参数设置
3.0
+1.50 au/t
3.0 au/t
200°
切换至行星参考系
显示速度矢量
显示历史轨迹（≤5条）
当前速度
— au/t
飞越前速度
— au/t
飞越后速度
— au/t
—
最近接近距离
— au
拖动画布设置航天器
初始位置和速度方向
初始位置和速度方向
交互式模拟引力弹弓机动。调整行星质量、速度和发射角度，实时可视化飞越前后的速度变化。
牛顿万有引力（作用于航天器的力）：
$$\vec{F}= -\frac{G M_p m}{r^2}\hat{r}$$二维运动方程（相对位置 $\vec{r}= (x-x_p,\,y-y_p)$）：
$$\ddot{x}= -\frac{G M_p (x-x_p)}{r^3}, \qquad \ddot{y}= -\frac{G M_p (y-y_p)}{r^3}$$数值积分方法：四阶龙格-库塔法（RK4）；行星做匀速直线运动（简化处理）。
理想后方飞越的最大速度增量：
$V_p$：行星公转速度；在行星参考系中速度方向偏转 180° 时取得最大值。
旅行者1号和2号（1977年）：利用木星和土星的引力弹弓，使两艘探测器达到太阳系逃逸速度。旅行者1号目前距地球超过240亿千米，是人类制造的最遥远的飞行器。
卡西尼号（1997年）：借助金星（2次）、地球（1次）、木星（1次）共四次引力弹弓抵达土星，所需推进剂远少于直接飞行方案。
信使号（2004年）：六次引力弹弓（含三次水星飞越）逐步削减轨道能量，成功进入水星轨道——人类历史上首次实现水星轨道捕获。
为了帮助你更好地使用这个模拟器，我列举几个初学者容易陷入的误区。首先一个常见的误解是“越接近行星，就一定能获得更大的加速”。虽然距离越近引力确实越强，但在实际任务中，“行星大气层”和“洛希极限”（卫星被破坏的距离）构成了距离下限。例如木星引力助推时，10万公里高度是安全的，但若降至1万公里，强烈的辐射带就有破坏探测器的风险。模拟中可行的方案，在实际任务中必须考虑“安全余量”。
其次是初始条件设置的技巧。相对于行星的“进入速度”和“进入角度”决定了一切。这里的“进入角度”指的是航天器相对于行星速度矢量的接近方向。要在模拟器中最大化效果，基本原则是从行星运动方向的正后方以近乎直线的角度接近。例如，设行星速度$V_p=13\,\text{km/s}$、进入速度$V_\infty=10\,\text{km/s}$时，即使以最优角度飞越，理论上的最大速度增量也不会达到$\Delta v \approx 2V_\infty \approx 20\,\text{km/s}$。这仅是行星参考系下的情况，需注意在太阳系视角下的增量要小得多（约几公里/秒）。调整参数时，请时刻留意参考系。
最后关于“三体问题”的简化。本工具采用简单的二体（行星-航天器）模型，太阳引力的影响通过行星的匀速直线运动来近似。因此它不适用于预测现实太阳系中的长期轨道。实际工程中需要同时考虑多个天体引力的“n体模拟”。请将本工具视为理解引力助推这一现象物理本质的第一步。
这款引力弹弓模拟器背后的计算技术在CAE领域有着广泛的应用。首先最直接的是汽车碰撞安全模拟。航天器在行星引力场中偏转轨道，正如碰撞车辆在“变形”这种非线性力场中吸收动能并改变轨迹（即变形模式）。两者在通过数值积分（本工具使用RK4法）求解随时间演化的系统运动方程这一点上是共通的。
另一个应用是半导体制造中的离子注入模拟。该工艺通过电磁场加速和偏转带电粒子（离子）并将其注入硅衬底。粒子所受的洛伦兹力是中心力，其轨道计算在数学上与引力场中的运动高度相似。通过改变参数寻找最佳注入角度和能量的方法，本质上与引力助推的优化如出一辙。
从更广阔的视角看，它还关联到流体力学中的粒子追踪法（拉格朗日法）。流体中微粒被流场（例如涡旋）捕获而加速或减速的行为，与航天器受行星引力场这一“流场”影响的情形相互映照。由此可见，看似特殊的航天工程技术，其底层“场中的粒子轨道计算”思想，已成为众多工程领域共享的基础技术。
如果你通过本工具感受到了引力助推的趣味，下一步可以尝试更深入的学习。推荐的学习步骤首先从理解“守恒量”开始。在引力助推中，行星参考系下能量和角动量均守恒。具体而言，设行星距离为$r$、相对速度为$v$、引力常数为$G$、行星质量为$M$，则比能 $\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{r}$ 与比角动量 $h = |\vec{r} \times \vec{v}|$ 在飞越前后保持不变。由此可推导出近点距离$r_p$与近点速度$v_p$的关系式 $v_p^2 = \frac{2GM}{r_p} + 2\varepsilon$，这正是决定轨道形状的核心。
接下来建议掌握“拼接圆锥曲线近似”。这是一种高级近似解法，将引力助推分解为“行星附近的双曲线轨道”和“其余时段以太阳为焦点的椭圆轨道”（拼接），并在边界处连接速度矢量（圆锥曲线）。掌握此法后，即使不依赖本模拟器的逐次积分，也能通过纸笔计算大致估算助推前后在太阳系中的速度。这是轨道力学实务中必备的思维方式。
最后，对于未来的学习路径，请关注“控制优化”与“概率轨道确定”这两座高峰。其一是如何计算组合多次引力助推抵达最终目的地的“最优轨道”（例如利用遗传算法搜索地球-木星-土星飞越轨道）。其二是评估轨道确定中不可避免的误差（例如探测器位置测量误差达数公里）如何影响多年后引力助推精度的“灵敏度分析”。这些正是从模拟走向实际任务设计的激动人心的下一步。