AMG — CAE用語解説

AMG（Algebraic Multigrid）はマルチグリッド法の考え方を代数（行列の構造）だけで実現する反復法で、メッシュ階層を明示的に持たなくてもいい点が特徴だ。通常のマルチグリッドはメッシュの粗細化レベルに対応する複数の格子が必要だけど、AMGは行列の非ゼロパターンから「数値的に粗化した行列（coarse-level matrix）」を自動生成する。大規模な疎行列連立方程式（FEM構造解析、CFD）に対してO(N)〜O(N log N)の計算量を実現できるから、数百万〜数億DOFの問題で直接法や通常のKrylov法では解けない規模に対応できるんだ。

主要なHPCソルバーにはほぼ全部AMGが入っている。PETSc（科学計算ライブラリ）のBoomerAMG、Trilinos（Sandia国立研究所）のML/MueLuが代表的なOSSのAMGパッケージだ。商用ではAnsys MechanicalのPCG（前処理共役勾配）ソルバーにAMG前処理が使われていて、百万DOF超えの大規模解析でダイレクトソルバーより格段に速い。OpenFOAMのGAMG（Geometric Algebraic Multigrid）はCFDの圧力方程式（楕円型問題）に特に効果的だ。ただしAMGは各問題に適したcoarseningとsmootherの設定が必要で、チューニングが複雑というのが実務的な難点だよ。

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