Cholesky分解 — CAE用語解説

FEMの心臓部だ。構造解析でKu = fという剛性方程式を解くとき、剛性マトリクスKは対称かつ正定値という特徴を持つ。Cholesky分解はこの性質を利用してK = LLTに分解する手法で、一般的なLU分解の約半分の計算量で済む。Lは下三角マトリクスで、前進消去→後退代入の2ステップで解ベクトルuを求める。Nastran・Abaqus・Ansysの直接法ソルバーはほぼCholesky系アルゴリズムを使っている。

任意の非ゼロベクトルvに対してvTKv > 0 が成り立つことだ。物理的には「エネルギーが常に正」という意味で、境界条件（支持）が適切に与えられていれば剛性マトリクスは正定値になる。逆に言うと、固定支持を忘れると剛体移動モードが混入してKが半正定値になり、Cholesky分解が失敗する——「negative eigenvalue」エラーはこれが原因のことが多い。

そこでスパース性の活用が重要になる。FEMの剛性マトリクスは結合している要素のみ非ゼロになるから、100万自由度でも99%以上がゼロだ。スパースCholesky分解では非ゼロ要素だけ格納・演算するため、メモリも計算量も桁違いに減る。さらにフィルイン最小化（節点番号の並び替え）という最適化があって、AMD（近似最小次数）法などで非ゼロ要素の増加を抑える。MATLABのchol関数やSUPERLUがこの仕組みを使っている。

一般則として小〜中規模（〜数十万自由度）は直接法、大規模（百万自由度〜）は反復法が有利だ。直接法は一度分解すれば複数の右辺ベクトルに素早く対応できるから、多荷重ケースや設計変数感度解析に向いている。反復法はメモリ消費が少なくGPU並列化と相性がいい。実際のソルバーはハイブリッドで、AMGなどの前処理付きCG法が大規模問題の標準になりつつある。