LU分解 — CAE用語解説

LU分解は行列AをL（下三角行列）とU（上三角行列）の積A=LUに分解する手法だ。一度分解すれば、Ax=bの解はLy=bでyを求めてUx=yでxを求めるだけ。前進代入と後退代入で高速に解けるんだよ。

対称正定値の剛性行列にはコレスキー分解（A=LL^T）が使われることが多いけど、非対称系（流体、接触）ではLU分解。MUMPSやPARDISOといった並列直接法ソルバーが有名で、精度が高く収束判定が不要なのがメリットだ。

自由度が数十万以下なら直接法（LU分解）が速くて確実。数百万以上になるとメモリ不足で直接法は破綻するから反復法に切り替える。ただし接触や座屈のような悪条件の問題では、直接法の安定性に頼ることも多いよ。

そう。元の行列がスパース（ほとんどゼロ）でも、分解の過程で非ゼロ要素が増えるのがフィルイン。これがメモリを圧迫する。リオーダリング（METISやAMDなどの行列並べ替え）でフィルインを最小化するのが直接法の性能チューニングの鍵だよ。

ソルバーの選択はモデルサイズと問題の性質で自動判断されることも多い。ログでどちらが使われたか確認する癖をつけよう。