CAEでどうやって解析するんですか？

圧電材料では力学方程式と静電場方程式を連成して解く必要がある。ANSYS、COMSOL、ABAQUSでは圧電材料の構成則（電気的・機械的結合行列）を入力して連成FEA解析ができる。超音波プローブの振動モードや、MEMSセンサの感度解析などに使われている。

超音波探傷試験で使う超音波振動子の設計もCAEでできるんですか？

できる。圧電振動子の共振周波数・変位感度・インピーダンス特性をFEMで計算して最適形状を決めるのが現代の設計標準だ。素子をアレイ状に並べたフェーズドアレイ探傷器では、各素子の干渉を考慮した連成解析が必要で、シミュレーションなしには設計できない。

圧電素子の非線形挙動もシミュレーションできるんですか？

PZTは強い電場・応力下で分極のヒステリシス（非線形挙動）を示す。これをモデル化するには非線形圧電材料則が必要で、CAMSYSやMATECという専用ツール、またはABAQUSのUMATで対応できる。アクチュエータの精密位置決め制御系の設計では非線形モデルが重要になる。

圧電効果 — CAE用語解説

Q: 圧電効果って、圧力をかけると電気が出るってことですか？

その通り。結晶に力を加えると電荷が発生する（直接圧電効果）、逆に電圧をかけると変形する（逆圧電効果）という双方向の変換現象だ。水晶やPZT（チタン酸ジルコン酸鉛）が代表的な圧電材料で、超音波センサ、インクジェットノズル、振動発電などに使われている。

カテゴリ: 用語集 | 2026-01-15

CAE visualization for piezoelectric effect - technical simulation diagram

圧電効果

機械-電気変換の物理現象

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圧電効果って、圧力をかけると電気が出るってことですか？

理論と物理

基本概念と支配方程式

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圧電効果って、教科書には「力が加わると電圧が発生する現象」と書いてありますが、具体的にどの材料で、どれくらいの電圧が発生するんですか？

🎓

良い質問だ。代表的な圧電セラミックスであるPZT（チタン酸ジルコン酸鉛）では、例えば10 MPaの圧縮応力を加えると、材料の分極方向に約200 V/mmの電界が発生する。これは材料定数である圧電定数

$$ d_{33} $$

が約 300 pC/N だからだ。具体的な電圧は、材料の厚さに比例する。厚さ1 mmのPZT素子に10 MPaを加えると、約200 Vの電圧が発生する計算になる。

🧑‍🎓

逆に、電圧をかけたら変形する「逆圧電効果」の式は、単純にその逆なんですか？

🎓

本質的には対称だが、定式化は少し異なる。圧電材料の基本的な線形構成方程式は、IEEE規格で以下のように表される。

直接効果（センサ）:

$$ D_i = d_{ijk} T_{jk} + \varepsilon_{ik}^T E_k $$

逆効果（アクチュエータ）:

$$ S_{ij} = s_{ijkl}^E T_{kl} + d_{kij} E_k $$

ここで、

$$ D $$

は電束密度、

$$ T $$

は応力、

$$ S $$

はひずみ、

$$ E $$

は電界だ。

$$ d $$

が同じ圧電定数で結ばれているのがポイントで、例えばPZTの

$$ d_{33} $$

300 pC/Nは、「1 Nの力で300 pCの電荷が発生する」と同時に、「1 V/mの電界で300 pmのひずみが生じる」ことを意味する。

🧑‍🎓

「直接圧電効果」と「逆圧電効果」を区別してシミュレーションする必要はあるんですか？それとも一つのモデルで両方計算できるんですか？

🎓

CAEでは通常、先ほどの結合された構成方程式を一度に解く「多物理場連成解析」として扱う。つまり、一つのモデルで、機械的負荷による発電（センシング）と、電圧印加による変形/発振（アクチュエーション）の両方を計算できる。境界条件と負荷条件を変えるだけで、どちらの効果も評価可能だ。

数値解法と実装

FEM離散化とソルバー設定

🧑‍🎓

有限要素法で圧電効果を解く時、変位と電位の両方を未知数として扱うんですよね。要素の形状関数は、変位用と電位用で同じものを使っていいんですか？

🎓

それが落とし穴だ。多くの実装では、変位には2次要素（例えば8節点六面体要素）を用い、電位には1次要素を用いる「混合要素」が推奨される。理由は、電界

$$ E $$

が電位の勾配として計算されるためだ。変位と電位に同じ高次の形状関数を使うと、電界の精度が不必要に高くなり、数値的な「ロッキング」を引き起こし、剛性が過大評価されることがある。Abaqusのマニュアルでも、C3D8E（1次電位）とC3D20E（2次電位）の使い分けについて言及されている。

🧑‍🎓

全体剛性マトリックスは、機械部分と電気部分が結合したものになりますよね。ソルバーは通常の構造解析用と特別な設定が必要ですか？

🎓

必要だ。結合されたマトリックスは非対称になる可能性がある。しかし、圧電構成方程式がエネルギー的に保存系であれば、マトリックスは対称となる。多くの商用ソフトウェア（Ansys, COMSOL）はデフォルトで対称ソルバーを使用するが、非線形や損失を考慮する場合は非対称ソルバーへの切り替えが必要になる。また、機械自由度（変位）と電気自由度（電位）のスケールが大きく異なる（例えば変位はμm、電位はV）ため、数値的条件数が悪化しやすい。これを防ぐため、スケーリングオプションを有効にするか、単位系を注意深く選ぶことが重要だ。

🧑‍🎓

共振周波数などの周波数応答を求める場合、固有値解析はどうやるんですか？普通の構造解析と同じモーダル解析手法でいいんですか？

🎓

「圧電結合モーダル解析」という特別な手法が必要だ。支配方程式は、質量マトリックス

$$ \mathbf{M} $$

、剛性マトリックス

$$ \mathbf{K}_{uu} $$

、誘電マトリックス

$$ \mathbf{K}_{\phi\phi} $$

、そして結合マトリックス

$$ \mathbf{K}_{u\phi} $$

を用いて、以下のように書ける。

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{M} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{\mathbf{u}} \\ \ddot{\boldsymbol{\phi}} \end{Bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{u\phi} \\ \mathbf{K}_{u\phi}^T & -\mathbf{K}_{\phi\phi} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \mathbf{u} \\ \boldsymbol{\phi} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \mathbf{F} \\ \mathbf{Q} \end{Bmatrix} $$

この固有値問題を解くと、「短絡条件」（電極間電位ゼロ）と「開放条件」（電荷ゼロ）に対応する、2組の異なる共振周波数が得られる。Ansysでは`ANTYPE,MODAL`に`PIEZO`オプションを指定して実行する。

実践ガイド

ワークフローとチェックリスト

🧑‍🎓

圧電アクチュエータの変位をシミュレーションするための、最初のモデリング手順を教えてください。何から始めれば？

🎓

まずは材料定数の入力だ。最低限必要なのは、弾性マトリックス

$$ \mathbf{s}^E $$

または

$$ \mathbf{c}^E $$

、圧電定数マトリックス

$$ \mathbf{d} $$

または

$$ \mathbf{e} $$

、誘電率マトリックス

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^T $$

または

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^S $$

の3セットだ。メーカーカタログ（例えば富士チタニウムのPZT-5H）や、標準規格（IEEE Std 176-1987）に従ったデータを用意する。定数は「定ひずみ」か「定電界」か、また「d定数」か「e定数」かの表記に注意し、ソフトウェアが要求する形式に変換する必要がある。

🧑‍🎓

境界条件で気をつけることは？構造解析のように固定する面を指定して、電圧をかける面を指定すればいい？

🎓

それに加えて、電気的な「接地」条件が重要だ。電極となる面には「電位」境界条件を適用する。通常、一方の電極を0 V（接地）に設定し、もう一方の電極に印加電圧（例えば100 V）を設定する。電極面は導体とみなされ、面上で電位が一定となる「等電位条件」が自動的に適用されるソフトウェアが多い。構造的な固定条件は、現実の支持条件を反映させる。例えば、バイモルフアクチュエータの片持ち梁モデルでは、固定端で変位を全て拘束する。

🧑‍🎓

結果の検証はどうすれば信頼できますか？変位量がカタログ値と合わない時、まず何を疑うべきですか？

🎓

まず疑うべきは「材料定数の入力ミス」と「分極方向の定義ミス」だ。圧電定数は3軸（1,2,3）とせん断（4,5,6）の組み合わせで定義される。モデルの材料座標系（通常は要素座標系）の3方向が、現実の分極方向と一致しているか確認せよ。次に、境界条件、特に電極面の指定が正しいか。単純な平板アクチュエータなら、理論解がある。印加電界を

$$ E_3 = V/t $$

、発生ひずみを

$$ S_3 = d_{33} E_3 $$

、自由端変位を

$$ \delta = S_3 \cdot L $$

で計算できる。この単純な計算とFEM結果がまず一致するか、確認から始めると良い。

ソフトウェア比較

Ansys/Abaqus/COMSOLの特徴

🧑‍🎓

Ansys、Abaqus、COMSOLで圧電解析をやる場合、根本的なアプローチの違いはありますか？

🎓

大きな違いは、連成の扱い方だ。COMSOL Multiphysicsは「マルチフィジクス」がコアコンセプトで、物理インターフェース（構造力学と静電場）をGUIで結びつけることで圧電効果を定義する。柔軟性が高いが、ユーザーが結合を正しく設定する責任がある。一方、Ansys Mechanical (APDLまたはWorkbench) とAbaqus/Standardには「圧電要素」がプリ定義されており、材料定数を入力するだけで結合方程式が組み込まれる。よりブラックボックス的だが、設定が簡便で、最適化されたソルバーが使える。

🧑‍🎓

材料ライブラリの充実度はどうですか？PZTなどの標準材料のデータは最初から入ってるんですか？

🎓

COMSOLの材料ライブラリは比較的充実しており、いくつかの汎用PZT材料（例えばPZT-5A, PZT-5H）の定数が含まれている。AnsysやAbaqusの標準材料ライブラリには、汎用金属やプラスチックは多いが、圧電材料はほとんど含まれていないことが多い。ユーザー自身が、Morgan Electro CeramicsやPI Ceramicなどのメーカーカタログや、NISTのデータベースから定数を探して入力する作業が一般的だ。これは、材料定数が組成や製造プロセスに大きく依存するためだ。

🧑‍🎓

周波数応答や共振解析の機能面での違いは？

🎓

ここは各ソフトの特徴が分かれる。Abaqusは`*FREQUENCY`ステップで直接法・モーダル法周波数応答を計算でき、`*SELECT EIGENFREQUENCIES`で特定のモードを抽出できる。Ansys APDLでは`ANTYPE,HARMIC`と`HROPT,MSUP`でモーダル重ね合わせ法による周波数応答解析が可能で、共振周波数近傍の詳細な挙動を追える。COMSOLは「周波数領域」研究ステップを選択し、パラメトリック掃引で周波数を変化させられるのが直感的だ。いずれも、先述した「短絡」と「開放」の境界条件を正しく設定できるかが鍵となる。

トラブルシューティング

よくあるエラーと対策

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解析を実行したら、「剛性マトリックスが特異です」または「負の対角項があります」というエラーが出ました。どういう原因が考えられますか？

🎓

最も多い原因は2つ。1つは「電気的な浮遊節点」だ。圧電体の全ての節点の電位自由度が何らかの境界条件（電極指定や接地）で拘束されていないと、電位が無限大の解を持ち、剛性マトリックスが正定値にならない。モデル内の全ての圧電要素が、少なくとも1つの節点で電位が固定されているか確認せよ。もう1つは「材料定数の入力ミス」、特に誘電率マトリックス

$$ \boldsymbol{\varepsilon} $$

の対角項が正の値で入力されているか確認だ。負の値やゼロは物理的に非現実的で、数値的に不安定になる。

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共振周波数解析で、計算された周波数がカタログ値よりも大幅に高く（または低く）出ます。メッシュを細かくしても変わりません。

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メッシュ依存性がなければ、材料定数か境界条件の問題だ。まず、使用した弾性定数が「定電界下」のもの

$$ \mathbf{c}^E $$

か確認する。間違えて「定電束密度下」の定数

$$ \mathbf{c}^D $$

を使うと、剛性が高く評価され、共振周波数が高く出る。次に、固有値解析の境界条件だ。「短絡共振周波数」を求めたい場合は両電極を0Vに接地し、「開放共振周波数」を求めたい場合は一方の電極の電荷（または電流）を0に設定する。この設定を間違えると、全く異なる周波数が計算される。Abaqusでは、`*ELECTRODE`キーワードで電極を定義し、`CURRENT=0`とすることで開放条件を表現する。

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アクチュエータの変位を計算したら、理論値の半分くらいしか出ませんでした。考えられる原因は？

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まず、機械的な拘束の影響を疑え。理論式

$$ \delta = d_{33} V (L/t) $$

は「完全に自由な変形」を仮定している。FEMモデルで、意図せずに変位を拘束する境界条件や、隣接部品からの接触条件が入っていないか確認する。次に、現実のアクチュエータは「d33モード」だけでなく、横ひずみも発生する（ポアソン比効果）。これが周辺構造に拘束されると、見かけの変位が減少する。最後に、材料の非線形性だ。高電界を印加すると、圧電定数自体が電界に依存し、低電界での値よりも小さくなる（飽和現象）。印加電圧が高い場合は、非線形圧電材料モデルの使用を検討する必要がある。