Newton-Raphson法 — CAE用語解説

Newton-Raphson法は、非線形方程式F(x)=0の根を反復的に求めるアルゴリズムだ。現在の推定値x_kでの接線（ヤコビアン）を使って次の推定値x_{k+1}=x_k-J⁻¹F(x_k)を計算する。FEMの非線形解析では各増分ステップ内でこの反復を回して釣り合いを満たすんだよ。

Full Newton-Raphson法では毎反復ごとに接線剛性行列を更新する。計算コストは高いけど収束が速い。Modified Newton-Raphson法は何回かに1回だけ更新するから1反復あたりは軽いけど収束が遅い。問題の非線形性の強さで使い分けるよ。

①増分ステップを小さくする②ラインサーチを有効にする③接触の安定化を入れる④メッシュの品質を見直す——この4つが定石だ。99%の収束不良はモデルの問題（境界条件のミス、メッシュの歪み、不適切な接触設定）で、アルゴリズムの問題は稀だよ。

BFGSはヤコビアンを近似的に更新する方法で、Full NRより1反復が軽い。ただし収束特性は問題依存で、強い非線形にはFull NRが安定。AbaqusではデフォルトがFull NR、接触問題でBFGSに切り替えるオプションがあるよ。

ソルバーの収束ログ（残差の推移）を読む習慣をつけると、問題の切り分けが早くなるよ。