AMG — CAE用語解説

Original: AMG — CAE用語解説 | 2026-01-15

AMG（代数的マルチグリッド法 / Algebraic Multigrid）

定義

AMGは、連立方程式を複数の粗さレベルで解くことで、反復法の収束を劇的に加速する前処理/ソルバー技術。幾何情報を必要とせず、行列の代数的性質のみから粗いレベルを構築する。

原理

1. 前平滑化（Pre-smoothing）: 高周波誤差を除去

2. 制限（Restriction）: 残差を粗いグリッドに転送

3. 粗いグリッドで修正を計算（再帰的に適用→V-cycle, W-cycle）

4. 補間（Prolongation）: 修正を細かいグリッドに戻す

5. 後平滑化（Post-smoothing）

計算量

理想的なAMGは $O(n)$ の計算量で収束。直接法の $O(n^{1.5} \sim n^2)$ と比較して、大規模問題で圧倒的に有利。

適用

• 楕円型PDE（Poisson、拡散方程式）に最も有効
• CFDの圧力方程式のソルバーとして標準
• 構造解析の大規模問題（100万DOF以上）