弯矩-曲率关系模拟器

参数设置

截面宽度 b

截面高度 h

弯曲方向上的截面高度

杨氏模量 E

GPa

屈服应力 f_y

MPa

曲率比 φ/φ_y

以屈服曲率 φ_y 为 1 的当前曲率倍数

材料模型

屈服后应力-应变关系的假定

计算结果

—

屈服弯矩 My (kN·m)

—

全塑性弯矩 Mp (kN·m)

—

形状系数 Mp/My

—

屈服曲率 φ_y (1/mm)

—

当前弯矩 M (kN·m)

—

截面状态

—

截面应力分布与 M-φ 曲线

左：沿截面深度方向的弯曲应力分布（弹性为三角形，弹塑性为弹性核夹于屈服块之间）。右：M-φ 曲线及当前点标记。屈服区会脉动扩展。

弯矩-曲率曲线 M(φ/φ_y)

截面内应力分布 σ(截面位置)

理论与主要公式

$$M_y=f_y\,S,\qquad M_p=f_y\,Z,\qquad \text{形状系数}=\frac{Z}{S}$$

屈服弯矩 My 与全塑性弯矩 Mp。S：弹性截面模量，Z：塑性截面模量，f_y：屈服应力。矩形截面 S=bh²/6、Z=bh²/4，形状系数 Z/S=1.5。

$$M=M_p\left(1-\frac{1}{3}\left(\frac{\phi_y}{\phi}\right)^{2}\right)\quad(\phi\gt \phi_y)$$

超过屈服曲率 φ_y 后的弯矩 M。曲率越大，M 越接近 Mp。当 φ ≤ φ_y 时，M = (φ/φ_y)·My（截面整体弹性）。

$$\phi_y=\frac{2\,f_y}{E\,h}$$

屈服曲率 φ_y 是最外纤维首次达到屈服应变时的曲率。E：杨氏模量，h：截面高度。

什么是弯矩-曲率关系

🙋

"弯矩-曲率关系"这个词在结构课上出现过，可它到底是一张什么图呢？

🎓

简单说，它画的是"把截面弯多少（曲率 φ）"与"此时截面发出的抵抗力（弯矩 M）"之间的关系。你可以把它看作应力-应变曲线的截面版。拉伸材料能画出 σ-ε 曲线；弯曲梁截面就能画出 M-φ 曲线。所以它用一张图概括了截面"对弯曲的脾气"。

🙋

原来如此。在左边把曲率比调大，曲线一开始笔直上升，后来就变平缓了。这是发生了什么呢？

🎓

观察得很好。笔直的那段是"整个截面都弹性"的状态——胡克定律成立，越弯弯矩越按比例增大。可一旦最外侧的纤维达到屈服应力 f_y，曲线就开始变平。那个点就是屈服弯矩 My。再弯下去，屈服区域就会从表面向内部慢慢扩展。屈服后的纤维只能发出恒定应力 f_y，所以再增加曲率，弯矩的增长就越来越少，曲线因此变平。

🙋

那曲线最高能升到哪里？总不会无限上升吧？

🎓

对，有个天花板，就是全塑性弯矩 Mp。它是截面所有纤维都达到屈服应力时的弯矩，也就是截面"完全塑性化"时的弯矩，这是理论上的上限。在理想弹塑性模型下，无论你把曲率增大多少，M 都只会渐近于 Mp 而不会更高。看中间的画布：屈服块从上下两侧向内扩展，弹性核越来越薄。

🙋

My 与 Mp 的比写着叫"形状系数"，这有什么用呢？

🎓

形状系数 Mp/My 告诉你截面从首次屈服到全截面屈服之间还有多少储备体力。矩形截面恒为 1.5——意味着最外纤维屈服后，截面还能再承受大 50% 的弯矩。实用要点在于：容许应力设计在 My 处划线，而塑性设计用到 Mp，形状系数让你能把设计做得更精简。在建筑的地震推覆分析中，每个截面的 M-φ 曲线就成了梁柱的非线性弹簧特性。所以 M-φ 是塑性铰分析最根本的基石。

🙋

选择"含应变硬化"后，曲率较大处 M 会略微超过 Mp。这现实吗？

🎓

是现实的。实际钢材即使屈服后，应变继续增大时应力也会缓缓上升，这就是应变硬化。所以被大幅弯曲的截面会略微越过 Mp。但在设计中我们通常取安全侧，把 Mp 视为上限。本工具也特意把硬化做得很克制（弹性刚度的 2%），让你体会到"Mp 起主导、硬化是次要效应"这种实务感觉。

常见问题

屈服弯矩 My 是截面最外侧纤维首次达到屈服应力 f_y 时的弯矩，由 My = f_y·S 计算，其中 S 为弹性截面模量。全塑性弯矩 Mp 是截面整体均达到屈服应力（完全塑性化）时的弯矩，由 Mp = f_y·Z 计算，其中 Z 为塑性截面模量。在 My 与 Mp 之间，屈服由表面向内部扩展，截面处于弹塑性状态。Mp 是截面所能承受弯矩的理论上限。

形状系数定义为 Mp/My = Z/S，是一个无量纲数，衡量截面从首次屈服到全截面屈服之间的储备强度。对矩形截面，弹性截面模量 S = bh²/6，塑性截面模量 Z = bh²/4，因此形状系数 = Z/S = 1.5。也就是说，矩形截面在最外纤维屈服后还能再承受大 50% 的弯矩。形状系数是截面几何的固有属性：工字钢约为 1.1～1.2，实心圆截面约为 1.7。

M-φ 曲线是描述截面如何响应弯曲的最基本特性。截面全部处于弹性时曲线呈直线上升，最外纤维屈服后曲线趋于平缓，并渐近于全塑性弯矩 Mp。该曲线充当本构关系，是塑性设计、塑性铰分析以及地震作用下结构非线性（推覆）分析的出发点。要计算梁或柱的非线性行为，必须先知道每个截面的 M-φ 关系。

在理想弹塑性模型中，无论曲率如何增大，弯矩都不会超过全塑性弯矩 Mp，只会渐近于 Mp 并趋于水平。然而实际钢材在屈服后仍会出现应力略微上升的"应变硬化"。在本工具中选择"含应变硬化（2%）"时，会加入相当于弹性刚度 2% 的屈服后刚度，使曲率较大时弯矩略微超过 Mp。但该增量是次要效应，设计中通常仍以 Mp 作为上限。

实际应用

抗震设计与推覆分析：在评估建筑地震响应的非线性静力（推覆）分析中，每个梁柱截面的 M-φ 曲线直接用作塑性铰的非线性弹簧特性。屈服弯矩 My 是弹性向塑性的过渡点，全塑性弯矩 Mp 是铰的承载力，曲率上限决定铰的变形（转动）能力。没有 M-φ 关系，就无法追踪建筑"何时、何处、屈服多少"。

塑性设计与极限荷载评估：在钢结构的塑性设计中，认为截面达到全塑性弯矩 Mp 处会形成"塑性铰"。当足够多的铰形成、使结构变为机构时，整个框架便发生倒塌。由于形状系数能比容许应力设计挖掘出更大的承载力，因而可实现更经济的截面选型。M-φ 曲线正是这一思路的出发点。

钢筋混凝土构件的受弯分析：在 RC 梁、柱中，受压侧混凝土的非线性与钢筋的屈服相组合，M-φ 曲线呈现更复杂的形状。即便如此，用 M-φ 曲线追踪"弹性 → 开裂 → 钢筋屈服 → 极限"各阶段，与钢结构所用的框架完全相同。本工具中矩形、理想弹塑性的情形，可作为理解它的最基本原型。

截面延性评估：用极限曲率 φ_u 除以屈服曲率 φ_y 得到的"曲率延性 φ_u/φ_y"，是衡量截面能够多么富有韧性地变形的指标。对于承受地震等反复大变形的结构，决定性的不仅是强度（Mp），还有这种延性。M-φ 曲线水平延伸得越长，越可评价为能量耗散能力高的"有韧性的截面"。

常见误解与注意事项

最常见的错误是"认为截面一旦达到屈服弯矩 My 就破坏了"。My 只是"最外纤维首次屈服"的点，并不是截面的终点。其内部仍是弹性的，随着屈服区扩展，截面会继续承受更大的弯矩。矩形截面可承受到 My 的 1.5 倍（全塑性弯矩 Mp）。把 My 误读为"破坏"，等于把截面本来拥有的全部储备承载力统统丢掉。请正确理解 M-φ 曲线在 My 之后仍会继续上升。

其次是"以为形状系数对任何截面都是 1.5"。1.5 是矩形（实心长方形）截面所特有的值。在弯曲方向材料集中于外缘的工字钢中，形状系数只有约 1.1～1.2；而实心圆截面约为 1.7。形状系数恰好是塑性截面模量 Z 与弹性截面模量 S 之比，所以必须针对每种截面形状重新计算。死记"钢就是 1.5"，会有在工字钢上高估储备承载力的风险。

最后是"过分相信 Mp 是可以随便用的承载力"。全塑性弯矩 Mp 的前提是截面不发生局部屈曲或侧向扭转屈曲，并能稳定变形到足够的曲率。翼缘或腹板较薄（宽厚比较大）的截面，会在达到 Mp 之前因局部屈曲而承载力下降，M-φ 曲线在尚未到达 Mp 之处就转为下降。此外，本工具是假定平截面保持平面的截面级理论，未包含剪切变形、残余应力与应变速率的影响。在使用 Mp 进行塑性设计时，务必同时确认截面的宽厚比等级与侧向支撑条件。

什么是弯矩-曲率关系

常见问题

实际应用

常见误解与注意事项

使用指南

具体计算示例

实务注意事项