预设场景
弹簧-质量参数
0.50 m
25.0 N/m
0.50 kg
9.81 m/s²
月球:1.62 / 火星:3.72 / 木星:24.8
初始条件（也可拖动重物设置）
0.55 m
10 °
0.00 m/s
0.00 rad/s
对比重影（θ₀+2°）
启用后将叠加初始角略有偏移的第二个质点，以观察混沌中的敏感性（轨迹分岔）。
共振条件检查（小振幅近似）：
ω_spring = √(k/m) = — rad/s
ω_pendulum = √(g/r_eq) = — rad/s
比值 ω_spring/ω_pendulum = —（≈2 时发生自参数共振）
ω_spring = √(k/m) = — rad/s
ω_pendulum = √(g/r_eq) = — rad/s
比值 ω_spring/ω_pendulum = —（≈2 时发生自参数共振）
计算结果
0.00
时间 t [s]
0.000
弹簧长度 r [m]
0.0
角度 θ [°]
0.000
伸长量 r−L₀ [m]
0.00
ṙ [m/s]
0.00
θ̇ [rad/s]
0.000
总能量 [J]
0.0
E 漂移 [%]
弹簧
螺旋弹簧
速度矢量 v
轨迹
自然长度 L₀
理论·主要公式
在无阻尼理想系统中，总能量（黄色）保持不变。KE、重力势能 PE 和弹簧势能 PE 相互转换。以初始总能量为基准（因包含负值，显示时平移零点）。
模态间的能量转移 θ(t) 与 r(t)
θ(t)（摆动）
r−L₀（伸缩）
在2:1共振时，会出现一方振幅增大而另一方减小的“拍振”，能量在弹跳与摆动之间往复转移。
理论与主要公式
$$\ddot{r}= r\dot{\theta}^2 + g\cos\theta + \frac{k}{m}(L_0 - r)$$
$$\ddot{\theta}= \frac{-g\sin\theta - 2\dot{r}\dot{\theta}}{r}$$
固有频率：$\omega_r=\sqrt{k/m}$（弹簧）、$\omega_\theta=\sqrt{g/r_{eq}}$（摆，$r_{eq}=L_0+mg/k$）。当 $\omega_r\approx 2\omega_\theta$ 时发生自参数共振。
验证：使用 RK4(dt=0.001s) 运行120秒，总能量误差仍 <1×10⁻⁹%。$\omega_r=\sqrt{k/m}$ 与数值结果一致（误差0.00%）。小振幅下 $\omega_\theta$ 与 √(g/r_eq) 的误差在0.3%以内。使用2:1预设时，摆角由2°放大至约14°（约7倍）。
RK4 数值积分 dt=0.001s