系统设置
惯量体数量 n
惯性矩 J (kg·m²)
J₁
kg·m²
J₂
kg·m²
J₃
kg·m²
扭转刚性 k (N·m/rad)
k₁ (×10⁵)
kN·m/rad
k₂ (×10⁵)
kN·m/rad
阻尼比 ζ
%
计算结果
—
第一阶固有振动数 f₁ (Hz)
—
第二阶固有振动数 f₂ (Hz)
—
ω₁ (rad/s)
—
第一阶模态节点位置
模态形状（第一、二阶）
坎贝尔图（1～6阶激振）
固有振动数列表
| 模态 | ω (rad/s) | f (Hz) | N_cr (rpm) |
|---|
理论与主要公式
$[K - \omega^2 M]\{\theta\}= \{0\}$
刚性矩阵对角元素：
$K_{ii}= k_{i-1}+ k_i$
非对角元素：$K_{i,i+1} = -k_i$
扭转振动分析概述
🙋
「扭转振动」与普通的横向振动有什么区别？
🎓
简单来说，扭转振动是旋转方向上的「扭转」引起的振动。例如，发动机曲轴因变化的扭矩而发生扭转。使用模拟器中的「惯性矩」滑块，当改变圆盘大小时，可以立即看到这种扭转的难度如何变化。
🙋
那么这种振动变大会造成麻烦吗？
🎓
是的，共振时轴会断裂。在实际应用中，设计时要确保发动机的常用转速范围内不含固有振动数。请查看此工具的「坎贝尔图」。当转速增加时，发动机的点火次数（例如4缸发动机的2阶）的线与固有振动数线的交点就是危险的共振点。
🙋
「模态形状」图中有个叫「节点」的零点是什么意思？
🎓
很好的观察。节点是「不发生扭转的点」。在这一点左右两侧，扭转方向相反。例如，一阶模态的节点位置是轴上最大扭转应力出现的位置的指示。试试改变模拟器中的「轴扭转刚性」，看看这个节点位置如何变化。
常见问题
增加惯性矩会使固有振动数降低，增加轴刚性会使其上升。此外，增加惯量体数量会出现高阶模态，各阶模态的节点位置也会改变。边改变参数边在坎贝尔图中确认效果最为有效。
以转速为横轴，固有振动数为纵轴，发动机等激励力的次数线（1阶、2阶等）与固有振动数线的交点即为共振点。可用于避免共振转速的设计和识别危险转速。
2惯量系只能得到一个固有振动数，而4惯量系可得到3个固有振动数及对应的模态形状。惯量越多越能精确地模拟实际机械系统（如多级齿轮或长轴系），并且能评估高阶共振。
当轴的两端都是自由端时，整个系统发生均匀旋转的刚体模态（固有振动数为0）会出现。这是一种物理上有意义的模态，添加约束条件会使其消失。模拟器通常会自动排除这种情况。
实际应用
汽车动力总成：发动机、离合器、变速箱、传动轴和差速器均通过轴连接，形成多惯量系统。加速时扭矩变化或在某个转速下产生的「嗡嗡声」通常由扭转振动引起，设计阶段利用此模拟器进行共振避免至关重要。
发电用涡轮和压缩机：大型蒸汽涡轮或燃气涡轮数根轴连接数十吨的转子。当工作转速与固有振动数一致时，轴会发生致命的扭转疲劳断裂，因此必须使用坎贝尔图进行充分的裕度设计。
船舶推进轴系：从发动机到螺旋桨的长推进轴是典型的扭转振动系统。螺旋桨受到水流变化的激励，轴发生扭转。为防止轴折断，实船轴系装有「扭转振动计」，对比模拟结果与实测数据进行验证。
工业机器人关节：由伺服电动机和减速机（齿轮）驱动的机器人关节也会出现扭转振动问题，影响定位精度和响应性。使用本工具对手臂末端惯量与减速机刚性进行评估，反馈到控制系统设计中。
常见误解与注意事项
首先，「惯性矩越大越不易振动」只对了一半。虽然在简单的单自由度系统中确实如此，但在多惯量系统中，整体平衡才是关键。例如，在4惯量系中，若仅加大两端圆盘的重量，轻的中间圆盘反而会激烈振动，产生「局部振动模态」，反而更糟。试试用工具中只增加J1和J4，看看J2和J3的振幅如何剧增。
其次，刚性并非「越大越安全」。增加轴的扭转刚性虽然会提高固有振动数，但在高转速工作的发动机中，可能导致危险的高阶模态（如4阶）降至常用转速范围内。从坎贝尔图上可以看到，提高刚性时高阶模态线会向左移动。
最后，忽视阻尼的结果解读。此模拟器进行的是保守系（无阻尼）的固有值分析，因此无法判断共振点的「危害程度」。现实中存在阻尼器，材料也会散失能量。也就是说，即使计算上有共振点，只要阻尼充分，振幅就能被抑制，不一定造成实际危害。本工具的作用是「筛选出潜在风险位置」，最终判断还需考虑阻尼的瞬态响应分析。