重力弹弓（重力辅助）轨道模拟器

牛顿万有引力（宇宙飞行器受到的力）：

$$\vec{F}= -\frac{G M_p m}{r^2}\hat{r}$$

运动方程（2D，行星中心的相对位置 $\vec{r}= (x-x_p,\, y-y_p)$）：

$$\ddot{x}= -\frac{G M_p (x - x_p)}{r^3}, \qquad \ddot{y}= -\frac{G M_p (y - y_p)}{r^3}$$

数值积分：四阶龙格-库塔法（RK4）。行星做匀速直线运动（恒星重力简化）。

飞掠过程中最大速度增加量（理想后侧通过情况）：

$$\Delta v_{\max}\approx 2\,V_p$$

$V_p$：行星的公转速度。当宇宙飞行器在行星参考系中速度方向反转180°时成立。

重力弹弓使燃料零消耗的速度和方向改变成为可能，是外行星探测的关键技术。代表性例子：

旅行者号1、2号（1977年）：通过木星和土星重力辅助达到太阳系脱离速度。旅行者1号目前距太阳约240亿公里（2024年）。

卡西尼号（1997年）：经历金星×2、地球×1、木星×1共4次重力辅助到达土星。仅用化学推进需要数倍燃料。

信使号（2004年）：充分利用反向重力辅助进入水星轨道——因为内行星运动更快，需要减速。

使用这个模拟器时，新手容易犯的一个大误解是"离行星越近加速越大"。确实，越接近重力越强，但实际任务中"行星大气圈"和"洛希极限"（卫星被摧毁的距离）是下限。例如木星飞掠在距离10万公里是安全的，但降到1万公里会遭遇强辐射带。模拟中可行，但实机需要"安全余度"。

其次是初始条件设置技巧。"相对于行星的进入速度"和"进入角度"决定一切。这里"进入角度"是指相对于行星速度矢量的宇宙飞行器接近方向。要最大化模拟效果，应该从行星运动方向的正后方，几乎直线接近。例如设定行星速度$V_p=13\,\text{km/s}$、进入速度$V_\infty=10\,\text{km/s}$的情况，最优角度通过时理论上的最大速度增分是$\Delta v \approx 2V_\infty \approx 20\,\text{km/s}$并不成立。这是行星参考系的说法，转到太阳系看增分要小得多（几km/s级别）。调参时要始终注意参考系。

最后是"三体问题"的简化。这个工具是简单的二体（行星-宇宙飞行器）模型，太阳重力通过行星的匀速直线运动近似。所以不适合预测实际太阳系长期轨道。实务中需要"n体模拟"同时考虑多天体重力。这个工具只是理解重力弹弓本质的第一步。