収束速度 — CAE用語解説

そう。メッシュの代表寸法hを半分にしたとき、誤差がどれくらい減るかを表す——これが収束速度（Convergence Rate）だ。誤差 ∝ h^p の指数p が「収束次数」で、p=1（1次精度）なら hを1/2にすると誤差が1/2に、p=2（2次精度）なら誤差が1/4になる。FEMの線形一次要素は通常p=2（エネルギーノルム）、二次要素はp=3以上になる。この収束次数が実際に出ているか確認するのが「メッシュ収束解析」で、検証（Verification）の基本だ。

メッシュを段階的に細かくして（例：h=1、0.5、0.25）、各解像度での応力・速度などの目的量を計算する。グラフにすると縦軸に誤差（参照解との差）、横軸にh（対数スケール）を取ったとき、直線になれば冪乗則が成立している。その傾きがpだ。参照解が存在しないとき（多くの実務問題）はRichardson補外（メッシュ2段階の結果から真値を推定する手法）を使う。GCI（Grid Convergence Index）法がIAEAや航空宇宙の規格で推奨されている標準的な手法だよ。

ある。非定常解析では空間メッシュのhに加えて時間刻みdtも収束に影響する。オイラー陰的法（1次精度）はdtを半分にすると時間誤差が1/2に、クランクニコルソン（2次精度）は1/4になる。OpenFOAMのicoFoamはCrank-NicolsonオプションがあってデフォルトはddtSchemes: Euler（1次）だ。時間精度が問題になるのは渦の放出周波数を精度よく追いたいLES・DNS解析で、このとき空間と時間の収束次数を揃えないと「空間を細かくしても時間誤差が支配する」状況になる。

全ての解析で完全なメッシュ収束解析をやる必要はない。実務の判断基準は——①量産設計のスクリーニング解析：メッシュ収束確認省略可、②重要部品の強度証明・認証試験の補完：GCI法による収束確認が求められることが多い（例：航空宇宙のFAA/EASA認証）、③新しいモデルタイプや境界条件の初回解析：必ず確認する——という感じだ。「メッシュ細かくしても結果が1%以内に収まるまで」が現場の経験的目安で、その状態を「十分収束している」と表現することが多い。

メッシュに何らかの問題があるサインだ。例えば——鋭いコーナー（応力特異点）があると理論的な高次精度が出ない、要素のアスペクト比が極端に大きい、接触や材料不連続面でメッシュが合っていない、などが原因になる。もう一つは解そのものが特異点を含んでいる場合——クラックの先端応力は理論上1/sqrt(r)で発散するから、いくらメッシュを細かくしても通常要素ではh^2の収束は出ない。特異性を持つ問題には特殊要素（Singular quarter-point element等）が必要だよ。