水箱排水时间模拟器（托里拆利定理）

水箱排水时间模拟器

计算圆筒水箱通过底部孔口自由排水所需时间的工具。基于托里拆利定理 v=√(2gh) 与质量守恒的准定常分析，调整水箱直径、孔径与水头，即可实时得到完全排水时间和出口流速，为排水坑、化学储罐与紧急排放设计提供快速概算。

参数设置

水箱直径 D

圆筒水箱的内径（A_t = π(D/2)²）

排水孔直径 d_o

底部孔口的直径（A_o = π(d_o/2)²）

初始水位 h₀

水面相对孔口的初始高度

流量系数 C_d

综合缩流与摩擦损失（锐缘≈0.62，钟形入口≈0.97）

计算结果

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面积比 A_t/A_o

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初始出口流速 (m/s)

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初始流量 (L/s)

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完全排水时间 (s)

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半量排水时间 (s)

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排水时间分类

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水箱断面图 — 排水动画

随水位下降，出口流速按 √h 的规律变慢，喷流也随之减弱。水箱旁的数字为当前水位与出口流速。

水位 h 与时间 t — 排水曲线

排水时间 vs 排水孔直径 d_o

理论与主要公式

$$v=\sqrt{2gh},\qquad t_{drain}=\frac{A_{tank}}{C_d\,A_{orifice}}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$

出口流速 v 来自托里拆利定理（=从水面自由落下到孔口位置的速度）。排水时间与 √h₀ 成正比、与孔口面积成反比：水箱直径加倍排水时间变为 4 倍，孔径加倍则变为 1/4。

$$h(t)=\bigl(\sqrt{h_0}-k\,t\bigr)^{2},\qquad k=\frac{C_d\,A_o}{A_t}\sqrt{\frac{g}{2}}$$

水位随时间按"线性下降量的平方"变化。曲线呈"下凹"形状——开始下降很快，后期越来越慢。

什么是水箱排水时间模拟器

🙋

教授，如果一个水桶底部有个小孔，能算出水流光需要多长时间吗？

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完全可以。17 世纪伽利略的学生托里拆利就给出了那个著名结论：从底孔流出的水速 v = √(2gh)，正好等于从水面自由下落到孔口高度时小石块达到的速度。这是能量守恒的直接结果，但在当时是个令人惊讶的发现。

🙋

咦，水的喷出速度居然跟自由落体的石头一样？那初始水位 h₀=2 m 时大约就是 6.3 m/s，正好和右边的默认值一致。

🎓

对，√(2·9.81·2) ≈ 6.26 m/s，完全由重力决定。再写一个"单位时间流出体积 = 水箱面积 × 水位下降速率"的质量平衡，对 h 积分，就能直接得到排空时间的闭式解：t = (A_t/(C_d·A_o))·√(2h₀/g)。默认参数下大约 1648 秒，也就是 27 分半。

🙋

咦，但左边"半量排水时间"只有 483 秒，大约 8 分钟。一半的水居然只用了总时间的不到三分之一，后半段慢多了。

🎓

观察得很准。这正是托里拆利排水的标志特征——出口流速按 √h 下降，水位越低流量越小。前 50% 体积只需约 29% 的时间，后 50% 却要 71%。现场常说"快空了但就是排不完"，原因就在这。所以最后一米通常改用强制抽水，而不是等重力排空。

🙋

这个流量系数 C_d 是什么？它乘在孔口面积上看起来有点神秘。

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水流穿过孔口的瞬间会出现"缩流（vena contracta）"——流线在孔口稍下游收缩到比几何孔径更小的截面。对锐缘薄板孔来说，收缩后的射流面积只有几何孔面积的约 0.62 倍，再加上摩擦损失。C_d 就是把这些损失打包成一个系数。锐缘孔口典型 0.60–0.65，圆滑钟形入口可达 0.95 以上。你可以拖动滑块把 C_d 从 0.62 推到 0.85，看排水时间是怎么按反比缩短的。

🙋

这个计算在真实工程里也会用到吗？还是只是教科书例题？

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用得很广。化工厂储罐的紧急排液时间、雨水调节池的放流计划、热水器与锅炉排水栓设计、核电站储罐破口的初期评估，还有古代水钟（clepsydra）的刻度，全部都从这个方程出发。只要 A_t/A_o 在 100 以上、出口对大气开放，它给出的初算精度对一次设计就够用。不满足这些条件——加压罐、锥形罐、下游接长管——就要回到完整的伯努利方程加损失项。

常见问题

对于等截面圆筒水箱通过底部孔口自由排水的情形，托里拆利定理给出出口流速 v = √(2gh)。结合水箱质量平衡 A_t·dh/dt = −C_d·A_o·√(2gh)，从初始水位 h₀ 积分到零，可得排水时间的闭式解 t_drain = (A_t / (C_d·A_o)) · √(2h₀/g)。其中 A_t 为水箱截面积，A_o 为孔口面积，C_d 为流量系数（锐缘孔口约 0.60–0.65），g 为重力加速度。本工具直接计算该闭式解。

因为出口流速 v = √(2gh) 与水头 h 的平方根成正比，水位越低出流越慢。半量排水时间为 t_half = (A_t/(C_d·A_o))·√(2/g)·(√h₀ − √(h₀/2)) ≈ 0.293·t_drain。也就是说前 50% 体积只需总时间的约 29%，后 50% 则需约 71%。默认参数（D=2m、d_o=50mm、h₀=2m、C_d=0.62）下，完全排水≈1648 秒，半量排水≈483 秒，这一非对称特征非常明显。

C_d 是实际流量与理论流量之比，因为孔口下游存在缩流（vena contracta）以及摩擦损失，故小于 1。典型值：锐缘孔口 0.60–0.65，钟形入口 0.95–0.99，短圆筒（博尔达）管 0.50–0.53。初期估算采用锐缘的 0.62，详细设计则需通过试验或 CFD 标定。本工具允许在 0.50–0.85 范围内拖动 C_d，直接观察其对排水时间的影响。

闭式解基于以下准定常假设：(1) 液面降速远小于出口流速（A_t/A_o 足够大，本工具默认为 1600）；(2) 液面上方为大气压；(3) 出口同样为大气压，无背压；(4) 粘性损失全部归入 C_d；(5) 水箱截面积不随高度变化（圆筒）。锥形水箱、加压水箱、虹吸排放或孔口下游接有长管时，需要补充损失项或采用完整的过渡型伯努利方程。

实际应用

过程罐的紧急排液设计：化学储罐与燃料罐在泄漏或火灾时必须能在规定时间（通常 10–15 分钟）内排空至安全集水坑。本工具的托里拆利公式是排液阀选型的第一步——先从 t_drain 反推出最小孔口面积，再在详细设计中加入管路损失与泵的辅助。由于后半段排得慢，最后一米通常改用强制抽水，而不是依赖纯重力。

雨水调节池与放流计划：城市雨水调节池一般受下游河道或排水管的最大放流流量限制。托里拆利流量 Q = C_d·A_o·√(2gh) 是放流闸尺寸的设计基准，确保满池时的峰值流量不超过规制值。同一闭式解也可用于评估地震等事件下闸门骤然开启时的时间响应。

热水器与锅炉排水栓：家用空气源热泵热水器以及商用锅炉都设有维护用排水栓。诸如"30 分钟内排空"的规范，正是利用本公式以水箱容积和栓孔口径来核算。一个注意点：排水软管末端若低于罐底，会产生虹吸效应使实际水头增大，实际排空速度会比公式预测的更快。

水钟（clepsydra）与物理教学：古埃及与古希腊的水钟在托里拆利定理尚未问世前，靠经验在刻度上标注小时。要让刻度等间距，水箱必须做成非圆筒形状，这一形状问题直到伽利略–托里拆利时代才被严格解出。圆筒情况至今仍是经典演示——学生只需秒表与直尺就能复现本工具给出的曲线。

常见误解与注意事项

最大的陷阱是"把 C_d 取成 1.0 计算"。教科书通常把理想流量写作 Q = A_o·√(2gh)，直接用进电子表格会比真实流量高估约 38%，排水时间也短估同样比例。现场常出现的"实际花了预测 1.6 倍时间"的失败，多半源于此。锐缘孔口必须用 C_d≈0.62，若计划做入口圆角或倒角，可把 C_d 推到 0.95 看灵敏度。设计阶段就要把 C_d 的不确定性纳入考量。

其次是"孔口下游接有长管时仍用本式"。本工具假设孔口直接对大气排放。实际上排水栓下方往往接着数米管路，需要叠加管路摩擦、配件损失与出口损失。此时应改用 v = √(2gh / (1 + Σf·L/D + ΣK))，等效 C_d 会降到 0.3–0.5。下游管路越长，赤裸的托里拆利公式就越乐观。

最后是"把液面降速看作与出口流速同量级"。准定常解要求 A_t/A_o 足够大——大约在 100 以上（本工具默认为 1600）。对于 A_t/A_o 较小的情形（例如直径 20cm 的水箱开 10cm 的孔），液面自身的下降速度不可忽略，纯托里拆利公式会失去精度。面积比小的外流问题（如溃坝、核压力容器破口）超出本工具的适用范围，需用包含液面速度项的瞬态伯努利／常微分方程模型。