参数设置
核素选择
衰变链
预设方案
理论公式
$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$
$A = \lambda N \; [\text{Bq}]$
衰变链（Bateman方程）：
$\dfrac{dN_B}{dt} = \lambda_A N_A - \lambda_B N_B$
工程应用： I-131（T½=8天）用于甲状腺癌治疗；C-14（T½=5730年）用于考古年代测定；Cs-137（T½=30年）用于食品污染监测。
原子点可视化（蓝=未衰变，红=已衰变）— 查看时刻的快照
什么是放射性衰变与半衰期
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简单来说，半衰期就是一个放射性物质“死掉”一半所需要的时间。比如，你有一大群放射性原子，过了一个半衰期，就只剩下一半了。在实际工程中，这个时间对核医学和考古学超级重要。你可以在模拟器里选择不同的核素，比如C-14或者I-131，然后拖动“显示时间跨度”的滑块，就能直观地看到它们的原子数是如何随时间“腰斩”再“腰斩”的。
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诶，真的吗？那为什么不同核素的半衰期差那么多？C-14要几千年，I-131才几天？
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问得好！这就像不同人的“寿命”天生不同，是由原子核内部的“稳定性”决定的。不稳定的核衰变得快，半衰期就短。试着在模拟器里把核素从C-14切换到I-131，你会看到曲线“唰”地一下就掉下去了，因为它的半衰期只有8天。工程现场常见的是，医生利用I-131短半衰期的特性来治疗甲状腺癌，药物在体内释放辐射后能很快衰减，减少对病人的长期伤害。
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那如果一种核素衰变后，产生的子核还是放射性的，会怎么样？像核废料那样？
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这正是核废料管理的核心难题！这就形成了一个“衰变链”，比如铀-238最终会变成稳定的铅-206，中间要经过十几次衰变。在模拟器里，你可以开启“衰变链”模式，调整“T½_B / T½_A 比值”这个参数。改变参数后你会看到，子核B的数量会先增加后减少，形成一个“驼峰”，管理核废料时必须考虑这些中间产物的长期放射性。
物理模型与关键公式
放射性衰变最基本的规律是指数衰减，原子核数量随时间减少的速率与它本身的数量成正比。
$$N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}$$
$N_0$是初始原子数，$N(t)$是t时刻剩余的原子数，$\lambda$是衰变常数，它决定了衰变的快慢。
衰变常数$\lambda$与半衰期$T_{1/2}$直接相关。半衰期越短，衰变常数越大，衰变得越快。
$$\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$$
$\ln 2$约等于0.693。这个公式是连接宏观可测的半衰期与微观衰变概率的桥梁。
对于A→B→C这样的连续衰变链，需要用Bateman方程来描述各个核素数量的复杂变化。
$$\dfrac{dN_B}{dt} = \lambda_A N_A - \lambda_B N_B$$
这个方程说明，子核B的增加速率等于母核A衰变产生B的速率，减去B自身衰变成C的速率。模拟器正是用这个方程来计算衰变链的。
现实世界中的应用
考古学与地质年代测定：利用C-14（半衰期5730年）的衰变来测定古代生物遗骸或文物的年代。生物死亡后，体内的C-14含量按指数规律减少，通过测量残留的C-14比例，可以推算出其死亡时间，这是碳十四测年法的原理。
核医学诊断与治疗：利用如I-131（半衰期8天）、Tc-99m（半衰期6小时）等放射性同位素。短半衰期意味着药物能在体内有效作用后迅速衰减，减少对患者的辐射伤害。例如，I-131可以靶向聚集在甲状腺，用于治疗甲状腺功能亢进和甲状腺癌。
环境监测与食品安全：例如，核事故后释放的Cs-137（半衰期约30年）会污染土壤和食物。通过监测食品中Cs-137的活度，可以评估其安全性，确保辐射水平低于国家标准。
核能工业与废料管理：核反应堆产生的乏燃料含有多种长半衰期放射性核素（如Pu-239，半衰期2.4万年）。理解复杂的衰变链（Bateman方程）对于设计安全的废料储存方案至关重要，需要预测其放射性在数万年甚至百万年内的变化。
常见误解与注意事项
首先，“半衰期过后放射性就会归零”是一个重大误解。半衰期是“减少一半所需的时间”，因此经过1次剩1/2，2次剩1/4，3次剩1/8…依此类推。例如，模拟初始原子数为100万个的Co-60（半衰期5.27年）时，即使经过10个半衰期（约53年），仍会残留约1000个原子。在实际工程中，考虑放射性废物管理期限时，必须充分认识到达到“实质上可忽略水平”所需的时间长度。
其次，“放射性活度（Bq）与原子数成正比，但也取决于半衰期”。建议通过工具实际验证：将初始原子数固定为100万个，对比半衰期8天的I-131与5730年的C-14，可见初始活度I-131远高于C-14。反之，要产生相同的1MBq（兆贝克勒尔）活度，所需半衰期较长的C-14原子数将极其庞大。在处理放射源时，需牢记“放射性活度”值是安全标准的直接指标。
最后，巴特曼方程中“子核素半衰期”设定的陷阱。当子核素半衰期远长于母核素时（例如设定母核半衰期1天、子核100年），子核素几乎不衰变而持续累积，将成为长期管理对象。这正是反应堆中产生的长寿命放射性核素问题的缩影。调整模拟参数时，应养成结合真实核素数据思考的习惯。
相关工程领域
本模拟器核心的“指数衰减”与“联立微分方程数值解法”直接应用于支撑CAE的广泛工程领域。首推“化学反应工程”。放射性衰变的一级反应速率方程 $ -dC/dt = kC $ 与酶催化反应、药物体内动力学模型在数学上完全一致。在模拟器中调整λ（衰变常数）的感知，与调整反应速率常数k的感知一脉相承。
其次是“可靠性工程”与“故障物理学”。大量零部件或系统随时间以一定概率失效的现象，与原子衰变高度相似。例如将半衰期替换为“平均故障间隔时间（MTBF）”，即可绘制随时间推移可用零件数量减少的可靠性曲线。巴特曼方程正是描述串联系统故障、库存管理建模等场景中联立微分方程的典型范例。
此外，“热流体分析（CFD）”中物质扩散与化学组分输运计算时，描述生成与消失的源项处理方法与巴特曼方程本质相同。放射性物质的大气扩散模拟正是将这些方程与流场耦合的应用实例。看似特殊的“放射性衰变”模型，实为工程领域的通用语言。
进阶学习建议
熟悉本工具后，强烈建议下一步学习“微分方程数值解法”本身。本模拟器很可能采用欧拉法或龙格-库塔法等数值方法让计算机求解 $dN/dt = -λN$。通过Excel或Python（NumPy/SciPy）编写简易数值计算代码，可切身理解“为何需要细化时间步长”等计算精度问题——这是CAE工程师的必备技能。
数学背景方面，学习“拉普拉斯变换”大有裨益。巴特曼方程这类联立线性常微分方程，通过拉普拉斯变换可转化为代数方程求解（获得解析解）。若能通过公式推导理解工具绘制曲线的形态，将更深刻把握现象本质。建议从一阶与二阶方程开始尝试。
后续可进阶至“射线与物质的相互作用（屏蔽计算）”。衰变产生的γ射线穿过铁或混凝土时的衰减规律，正由本文涉及的指数衰减法则（ $I = I_0 e^{-μx}$ ）描述。若说半衰期是“时间”维度的衰减，这则是“距离”维度的衰减。模拟器培养的指数函数直觉，将在屏蔽设计基础中再次发挥作用。