参数设置
非对角线元素固定: A[1,2]=3, A[1,3]=2, A[2,1]=1, A[2,3]=1, A[3,1]=2, A[3,2]=1。b[2]=8, b[3]=13 固定。
高斯消去：A→U 与 L 的构成（动画）
绿＝主元（对角线）／橙＝正在消去的行。右侧 L 填入各行倍数 l_ij=a_ij/a_kk，左侧工作矩阵收敛为 U。
L·U 分解和前进、后退代入解
绿＝下三角L（对角线=1）／蓝＝上三角U／黄＝中间向量y＝L⁻¹·b／橙＝解x＝U⁻¹·y
理论、主要公式
LU分解是一种将正方矩阵A分解为L（单位下三角）和U（上三角）乘积的方法。加入部分主元选择后，可以写成 P·A = L·U 的形式。
分解的公式（Doolittle法，L的对角为1）：
$$P \cdot A = L \cdot U, \quad L_{ii} = 1$$
Ax=b可以通过两个三角系统求解。前进代入求 y，后退代入求 x：
$$L\,y = P\,b \quad\Longrightarrow\quad U\,x = y$$
行列式和残差。det(A) 是U的对角线元素的乘积（带有行交换次数的符号），残差是数值误差的指标：
$$\det(A) = (-1)^{s}\prod_i U_{ii}, \qquad r = \|A\,x - b\|_2$$
计算复杂度为 O(n³)。一旦分解完成，对于同一个 A 可以用 O(n²) 的时间求解多个右手边 b，因此在有限元法的多荷载工况中显示出强大的威力。
LU分解模拟器简介
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线性方程组就是中学里面用加减消元法解的那个，对吧？计算机也是这样做的吗？
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基本思路是一样的「高斯消去法」。但实务中会把消去过程中的中间结果保存为「L和U这两个矩阵」。这就是LU分解。看看上面的模拟器第二个画布，绿色的L是「消去时对每一行乘的倍数」，蓝色的U是「整理好的上三角矩阵」。这两个矩阵的乘积可以还原A。
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好处在这里。比如有限元法的线性静力分析，同一个刚性矩阵K，要对10个、100个不同的荷载工况求解。把LU分解一次保存起来，之后每个工况只需要「前进代入和后退代入」就行。一次分解是O(n³)的重操作，但每个工况只要O(n²)。1000元方程的话，一次分解的成本就能解1000个工况！
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「部分主元选择」是什么意思？模拟器下面提了一下。
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消去时要除以对角线元素（主元）。如果主元是0或非常小的数，除法就会爆炸误差。所以每一步先从当前列里找绝对值最大的元素，交换行，然后再消去。这叫部分主元选择。试试把A[1,1]设成1，b[1]设成-20，看看行交换怎么自动跑起来，解还是对的。
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对。求出的x代进原矩阵A，和b做差，这个差向量的长度就是残差。理论上应该是0，实际上用双精度浮点数也只能到10⁻¹⁰这个量级。要是残差变成1或10，说明矩阵接近奇异（条件数极大）或者代码有bug。残差检查是「自我验证数值解」的必做功课。
常见问答
两者都是LU分解的实现方式。Doolittle法把L的对角设为1，Crout法把U的对角设为1。本工具用的是Doolittle法，所以L的对角全是1，而U的对角是主元值。数值结果本质相同，选择通常取决于内存排列和运算顺序的偏好。教科书里Doolittle法用得更普遍。
条件数定义为 cond(A)=‖A‖·‖A⁻¹‖，表示输入数据的误差会被放大多少倍到解里。条件数是10ᵏ时，用双精度浮点（约16位精度）求得的解会失去大约k位有效数字。条件数超过10¹⁶就没有可信的解了。实务中用迭代改进法（iterative refinement）、重标度、或改变定式来应对。
大规模有限元和计算流体力学的矩阵99%以上是0（稀疏矩阵）。直接分解会在原来为0的位置产生新的非零值（fill-in），导致内存爆炸。实务中用AMD、METIS等重新排列行列顺序来减少fill-in，再用SuperLU、PARDISO、MUMPS等稀疏LU库。如果数据量非常大，反复共轭梯度法（CG）或GMRES等迭代法更有利。
线性弹性分析的刚性矩阵K是对称正定的，用Cholesky分解（K=L·Lᵀ）比LU分解快一倍、省内存一倍，也比较稳定。接触分析、塑性分析、流体结构耦合等非对称情况才用LU分解。动力学分析的质量矩阵也是对称正定，特征值分析也多用Cholesky。关键是「一次分解、多右手边重用」的场景，直接法的优势最大。
现实应用
有限元法（FEM）线性静力分析：结构分析软件（NASTRAN、Abaqus、ANSYS、Marc等）的核心是对刚性矩阵的直接解法。对称正定用Cholesky，一般情况用LU分解，同一个刚性矩阵对多个荷载工况（自重、风载、地震、温度等）求解时，分解一次的重用价值巨大。稀疏版本（SuperLU、PARDISO、MUMPS）是业界标准，能在实用时间内解决数千万自由度的模型。
电路仿真（SPICE）：电路节点方程 G·v = i 中，节点导纳矩阵G通常是稀疏的对称矩阵，用LU分解求解。SPICE类仿真器在时间积分的每一步都要线性化并求解，如果矩阵的非零模式不变，LU的重用会大幅加速。
最优化和机器学习的正规方程：线性最小二乘 (XᵀX)·β = Xᵀy 的正规方程，或高斯过程回归的 (K+σ²I)·α = y，都是对称正定矩阵，用Cholesky分解（特殊的LU）求解。批量学习和贝叶斯推断的中心步骤，矩阵分解的速度直接影响整体性能。
控制理论的Lyapunov方程：状态空间模型的稳定性判定中出现的连续时间Lyapunov方程 AᵀP + PA = -Q，用Bartels-Stewart法先对A作Schur分解，再对三角矩阵做代入求解。本质是LU分解对上、下三角系的代入应用，MATLAB控制工具箱等的标准实现。
常见误区和注意事项
最常见的误区是以为「LU分解是为了求逆矩阵」。实际上解Ax=b根本不需要显式计算逆矩阵A⁻¹，LU分解就够了。陈显出逆矩阵会让内存和计算量增加约3倍，数值误差也变大。MATLAB推荐用 \(A\b\)（反斜杠，内部用LU）而不是 inv(A)*b，理由就在这。本工具也不计算任何逆矩阵，只靠L·y和U·x这两步代入求解。
其次是误认为「有部分主元选择就总是数值稳定」。部分主元选择防止对角线变得太小，但矩阵本身条件数很大（接近奇异）的话，解的精度依然会下降。试试把A[1,1]=A[2,2]=A[3,3]都设成1，会看到行列式变小、残差容易增大。实务中要事先估计条件数（rcond函数）或用反复改进法来保证精度。
最后是「直接法复杂度O(n³)，随意拿去解大规模问题」的失误。3×3瞬间完成，但自由度100万的FEM矩阵要直接分解，内存和时间都是天文数字。即使是稀疏版LU（SuperLU、PARDISO），也常在几百万自由度以上不如共轭梯度法（CG）、GMRES、代数多网格等迭代法。一定要先问「对称吗」「正定吗」「稀疏吗」「多大」，再选方法。本工具是入门的3×3，背后有数值线性代数半个多世纪的沉淀。
具体计算例
钢框架结构3自由度体系，刚性矩阵A=[5.0, -1.0, 0; -1.0, 4.5, -0.5; 0, -0.5, 3.8]，荷载向量b=[1000N, 500N, 250N]时，LU分解后行列式det(A)≈84.35，无主元选择时条件数3.2，解为x_1≈210mm、x_2≈145mm、x_3≈75mm，残差‖Ax-b‖_2≈0.012。应用主元后残差降低到1/100以下