モーメント-曲率関係シミュレーター

矩形断面の梁が曲げを受けたときの「モーメント-曲率（M-φ）関係」を計算するツールです。断面寸法・降伏応力・曲率比を変えると、降伏モーメント・全塑性モーメント・形状係数、そして断面内の応力分布がリアルタイムで分かります。

パラメータ設定

断面幅 b

断面せい h

曲げ方向の断面の高さ

ヤング率 E

GPa

降伏応力 f_y

MPa

曲率比 φ/φ_y

降伏曲率 φ_y を1とした現在の曲率の倍率

材料モデル

降伏後の応力-ひずみ関係の仮定

計算結果

—

降伏モーメント My (kN·m)

—

全塑性モーメント Mp (kN·m)

—

形状係数 Mp/My

—

降伏曲率 φ_y (1/mm)

—

現在のモーメント M (kN·m)

—

断面の状態

—

断面の応力分布と M-φ 曲線

左：断面深さ方向の曲げ応力分布（弾性は三角形、弾塑性は弾性コア＋降伏ブロック）。右：M-φ曲線と現在点のマーカー。降伏域が脈動して広がります。

モーメント-曲率曲線 M(φ/φ_y)

断面内の応力分布 σ(断面位置)

理論・主要公式

$$M_y=f_y\,S,\qquad M_p=f_y\,Z,\qquad \text{形状係数}=\frac{Z}{S}$$

降伏モーメント My と全塑性モーメント Mp。S：弾性断面係数、Z：塑性断面係数、f_y：降伏応力。矩形断面では S=bh²/6、Z=bh²/4 で、形状係数 Z/S=1.5 となる。

$$M=M_p\left(1-\frac{1}{3}\left(\frac{\phi_y}{\phi}\right)^{2}\right)\quad(\phi\gt \phi_y)$$

降伏曲率 φ_y を超えた領域での曲げモーメント M。曲率が増えるほど M は Mp に漸近する。φ ≤ φ_y では M = (φ/φ_y)·My（全断面弾性）。

$$\phi_y=\frac{2\,f_y}{E\,h}$$

降伏曲率 φ_y は、最外縁の繊維がはじめて降伏ひずみに達するときの曲率。E：ヤング率、h：断面せい。

モーメント-曲率関係とは

🙋

「モーメント-曲率関係」って言葉、構造の授業で出てきたんですけど、結局なんのグラフなんですか？

🎓

ざっくり言うと、断面を「ぐにゃっと曲げる量（曲率 φ）」と「そのとき断面が出す抵抗力（曲げモーメント M）」の関係を描いたグラフだよ。応力-ひずみ曲線の断面版、と思えばいい。材料を引っぱると σ-ε 曲線が描けるよね。あれと同じで、梁の断面を曲げると M-φ 曲線が描ける。だから断面の「曲げに対する性格」を一枚で表したものなんだ。

🙋

なるほど。左で曲率比を上げていくと、最初はまっすぐ伸びて、途中からカーブが寝てきますね。これは何が起きてるんですか？

🎓

いい観察だ。まっすぐな部分は「全断面が弾性」の状態。フックの法則どおりで、曲げれば曲げるほど比例してモーメントが増える。ところが断面の一番外側の繊維が降伏応力 f_y に届くと、そこから先は曲線が寝てくる。これが降伏モーメント My だ。さらに曲げると、降伏した領域が表面から内側へジワジワ広がっていく。降伏した部分はもう一定の応力 f_y しか出せないから、いくら曲率を増やしてもモーメントの伸びが鈍る。それでカーブが寝るんだ。

🙋

じゃあカーブはどこまで上がるんですか？無限に伸びるわけじゃないですよね。

🎓

そう、上限がある。それが全塑性モーメント Mp だ。断面のすべての繊維が降伏応力に達した状態——つまり断面が「完全に塑性化」したときのモーメントで、これが理論上の天井になる。弾完全塑性モデルだと、曲率をいくら増やしても M は Mp に漸近するだけで、それ以上は上がらない。中央のキャンバスを見ると、降伏ブロックが上下から内側へ伸びて、弾性コアがどんどん薄くなっていくのが分かるよ。

🙋

My と Mp の比が「形状係数」って書いてありますけど、これは何の役に立つんですか？

🎓

形状係数 Mp/My は「最初の降伏から全断面降伏まで、断面にどれだけ予備の体力があるか」を示す数字だ。矩形断面なら必ず1.5。つまり外縁が降伏してからも、あと50%大きいモーメントまで粘れる。実務で重要なのは、許容応力設計だと My で線を引くけど、塑性設計では Mp まで使う。形状係数のぶんだけ設計をスリムにできる、というわけ。例えば地震に対する建物のプッシュオーバー解析では、各断面の M-φ 曲線がそのまま「梁や柱の非線形バネ特性」になる。だから M-φ は塑性ヒンジ解析のいちばんの土台なんだ。

🙋

「ひずみ硬化あり」を選ぶと、曲率が大きいところで M が Mp を少し超えますね。これは現実的なんですか？

🎓

現実的だよ。実際の鋼材は降伏したあとも、ひずみを増やすと応力がじわっと上がる「ひずみ硬化」を示す。だから大きく曲げた断面は Mp をわずかに超えることがある。ただし設計では普通、安全側を見て Mp を上限とみなす。このツールでも硬化分はあえて控えめ（弾性剛性の2%）にしてあって、「Mp が支配的で、硬化は二次的」という実務感覚が伝わるようにしているんだ。

よくある質問

降伏モーメント My は、断面の最も外側の繊維がはじめて降伏応力 f_y に達したときの曲げモーメントで、My = f_y·S（S は弾性断面係数）で計算します。全塑性モーメント Mp は、断面の全体が降伏応力に達した（完全に塑性化した）ときのモーメントで、Mp = f_y·Z（Z は塑性断面係数）です。My から Mp までの間、降伏は表面から内側へ広がり、断面は弾塑性の状態にあります。Mp は断面が支えられる曲げモーメントの理論上限です。

形状係数は Mp/My = Z/S で定義され、断面が「最初の降伏」から「全断面降伏」までにどれだけ余力を持つかを表す無次元数です。矩形断面では弾性断面係数 S = bh²/6、塑性断面係数 Z = bh²/4 なので、形状係数 = Z/S = 1.5 になります。つまり矩形断面は、外縁が降伏した後さらに50%大きいモーメントまで耐えられます。I形鋼では約1.1〜1.2、円形中実断面では約1.7と、断面形状ごとに固有の値を持ちます。

M-φ曲線は、断面が曲げに対してどう応答するかを表す最も基本的な特性です。曲線は全断面が弾性のうちは直線的に立ち上がり、外縁が降伏すると寝てきて、全塑性モーメント Mp に漸近します。この曲線は、塑性設計・塑性ヒンジ解析・地震時の非線形（プッシュオーバー）解析の出発点となる「材料則」の役割を果たします。梁や柱の非線形挙動を計算するには、まず各断面の M-φ 関係が分かっていなければなりません。

弾完全塑性モデルでは、曲率を大きくしてもモーメントは全塑性モーメント Mp を超えず、Mp に漸近して頭打ちになります。一方、実際の鋼材は降伏後もわずかに応力が増える「ひずみ硬化」を示します。本ツールの「ひずみ硬化あり（2%）」を選ぶと、降伏後の剛性として弾性剛性の2%を加味し、曲率が大きい領域でモーメントが Mp をわずかに上回ります。ただしこの増分は二次的なもので、設計では通常 Mp を上限とみなします。

実世界での応用

耐震設計とプッシュオーバー解析：建物の地震応答を評価する非線形静的解析（プッシュオーバー解析）では、梁や柱の各断面の M-φ 曲線が、そのまま塑性ヒンジの非線形バネ特性として使われます。降伏モーメント My は弾性から塑性への移行点、全塑性モーメント Mp はヒンジの耐力、曲率の上限はヒンジの変形能力（回転能力）を決めます。M-φ 関係が分からなければ、建物が「いつ・どこで・どれだけ」塑性化するかを追えません。

塑性設計と崩壊荷重の評価：鋼構造の塑性設計では、断面が全塑性モーメント Mp に達した箇所に「塑性ヒンジ」が形成されると考えます。十分な数のヒンジができて構造が機構（メカニズム）になると、フレーム全体が崩壊します。形状係数のぶん、許容応力設計より大きな耐力を引き出せるため、より経済的な断面選定が可能になります。M-φ 曲線はこの考え方の出発点です。

鉄筋コンクリート部材の曲げ解析：RC梁・柱では、コンクリートの圧縮側の非線形と鉄筋の降伏が組み合わさり、M-φ 曲線はさらに複雑な形になります。それでも「弾性 → ひび割れ → 鉄筋降伏 → 終局」という段階を M-φ 曲線で追うのは鋼構造とまったく同じ枠組みです。本ツールの矩形・弾完全塑性のケースは、その最も基本的な原型として理解の足がかりになります。

断面の延性評価：曲率の上限（終局曲率 φ_u）を降伏曲率 φ_y で割った「曲率延性 φ_u/φ_y」は、断面がどれだけ粘り強く変形できるかの指標です。地震など繰り返し大変形を受ける構造では、強度（Mp）だけでなくこの延性が決定的に重要になります。M-φ 曲線が長く水平に伸びるほど、エネルギー吸収能力の高い「粘る断面」だと評価できます。

よくある誤解と注意点

まず多いのが、「降伏モーメント My に達したら断面が壊れる」という誤解です。My はあくまで「最も外側の繊維がはじめて降伏した」点であって、断面の終わりではありません。そこから内側はまだ弾性で、降伏域が広がりながら断面はさらに大きなモーメントを支え続けます。矩形断面なら My の1.5倍（全塑性モーメント Mp）まで耐えられます。My を「破壊」と読み替えると、断面が本来持つ予備耐力を丸ごと捨てることになります。M-φ 曲線が My の先でも上昇を続けることを正しく理解してください。

次に、「形状係数はどんな断面でも1.5」という思い込み。1.5は矩形（中実長方形）断面に固有の値です。曲げ方向に材料が外縁に集中している I 形鋼では形状係数は1.1〜1.2程度しかなく、逆に円形中実断面では約1.7になります。形状係数は断面の塑性断面係数 Z と弾性断面係数 S の比そのものなので、断面形状ごとに必ず計算し直す必要があります。「鉄骨だから1.5」と覚えると、I 形鋼で予備耐力を過大評価する危険があります。

最後に、「Mp はいくらでも使える耐力だ」という過信。全塑性モーメント Mp は、断面が局部座屈や横座屈を起こさず、十分な曲率まで安定して変形できることが前提です。フランジやウェブが薄い断面（幅厚比の大きい断面）は、Mp に達する前に局部座屈で耐力が落ちてしまい、M-φ 曲線が Mp の手前で下降に転じます。また、本ツールは平面保持を仮定した断面レベルの理論で、せん断変形・残留応力・ひずみ速度の影響は含みません。Mp を使う塑性設計では、必ず断面の幅厚比区分と横補剛の条件を併せて確認してください。

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