frac{GM}{s}\arctan\left(\frac{s}{r}\right)$$
圆轨道速度：
$$v_c = \sqrt{\frac{GM r}{r^2+s^2}}$$
半径r处的逃逸速度：
$$v_{esc} = \sqrt{-2\Phi(r)}$$
比能量为负表示束缚轨迹，非负表示非束缚轨迹。但部分轨迹会在中心附近停止显示。该软化模型的非圆轨迹不一定是严格的开普勒椭圆或双曲线。
$$\varepsilon = \frac{v^2}{2} + \Phi(r)$$
检算：r=200、GM=40000、s=18时，v_c≈14.0852、v_esc≈19.9731。切向速度14.1、径向速度0对应ε≈−100.0576，是接近圆形的束缚轨道。近点和远点半径由能量及角动量计算，不会把离开图像判定为逃逸。
单一引力源模式：轨道与能量的关系
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教授：网格下沉表示越靠近引力源，势能越负。增大GM会改变作用力和势能的大小。高度是经过放大处理的示意，并不是广义相对论时空曲率的数值计算。
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学生：那么，粒子为什么绕中心运动，或者向内落？
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教授：模型根据粒子位置处的中心加速度更新速度和位置。足够的切向速度使粒子绕中心运动；非负能量意味着原则上可以到达无穷远。先比较“近圆轨道”和“逃逸”。由于使用软化力，非圆轨迹不一定是严格的开普勒椭圆。
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教授：这是限制中心附近作用力的模型软化长度。单一引力源模式固定为18，多源模式固定为10，没有用于改变它的滑块。加速度分母为r²+s²，与之对应的势能为−GM/s arctan(s/r)。中心处力的方向没有定义，因此单一引力源模式在r<6时停止显示。
常见问题
通过RK4积分固定重力源产生的径向软化加速度。单源为a=−GM/(r²+s²)，多源为各源加速度的矢量和。软化长度固定为单源s=18、多源s=10，距离和时间采用模型单位。不求解广义相对论的时空或测地线。
网格下沉表示与力一致的负势能大小，绘制倍率设有上限。粒子根据加速度公式运动，不是沿绘制的膜面滚动。网格高度并非实际时空曲率。
它是到达无穷远时剩余速率为零的能量边界速度。单源模式中v_esc=√(−2Φ)，Φ=−GM/s arctan(s/r)。当r远大于s时，接近牛顿表达式√(2GM/r)。部分轨道会在中心附近停止绘制，因此非负能量本身并不保证避开碰撞。
单源模式根据一个粒子的初始半径、速度和角度研究轨道，共享链接保存初始条件。多源模式放置固定重力源和多个粒子，链接保存当前重力源、有效粒子状态及显示设置，并以暂停状态恢复。不保存轨迹历史、经过时间或已捕获粒子。切换模式会暂停播放，同时保留各自状态。
不一定。显示值以各测试粒子质量为1计算动能总和，不含势能。在固定重力源、恒定G且没有捕获或绘制范围停止的条件下，粒子的动能与势能之和是守恒量。修改重力源或G会改变系统，修改前后的能量不能作为同一守恒量比较。
不能直接用于设计。这是使用模型单位、固定重力源、人工软化力与有限绘制范围的教学模型。实际设计需要与SI单位对应，并验证天体尺寸与运动、摄动以及适合应用目的的积分精度。
单一引力源模式的学习内容与适用范围
速度的大小与方向： 即使速率相同，改变切向和径向分量也会改变角动量，进而改变近点和远点半径。位置角度改变轨道朝向，但在这个中心对称模型中，相同半径和速度分量对应相同能量。
离开图像不等于逃逸： GM=40000、r=320、切向速度14.1、径向速度0时，ε≈−25.4634，轨道仍然束缚。形式上的远点半径约为1251.30。离开较小的显示区域，并不意味着远点变为无穷远。
固定引力源与引力助推的区别： 这里的引力源固定，且没有摩擦或推进，因此比能量守恒。接近引力源时速率增大，回到相同半径时速率也恢复相同值。与运动行星交会时在另一参考系中的能量变化，不包含在本模型中。
与理想牛顿模型的比较： 当r远大于s时，作用力趋近于−GM/r²。进行带实际单位的卫星计算时，也应检查相关轨道力学工具的假设和适用范围。
单一引力源模式的限制与参考资料
单位与假设： 不要把显示数值解释为au、km/s或太阳质量。中心引力源固定，忽略试验粒子的反作用力，不包含阻力、推进或相对论效应。
近点、远点与有限显示域： 近点和远点半径是有效势Φ+J²/(2r²)与初始能量的交点，其中J为单位质量的角动量。中心方向没有定义，因此在r<6时停止显示，即使形式上的近点位于更内侧。半径超过4000时，也按显示域条件停止。这两项停止规则均独立于能量的正负。
数值积分与轨迹预览： RK4采用最大0.03模型时间的步长推进，但不保证长期严格守恒。淡色线为有限时间的轨迹预览，未必覆盖完整周期。“近圆”条件按速度输入步长0.1取整。
参考资料：MIT OpenCourseWare：中心力运动与轨道 介绍中心力的能量、角动量及理想牛顿轨道。本页的软化势由所采用的作用力积分得到，与参考资料中的牛顿公式不是同一模型。
单一引力源模式的检算实例
接近圆形： 设置GM=40000、r=200、vθ=14.1、vr=0、角度0°。s=18时，圆轨道速度≈14.0852、逃逸速度≈19.9731、比能量≈−100.0576。近点半径200、远点半径约200.83，构成接近圆形的束缚轨道。“近圆轨道”按钮可载入这些输入。
比较逃逸条件： 保持其他输入不变，将vθ改为20.8：ε≈16.8574，轨道为非束缚，远点为无穷远。“逃逸”按钮可载入此实例。这些数值采用模型单位，不是真实行星的速度。