轨道参数
行星预设
显示模式
显示椭圆轨道和焦点(太阳)。
轨道
黄色：太阳(焦点)，蓝色：行星。第2法则模式下橙色扇形表示面积速度恒定。
直观理解开普勒法则
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教科书中提到开普勒法则，但"椭圆轨道"和"面积速度恒定"太抽象了，我没法想象。
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好的，一边用模拟器一边解释。首先把"第2法则"标签页切换一下。会看到橙色扇形对吧？这就是行星在相同时间内扫过的面积，它们总是一样大小的。
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啊，确实！太阳附近的橙色扇形又细又长，远处的扇形又宽又短。行星的速度差别很大呢！
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完全正确！这就是第2法则的本质。根据角动量守恒 \(L = mr^2\dot{\theta} = \text{const}\)，距离太阳越近(\(r\)越小)，角速度\(\dot{\theta}\)就越大。也就是说，近日点速度快，远日点速度慢。地球也是，近日点(1月)的速度比远日点(7月)快约1%。
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我选了"哈雷彗星"预设，离心率变成了0.967，轨道非常狭长。近日点附近的速度快得惊人！
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哈雷彗星的近日点速度约54 km/s，远日点(海王星外侧)约0.9 km/s，差了60倍！轨道长半轴17.8 AU，根据第3法则可得 \(T = 17.8^{1.5} \approx 75\) 年。实际周期约75-76年，完全符合！下次地球接近预计在2061年。
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那个标签显示轨道长半轴和周期之间 \(a^3 \propto T^2\) 的关系图。试试多个行星预设，会看到所有数据点都落在这条幂律直线上。牛顿就是从这个经验规律反推出万有引力定律的。在科学史上非常重要！
三大法则与数学基础
第1法则(椭圆轨道法则)：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳在其中一个焦点上。椭圆极坐标方程：
$$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos\theta}$$
\(r\)：太阳距离，\(a\)：长半轴，\(e\)：离心率，\(\theta\)：真近点角。近日点距离 \(r_p = a(1-e)\)，远日点距离 \(r_a = a(1+e)\)。
第2法则(面积速度恒定法则)：行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等。根据角动量守恒：
$$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\dot{\theta} = \frac{L}{2m} = \text{const}$$
\(L = mr^2\dot{\theta}\) 为角动量。面积速度 \(h = L/m = \sqrt{GMa(1-e^2)}\)(\(G\)：万有引力常数，\(M\)：太阳质量)。
第3法则(调和律)：公转周期的平方与轨道长半轴的立方成正比：
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3$$
太阳系基准(\(T\) [年], \(a\) [AU])为 \(T^2 = a^3\)。牛顿由此反推出 \(F \propto 1/r^2\) 的万有引力。
实际应用
人工卫星轨道设计：开普勒法则是人工卫星轨道计算的基础。GPS卫星高度约20,200 km(约地球半径的3.36倍)，圆形轨道周期约12小时。国际空间站高度约420 km，周期约92分钟，每天绕地球约16圈。用第3法则可以立即验证这些数据。
行星际探测：星际探测器采用"霍曼转移轨道"以最小能量到达目标。从地球到火星约需259天。这也是由开普勒第3法则计算的。
常见误解与注意事项
"太阳在椭圆中心"是错误的：太阳在椭圆焦点，不在中心。焦点到中心的距离为 \(ae\)(离心率乘以长半轴)。地球 \(e \approx 0.017\) 时太阳几乎在中心，但火星 \(e \approx 0.093\) 时偏差明显。
本模拟器的局限：假设的是二体问题(只有太阳和一颗行星)。实际行星轨道受其他行星引力扰动，不是精确椭圆。水星近日点移动现象只能用广义相对论完全解释。
开普勒法则模拟器简介
开普勒法则模拟器的物理模型将行星轨道视为椭圆，太阳位于其一个焦点。轨道长半轴 \(a\) 和离心率 \(e\) 决定轨道形状。行星位置通过对开普勒方程 \(M = E - e \sin E\) 进行数值求解得到，其中 \(M\) 为平均近点角，\(E\) 为离心近点角。这样计算可以重现面积速度恒定的轨道运动。面积速度 \( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt} \) 保持守恒，近日点距离 \(r\) 最小，所以角速度最大；远日点反之。这样直观说明了为什么行星在近日点快、远日点慢。而且轨道周期 \(T\) 与长半轴 \(a\) 遵循第3法则 \(T^2 \propto a^3\)，在模拟中也能验证。
离心率设为0时是圆形，接近1时椭圆变得很狭长。长半轴增大时整个轨道放大，周期也随之延长。可以边移动滑块边看动画来确认。
行星运动时，一定时间内太阳与行星连线扫过的面积(扇形)始终相等。可以看到近日点附近的扇形又高又窄，远日点的扇形又矮又宽。
根据开普勒第2法则(面积速度恒定)，太阳附近近日点距离短，为了在相同时间扫过相同面积必须速度快；远日点距离长，相应速度就慢了。调节离心率时，这种速度变化的幅度也会改变。
可以。比如地球离心率约0.0167、长半轴约1.0 AU，设置这些参数就能大致重现。但实际行星因受其他行星引力会有细微偏差，这是理想二体问题的模型。
工业界实际用例
航空航天工业用本模拟器原理设计人工卫星轨道。例如气象卫星"向日葵"和通信卫星"JCSAT"系列投入静止轨道时，利用第2法则(面积速度恒定)选择远地点轨道控制发动机喷射时机，通过近地点相当位置的喷射高效圆形化轨道，最小化燃料消耗。
研究与教学中的应用
大学宇宙工学和天文学基础课程中，用本模拟器作教材直观理解椭圆轨道的速度变化。以火星探测器"火星侦察轨道器"的轨道转移(霍曼转移轨道)为例，通过操作离心率和长半轴参数重现实际任务规划，学生能体验重力辅助原理。被评为有效的教育工具。
CAE分析的联系与实务定位
在航天器任务分析中，本模拟器的可视化用于初步设计阶段。在用CAE工具(如STK、GMAT)进行精密数值轨道传播之前，先用开普勒法则简化模型掌握轨道形状和速度分布的大概，降低复杂多体问题的计算负荷，加快设计周期。在实务中，定位为"概念设计阶段直观理解轨道"的辅助工具。
理论·主要公式
\(T^2 \propto a^3\)(太阳系基准: \(T\) 年, \(a\) AU)
$$T = a^{3/2} \text{ [年]}$$
当前周期：— 年